Perhatikan gambar di bawah ini! Sebuah tangga dengan panjang 7 meter disandarkan pada sebuah dinding. Karena tangga ditempatkan pada sebuah lantai yang licin, tangga tersebut merosot sehingga pada saat jarak puncak tangga dengan lantai adalah 4 meter, posisi ujung tangga yang menempel dengan dinding bergeser dengan perubahan laju posisi 2 1 ​ m / s ke bawah. Pada saat tersebut, kondisi yang terjadi terkait laju perubahan pada ujung tangga yang menempel pada lantai dan lanju perubahan pada besar sudut antara tangga dan lantai adalah ....

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut! Misalkan pada suatu kondisi, jarak ujung bawah tangga dengan dinding adalah x m dan jarak puncak tangga dengan lantai adalah y m . Dapat diperhatikan bahwa karena tangga tersebut merosot, maka x dan y akan bergantung terhadap waktu ( t ) dan diasumsikan bahwa x dan y dapat diturunkan terhadap t . Dalam hal ini, dapat diperhatikan bahwa dinding tegak lurus dengan lantai sehingga menggunakan Teorema Pythagoras didapat hubungan sebagai berikut. x 2 + y 2 = 7 2 x 2 + y 2 = 49 Diketahui x dan y bergantung terhadap t , maka dengan menggunakan sifat-sifat turunan, didapat perhitungan sebagai berikut. x 2 + y 2 d t d ​ ( x 2 + y 2 ) d t d ​ ( x 2 ) + d t d ​ ( y 2 ) d x d ​ ( x 2 ) ⋅ d t d x ​ + d y d ​ ( y 2 ) ⋅ d t d y ​ 2 x ⋅ d t d x ​ + 2 y ⋅ d t d y ​ x ⋅ d t d x ​ + y ⋅ d t d y ​ ​ = = = = = = ​ 49 d t d ​ ( 49 ) 0 0 0 0 ​ Kemudian, saatjarak puncak tangga dengan lantai adalah 4 meter atau y = 4 , didapat bahwaposisi ujung tangga yang menempel dengan dinding bergeser dengan perubahan laju posisi 2 1 ​ m / s ke bawah atau d t d y ​ = 2 1 ​ . Perhatikan gambar berikut! Karena bagian puncak tangga bergeser ke bawah, maka bagian bawah tangga akan bergeser menjauhi dinding dengan laju d t d x ​ . Kemudian, karena y = 4 , maka didapat nilai x sebagai berikut. x 2 + y 2 x 2 + 4 2 x 2 + 16 x 2 x ​ = = = = = ​ 49 49 49 33 ± 33 ​ ​ Karena jarak ujung bawah tangga dengan dinding tidak mungkin bernilai negatif, maka x = 33 ​ . Dengan demikian, didapat perhitungan sebagai berikut. x ⋅ d t d x ​ + y ⋅ d t d y ​ 33 ​ ⋅ d t d x ​ + 4 ⋅ 2 1 ​ 33 ​ ⋅ d t d x ​ + 2 33 ​ ⋅ d t d x ​ d t d x ​ d t d x ​ d t d x ​ ​ = = = = = = = ​ 0 0 0 − 2 33 ​ − 2 ​ − 33 ​ 2 ​ ⋅ 33 ​ 33 ​ ​ − 33 2 ​ 33 ​ ​ Didapat bahwa d t d x ​ = − 33 2 ​ 33 ​ sehingga pada kondisi yang disebutkan pada soal,besar laju perubahan posisi ujung tangga yang menempel pada lantai adalah ∣ ∣ ​ − 33 2 ​ 33 ​ ∣ ∣ ​ = 33 2 ​ 33 ​ m / s dengan arah menjauhi dinding. Kemudian, akan dicari laju perubahan besar sudut antara tangga dengan lantai. Perhatikan gambar berikut! Dapat diperhatikan bahwa sin θ = 7 y ​ . Denganmenggunakan sifat-sifat turunan, didapat perhitungan sebagai berikut. sin θ d t d ​ ( sin θ ) d θ d ​ ( sin θ ) ⋅ d t d θ ​ cos θ ⋅ d t d θ ​ 7 x ​ ⋅ d t d θ ​ x ⋅ d t d θ ​ d t d θ ​ ​ = = = = = = = ​ 7 y ​ d t d ​ ( 7 y ​ ) d y d ​ ( 7 y ​ ) ⋅ d t d y ​ 7 1 ​ ⋅ d t d y ​ 7 1 ​ ⋅ d t d y ​ d t d y ​ x 1 ​ ⋅ d t d y ​ ​ Telah didapatkan sebelumnya bahwa ketika untuk kondisi nilai y = 4 , didapat bahwa d t d y ​ = 2 1 ​ dan x = 33 ​ sehingga didapat laju perubahan besar sudutnya adalah sebagai berikut. d t d θ ​ d t d θ ​ d t d θ ​ d t d θ ​ d t d θ ​ ​ = = = = = ​ x 1 ​ ⋅ d t d y ​ 33 ​ 1 ​ ⋅ 2 1 ​ 2 33 ​ 1 ​ 2 33 ​ 1 ​ ⋅ 33 ​ 33 ​ ​ 66 33 ​ ​ rad / s ​ Kemudian, dapat diketahui bahwa jika tangga merosot ke bawah, maka sudut antara tangga dengan lantai akan berkurang sehingga laju perubahan besar sudut yang dialami adalah terjadi pengurangan besar sudut sebesar ​ ​ 66 33 ​ ​ rad / s ​ . Dengan demikian,ujung tangga yang menempel pada lantai menjauhi dinding dengan laju 33 2 ​ 33 ​ m / s dan terjadi pengurangan besar sudut dengan laju ​ ​ 66 33 ​ ​ rad / s ​ . Jadi, jawaban yang tepat adalah A.