Perhatikan histogram berikut. Kuartil atas (Q3​) dari data yang disajikan dalam bentuk histogram tersebut adalah ....

Ingat bahwa:

Untuk mencari kuartil pada data kelompok dapat digunakan rumus berikut.

$$Q_i=L_{Q_i}+\frac{\frac{i}{4}n-f_k}{f_{Q_i}}\times p$$

dengan

$$\begin{array}{rcl}{Q}_i& =& \mathrm{kuartil}\mathrm{ke}-i\\ L_{Q_i}& =& \mathrm{tepi}\mathrm{bawah}\mathrm{kelas}\mathrm{kuartil}\\ i& =& 1,2,3\\ n& =& \mathrm{banyak}\mathrm{data}\\ f_k& =& \mathrm{frekuensi}\mathrm{kumulatif}\mathrm{sebelum}\mathrm{kelas}\mathrm{kuartil}\\ f_{Q_i}& =& \mathrm{frekuensi}\mathrm{kelas}\mathrm{kuartil}\\ p& =& \mathrm{panjang}\mathrm{kelas}\end{array}$$

Berdasarkan soal di atas diperoleh banyak data adalah $$n=8+12+20+16+4=60$$.

Kuartil 1:

$$\begin{array}{rcl}{Q}_1& =& \mathrm{data}\mathrm{ke}-\frac{1}{4}n\\ & =& \mathrm{data}\mathrm{ke}-\frac{1}{4}\times 60\\ & =& \mathrm{data}\mathrm{ke}-15\end{array}$$

Sehingga diperoleh $$Q_1$$ data ke-$$15$$ pada kelas dengan tepi bawah $$69,5$$.

$$f_k=8$$

$$f_{Q_1}=12$$

$$p=69,5-65,5=4$$

$$\begin{array}{rcl}{Q}_1& =& L_{Q_i}+\frac{\frac{1}{4}n-f_k}{f_{Q_1}}\times p\\ & =& 69,5+\frac{15-8}{12}\times 4\\ & =& 69,5+\frac{7}{12}\times 4\\ & =& 69,5+\frac{28}{12}\\ & =& 69,5+2,34\\ & =& 71,84\end{array}$$

Kuartil 2:

$$\begin{array}{rcl}{Q}_2& =& \mathrm{data}\mathrm{ke}-\frac{2}{4}n\\ & =& \mathrm{data}\mathrm{ke}-\frac{2}{4}\times 60\\ & =& \mathrm{data}\mathrm{ke}-30\end{array}$$

Sehingga diperoleh $$Q_2$$ data ke-$$30$$ pada kelas dengan tepi bawah $$73,5$$.

$$f_k=8+12=20$$

$$f_{Q_2}=20$$

$$p=69,5-65,5=4$$

$$\begin{array}{rcl}{Q}_2& =& L_{Q_2}+\frac{\frac{2}{4}n-f_k}{f_{Q_2}}\times p\\ & =& 73,5+\frac{30-20}{20}\times 4\\ & =& 73,5+\frac{10}{20}\times 4\\ & =& 73,5+\frac{40}{20}\\ & =& 73,5+2\\ & =& 75,5\end{array}$$

Kuartil 3:

$$\begin{array}{rcl}{Q}_3& =& \mathrm{data}\mathrm{ke}-\frac{3}{4}n\\ & =& \mathrm{data}\mathrm{ke}-\frac{3}{4}\times 60\\ & =& \mathrm{data}\mathrm{ke}-45\end{array}$$

Sehingga diperoleh $$Q_3$$ data ke-$$45$$ pada kelas dengan tepi bawah $$77,5$$.

$$f_k=8+12+20=40$$

$$f_{Q_3}=16$$

$$p=69,5-65,5=4$$

$$\begin{array}{rcl}{Q}_3& =& L_{Q_3}+\frac{\frac{3}{4}n-f_k}{f_{Q_3}}\times p\\ & =& 77,5+\frac{45-40}{16}\times 4\\ & =& 77,5+\frac{5}{16}\times 4\\ & =& 77,5+\frac{20}{16}\\ & =& 77,5+1,25\\ & =& 78,75\end{array}$$

Dengan demikian, diperoleh kuartil pertamanya $$71,84$$, kuartil keduanya $$75,5$$, dan kuartil ketiganya adalah $$78,75$$.

Ingat kembali rumus kuartil bawah $$\left(Q_1\right)$$, median $$\left(Q_2\right)$$, dan kuartil atas $$\left(Q_3\right)$$ pada data berkelompok sebagai berikut:

$$\begin{gathered} Q_1=L_1+c\left(\frac{\frac{1}{4}n-F_1}{f_1}\right) \\ {Q}_2=L_2+c\left(\frac{\frac{1}{2}n-F_2}{f_2}\right) \\ {Q}_3=L_3+c\left(\frac{\frac{3}{4}n-F_3}{f_3}\right) \end{gathered}$$

 

dimana

$$L_{1,2,3}=$$tepi bawah kelas kuartil bawah, median, kuartil atas

$$n=$$ukuran data (jumlah frekuensi)

$$f_{1,2,3}=$$frekuensi pada interval kelas kuartil bawah, median dan kuartil atas

$$F_{1,2,3}=$$frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil bawah, median dan kuartil atas

$$c=$$panjang kelas

Oleh karena itu, berdasarkan histogram di atas dapat dibuatkan tabel distribusi frekuensi di bawah ini

Interval kelas kuartil bawah terletak pada $$20-24$$ diperoleh dari $$\frac{1}{4}n=\frac{1}{4}\times 48=12$$ (lihat dari frekuensi kumulatif), dengan 

$$n=48,L_1=20-0,5=19,5,f_1=14,F_1=10,c=5$$

$$\begin{array}{rcl}{Q}_1& =& L_1+c\left(\frac{\frac{1}{4}n-F_1}{f_1}\right)\\ & =& 19,5+5\cdot \left(\frac{\frac{1}{4}\cdot 48-10}{14}\right)\\ & =& 19,5+5\cdot \left(\frac{12-10}{14}\right)\\ & =& 19,5+0,71\\ & =& 20,21\end{array}$$

Interval kelas median terletak pada $$25-29$$ diperoleh dari $$\frac{1}{2}n=\frac{1}{2}\times 48=24$$ (lihat dari frekuensi kumulatif), dengan 

$$n=48,L_2=25-0,5=24,5,f_2=16,F_2=24,c=5$$

$$\begin{array}{rcl}{Q}_2& =& L_2+c\left(\frac{\frac{1}{2}n-F_2}{f_2}\right)\\ & =& 24,5+5\cdot \left(\frac{\frac{1}{2}\cdot 48-24}{16}\right)\\ & =& 24,5+5\cdot \left(\frac{24-24}{16}\right)\\ & =& 24,5\end{array}$$

Interval kelas kuartil atas terletak pada $$25-29$$ diperoleh dari $$\frac{3}{4}n=\frac{3}{4}\times 48=36$$ (lihat dari frekuensi kumulatif), dengan 

$$n=48,L_3=25-0,5=24,5,f_3=16,F_3=24,c=5$$

$$\begin{array}{rcl}{Q}_3& =& L_3+c\left(\frac{\frac{3}{4}n-F_3}{f_3}\right)\\ & =& 24,5+5\cdot \left(\frac{\frac{3}{4}\cdot 24-24}{16}\right)\\ & =& 24,5+5\cdot \left(\frac{36-24}{16}\right)\\ & =& 24.5+3,75\\ & =& 28,25\end{array}$$

Dengan demikian, kuartil bawah $$Q_1=20,21$$ , median  $$Q_2=24,5$$, dan kuartil atas $$Q_3=28,25$$.

 

 

Ingat bahwa:

Untuk mencari kuartil pada data kelompok dapat digunakan rumus berikut.

$$Q_i=L_{Q_i}+\frac{\frac{i}{4}n-f_k}{f_{Q_i}}\times p$$

dengan

$$\begin{array}{rcl}{Q}_i& =& \mathrm{kuartil}\mathrm{ke}-i\\ L_{Q_i}& =& \mathrm{tepi}\mathrm{bawah}\mathrm{kelas}\mathrm{kuartil}\\ i& =& 1,2,3\\ n& =& \mathrm{banyak}\mathrm{data}\\ f_k& =& \mathrm{frekuensi}\mathrm{kumulatif}\mathrm{sebelum}\mathrm{kelas}\mathrm{kuartil}\\ f_{Q_i}& =& \mathrm{frekuensi}\mathrm{kelas}\mathrm{kuartil}\\ p& =& \mathrm{panjang}\mathrm{kelas}\end{array}$$

Berdasarkan soal di atas diperoleh banyak data adalah $$n=5+12+15+10+6=48$$.

$$\begin{array}{rcl}{Q}_3& =& \mathrm{data}\mathrm{ke}-\frac{3}{4}n\\ & =& \mathrm{data}\mathrm{ke}-\frac{3}{4}\times 48\\ & =& \mathrm{data}\mathrm{ke}-36\end{array}$$

Sehingga diperoleh $$Q_3$$ data ke-$$36$$ pada kelas dengan batas bawah $$40,5$$.

$$L_{Q_3}=40,5$$

$$f_k=5+12+15=32$$

$$f_{Q_3}=10$$

$$p=30,5-25,5=5$$

$$\begin{array}{rcl}{Q}_3& =& L_{Q_3}+\frac{\frac{3}{4}n-f_k}{f_{Q_3}}\times p\\ & =& 40,5+\frac{36-32}{10}\times 5\\ & =& 40,5+\frac{4}{10}\times 5\\ & =& 40,5+\frac{20}{10}\\ & =& 40,5+2\\ & =& 42,5\end{array}$$

Dengan demikian, diperoleh nilai kuartil ketiga pada histogram tersebut adalah $$42,5$$.

Ingat bahwa:

Hamparan dapat dinyatakan melalui rumus berikut.

$$\mathrm{Hamparan}=Q_3-Q_1$$

dengan

$$\begin{gathered} Q_3=\mathrm{kuartil}\mathrm{tiga}(\mathrm{kuartil}\mathrm{atas}) \\ {Q}_1=\mathrm{kuartil}\mathrm{satu}(\mathrm{kuartil}\mathrm{bawah}) \end{gathered}$$

Ingat pula bahwa rumus kuartil adalah

$$Q_i=L_{Q_i}+\frac{\frac{i}{4}n-f_k}{f_{Q_i}}\times p$$

dengan

$$\begin{array}{rcl}{Q}_i& =& \mathrm{kuartil}\mathrm{ke}-i\\ L_{Q_i}& =& \mathrm{tepi}\mathrm{bawah}\mathrm{kelas}\mathrm{kuartil}\\ i& =& 1,2,3\\ n& =& \mathrm{banyak}\mathrm{data}\\ f_k& =& \mathrm{frekuensi}\mathrm{kumulatif}\mathrm{sebelum}\mathrm{kelas}\mathrm{kuartil}\\ f_{Q_i}& =& \mathrm{frekuensi}\mathrm{kelas}\mathrm{kuartil}\\ p& =& \mathrm{panjang}\mathrm{kelas}\end{array}$$

Berdasarkan data di atas diperoleh banyak datanya adalah $$n=8+10+15+18+12+9=72$$.

Kuartil 1:

$$\begin{array}{rcl}{Q}_1& =& \mathrm{data}\mathrm{ke}-\frac{1}{4}n\\ & =& \mathrm{data}\mathrm{ke}-\frac{1}{4}\times 72\\ & =& \mathrm{data}\mathrm{ke}-18\end{array}$$

Sehingga diperoleh $$Q_1$$ data ke-$$18$$ pada kelas dengan tepi bawah $$53,5$$.

$$\begin{gathered} f_k=8 \\ {f}_{Q_1}=10 \\ p=53,5-47,5=6 \end{gathered}$$

$$\begin{array}{rcl}{Q}_1& =& L_{Q_i}+\frac{\frac{1}{4}n-f_k}{f_{Q_1}}\times p\\ & =& 53,5+\frac{18-8}{10}\times 6\\ & =& 53,5+\frac{10}{10}\times 6\\ & =& 53,5+\frac{60}{10}\\ & =& 53,5+6\\ & =& 59,6\end{array}$$

Kuartil 3:

$$\begin{array}{rcl}{Q}_3& =& \mathrm{data}\mathrm{ke}-\frac{3}{4}n\\ & =& \mathrm{data}\mathrm{ke}-\frac{3}{4}\times 72\\ & =& \mathrm{data}\mathrm{ke}-54\end{array}$$

Sehingga diperoleh $$Q_3$$ data ke-$$54$$ pada kelas dengan tepi bawah $$71,5$$.

$$\begin{gathered} f_k=8+10+15+18=51 \\ {f}_{Q_3}=12 \\ p=53,5-47,5=6 \end{gathered}$$

$$\begin{array}{rcl}{Q}_3& =& L_{Q_3}+\frac{\frac{3}{4}n-f_k}{f_{Q_3}}\times p\\ & =& 71,5+\frac{54-51}{12}\times 6\\ & =& 71,5+\frac{3}{12}\times 6\\ & =& 71,5+\frac{18}{12}\\ & =& 71,5+1,5\\ & =& 73\end{array}$$

Oleh karena itu, nilai hamparannya adalah

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{hamparan}& =& Q_3-Q_1\\ & =& 73-59,6\\ & =& 13,4\end{array}$$

Ingat bahwa:

Simpangan kuartil dapat dinyatakan melalui rumus berikut.

$$\mathrm{simpangan}\mathrm{kuartil}=\frac{1}{2}\times \mathrm{hamparan}$$

Sehingga simpangan kuartilnya adalah

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{simpangan}\mathrm{kuartil}& =& \frac{1}{2}\times \mathrm{hamparan}\\ & =& \frac{1}{2}\times 13,4\\ & =& 6,7\end{array}$$

Dengan demikian, berdasarkan histogram di atas diperoleh hamparannya adalah $$13,4$$ dan simpangan kuartilnya adalah $$6,7$$.

ngat bahwa:

Hamparan dapat dinyatakan melalui rumus berikut.

$$\mathrm{Hamparan}=Q_3-Q_1$$

dengan

$$\begin{gathered} Q_3=\mathrm{kuartil}\mathrm{tiga}(\mathrm{kuartil}\mathrm{atas}) \\ {Q}_1=\mathrm{kuartil}\mathrm{satu}(\mathrm{kuartil}\mathrm{bawah}) \end{gathered}$$

Ingat pula bahwa rumus kuartil adalah

$$Q_i=L_{Q_i}+\frac{\frac{i}{4}n-f_k}{f_{Q_i}}\times p$$

dengan

$$\begin{array}{rcl}{Q}_i& =& \mathrm{kuartil}\mathrm{ke}-i\\ L_{Q_i}& =& \mathrm{tepi}\mathrm{bawah}\mathrm{kelas}\mathrm{kuartil}\\ i& =& 1,2,3\\ n& =& \mathrm{banyak}\mathrm{data}\\ f_k& =& \mathrm{frekuensi}\mathrm{kumulatif}\mathrm{sebelum}\mathrm{kelas}\mathrm{kuartil}\\ f_{Q_i}& =& \mathrm{frekuensi}\mathrm{kelas}\mathrm{kuartil}\\ p& =& \mathrm{panjang}\mathrm{kelas}\end{array}$$

Berdasarkan data di atas diperoleh banyak datanya adalah $$n=3+7+10+12+9+7=48$$

Kuartil 1:

$$\begin{array}{rcl}{Q}_1& =& \mathrm{data}\mathrm{ke}-\frac{1}{4}n\\ & =& \mathrm{data}\mathrm{ke}-\frac{1}{4}\times 48\\ & =& \mathrm{data}\mathrm{ke}-12\end{array}$$

Sehingga diperoleh $$Q_1$$ data ke-$$12$$ pada kelas dengan tepi bawah $$36,5$$.

$$\begin{gathered} f_k=3+7=10 \\ {f}_{Q_1}=10 \\ p=30,5-24,5=6 \end{gathered}$$

$$\begin{array}{rcl}{Q}_1& =& L_{Q_i}+\frac{\frac{1}{4}n-f_k}{f_{Q_1}}\times p\\ & =& 36,5+\frac{12-10}{10}\times 6\\ & =& 36,5+\frac{2}{10}\times 6\\ & =& 36,5+\frac{12}{10}\\ & =& 36,5+1,2\\ & =& 37,7\end{array}$$

Kuartil 3:

$$\begin{array}{rcl}{Q}_3& =& \mathrm{data}\mathrm{ke}-\frac{3}{4}n\\ & =& \mathrm{data}\mathrm{ke}-\frac{3}{4}\times 48\\ & =& \mathrm{data}\mathrm{ke}-36\end{array}$$

Sehingga diperoleh $$Q_3$$ data ke-$$36$$ pada kelas dengan tepi bawah $$48,5$$.

$$\begin{gathered} f_k=3+7+10+12=32 \\ {f}_{Q_3}=9 \\ p=30,5-24,5=6 \end{gathered}$$

$$\begin{array}{rcl}{Q}_3& =& L_{Q_3}+\frac{\frac{3}{4}n-f_k}{f_{Q_3}}\times p\\ & =& 48,5+\frac{36-32}{9}\times 6\\ & =& 48,5+\frac{4}{9}\times 6\\ & =& 48,5+\frac{24}{9}\\ & =& 48,5+2,67\\ & =& 51,17\end{array}$$

Oleh karena itu, nilai hamparannya adalah

$$\begin{array}{rcl}\mathrm{hamparan}& =& Q_3-Q_1\\ & =& 51,17-37,7\\ & =& 13,47\end{array}$$

Dengan demikian, hamparan histogram di atas adalah $$13,47$$.