Persamaan lingkaran yang berpusat pada titik potong garis x − y − 1 = 0 dan garis x + y − 3 = 0 serta menyinggung garis 3 x + 4 y − 35 = 0 adalah...

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah E. Misal persamaan lingkaran yang berpusat di titik ( a , b ) sehingga persamaan lingkaran: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Karena berpusat di titik potong garis x − y − 1 = 0 dan x + y − 3 = 0 maka titik pusat ( a , b ) haruslah memenuhi: x − y − 1 a − b − 1 a − b ​ = = = ​ 0 0 1 ... ( 1 ) ​ x + y − 3 a + b − 3 a + b ​ = = = ​ 0 0 3 ... ( 2 ) ​ Eliminasi persamaan (1) dan (2): a a 2 a ​ − + ​ b b a ​ = = = = ​ 1 3 4 2 ​ + ​ ​ Substitusi a = 2 ke persamaan (1): Diperoleh titik pusat ( 2 , 1 ) . Jari-jari lingkaran adalah jarak pusat ke garis tangen 3 x + 4 y − 35 = 0 : r ​ = = = = = = = ​ ∣ ∣ ​ 3 2 + 4 2 ​ 3 x + 4 y − 35 ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 9 + 16 ​ 3 a + 4 b − 35 ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 25 ​ 3 ( 2 ) + 4 ( 1 ) − 35 ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 5 6 + 4 − 35 ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ 5 − 25 ​ ∣ ∣ ​ ∣ − 5 ∣ 5 ​ Persamaan lingkaran yang berpusat di ( 2 , 1 ) dan jari-jari ( r ) = 5 adalah: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( x − 2 ) 2 + ( y − 1 ) 2 ( x − 2 ) ( x − 2 ) + ( y − 1 ) ( y − 1 ) ( x 2 − 2 x − 2 x + 4 ) + ( y 2 − y − y + 1 ) − 25 ( x 2 − 4 x + 4 ) + ( y 2 − 2 y + 1 ) − 25 x 2 + y 2 − 4 x − 2 y − 20 ​ = = = = = = ​ r 2 5 2 25 0 0 0 ​ Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah x 2 + y 2 − 4 x − 2 y − 20 = 0 . Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah E.