4a. Buktikan bahwa garis 3x−4y=8 menyinggung lingkaran yang berpusat di (−3, 2) dan berjari-jari 5. 4b. Tentukan juga titik singgungnya.

Pertanyaan

4a. Buktikan bahwa garis $3x-4y=8$ menyinggung lingkaran yang berpusat di $\left(-3,\;2\right)$ dan berjari-jari 5.

4b. Tentukan juga titik singgungnya.

P. Tessalonika

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Medan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

titik singgungnya adalah $\left(0,\;-2\right)$ .

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang berpusat di $\left(-3,\;2\right)$ dan berjari-jari 5 yaitu :

$\begin{array}{rcl}\left(x-a\right)^2+\left(y-b\right)^2&=&r^2\\\left(x-\left(-3\right)\right)^2+\left(y-2\right)^2&=&5^2\\\left(x+3\right)^2+\left(y-2\right)^2&=&25\\x^2+6x+9+y^2-4y+4-25&=&0\\x^2+y^2+6x-4y-12&=&0\end{array}$

Dikatakan bahwa garis $3x-4y=8$ menyinggung lingkaran tersebut maka $D=0$ .

$\begin{array}{rcl}3x-4y&=&8\\3x&=&4y+8\\x&=&\frac43y+\frac83\end{array}$

Substitusi persamaan garis pada persamaan lingkaran.

$\begin{array}{rcl}x^2+y^2+6x-4y-12&=&0\\\left(\frac43y+\frac83\right)^2+y^2+6\left(\frac43y+\frac83\right)-4y-12&=&0\\\frac{16}9y^2+\frac{64}9y+\frac{64}9+y^2+8y+16-4y-12&=&0\\\frac{25}9y^2+\frac{64}9y+\frac{64}9+4y+4&=&0\\25y^2+64y+64+36y+36&=&0\\25y^2+100y+100&=&0\\y^2+4y+4&=&0\end{array}$

Sehingga diperoleh :

$\begin{array}{rcl}D&=&b^2-4ac\\&=&4^2-4\left(1\right)\left(4\right)\\&=&16-16\\&=&0\end{array}$

Karena $D=0$ maka terbukti bahwa garis $3x-4y=8$ menyinggung lingkaran tersebut.

Titik singgungnya yaitu :

$\begin{array}{rcl}y^2+4y+4&=&0\\\left(y+2\right)^2&=&0\\y+2&=&0\\y&=&-2\end{array}$

Penentuan nilai $x$ yaitu :

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell 4 over 3 y plus 8 over 3 end cell row blank equals cell 4 over 3 open parentheses negative 2 close parentheses plus 8 over 3 end cell row blank equals cell fraction numerator negative 8 over denominator 3 end fraction plus 8 over 3 end cell row blank equals 0 end table$

Dengan demikian, titik singgungnya adalah $\left(0,\;-2\right)$ .

345

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Tentukan nilai m agar lingkaran x2+y2−2my+n=0 mempunyai jari-jari 2 dan menyinggung garis y=x.

142

5.0

Jawaban terverifikasi

Tunjukkan bahwa garis 3x+4y=0 menyinggung lingkaran yang berjari-jari 3 dan berpusat di titik (5, 0).

593

4.5

Jawaban terverifikasi

Diketahui lingkaran yang berpusat di P(2,1), jika lingkaran menyinggung garis x=1 maka persamaan lingkarannya adalah..

799

0.0

Jawaban terverifikasi

7a. Tentukan titik potong lingkaran yang berpusat di A(1, 2) dan berjari-jari 10 terhadap sumbu Y. 7b. Tentukan persamaan garis singgung melalui titik potong tersebut.

214

5.0

Jawaban terverifikasi

Garis l melalui titik (0, 1) dan titik (−1, 0) serta memotong lingkaran dengan pusat (3, 4) yang berjari-jari 22. Hitunglah jarak dua titik potong tersebut!

0.0

Jawaban terverifikasi