Pertanyaan

Diberikan y = 3 sin 2 x − cos 2 x . Selisih nilai maksimum dan minimum dari y pada interval 0 ≤ x ≤ 2 3 π adalah ....

Diberikan $y = 3 sin 2 x - cos 2 x$ . Selisih nilai maksimum dan minimum dari $y$ pada interval $0 \leq x \leq \frac{3 π}{2}$ adalah ....

8 dari 10 siswa nilainya naik

dengan paket belajar pilihan

Habis dalam

Klaim

D. Natalia

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah D.

Pembahasan

Terlebih dahulu, akan dicari turunan pertama dari ,yaitu sebagai berikut. Kemudian, akan dicari turunan kedua dari ,yaitu sebagai berikut. Untuk mencari nilai maksimum dan minimum dari ,maka dapat diselidiki titik batas dan titik stasionernya. Untuk titik batasnya, didapatkan dan , karena diketahui . Kemudian, titik stasioner dari dapat ditentukan ketika . Ingat bahwa penyelesaian dari persamaan di atas adalah sebagai berikut. Dalam interval , dapat diperiksa bahwa nilai yang memenuhi adalah , , dan . Selanjutnya, uji titik-titik batas dan titik stasioner pada , yaitu sebagai berikut. Untuk , didapat hasil sebagai berikut. Untuk , didapat hasil sebagai berikut. Untuk , didapat hasil sebagai berikut. Untuk , didapat hasil sebagai berikut. Untuk , didapat hasil sebagai berikut. Dari perhitungan di atas, dapat diperhatikan bahwa dan . Dengan demikian, selisihnilai maksimum dan minimum dari pada interval adalah . Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

Terlebih dahulu, akan dicari turunan pertama dari , yaitu sebagai berikut.

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell square root of 3 sin 2 x minus cos 2 x end cell row cell y apostrophe end cell equals cell square root of 3 cos 2 x times 2 minus open parentheses negative sin 2 x close parentheses times 2 end cell row cell y apostrophe end cell equals cell 2 square root of 3 cos 2 x plus 2 sin 2 x end cell end table

Kemudian, akan dicari turunan kedua dari , yaitu sebagai berikut.

Untuk mencari nilai maksimum dan minimum dari y apostrophe apostrophe , maka dapat diselidiki titik batas dan titik stasionernya.

Untuk titik batasnya, didapatkan x equals 0 dan $begin mathsize 14px style x equals fraction numerator 3 pi over denominator 2 end fraction end style$ , karena diketahui $begin mathsize 14px style 0 less or equal than x less or equal than fraction numerator 3 pi over denominator 2 end fraction end style$ .

Kemudian, titik stasioner dari y apostrophe apostrophe dapat ditentukan ketika y apostrophe apostrophe apostrophe equals 0 .

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell y apostrophe apostrophe apostrophe end cell equals 0 row cell negative 4 square root of 3 open parentheses cos 2 x times 2 close parentheses plus 4 open parentheses negative sin 2 x times 2 close parentheses end cell equals 0 row cell negative 8 square root of 3 cos 2 x minus 8 sin 2 x end cell equals 0 row cell negative 8 sin 2 x end cell equals cell 8 square root of 3 cos 2 x end cell row cell fraction numerator sin 2 x over denominator cos 2 x end fraction end cell equals cell fraction numerator 8 square root of 3 over denominator negative 8 end fraction end cell row cell tan 2 x end cell equals cell negative square root of 3 end cell row cell tan 2 x end cell equals cell tan fraction numerator 2 pi over denominator 3 end fraction end cell end table$

Ingat bahwa penyelesaian dari persamaan di atas adalah sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 x end cell equals cell fraction numerator 2 pi over denominator 3 end fraction plus pi k end cell row x equals cell pi over 3 plus fraction numerator pi k over denominator 2 end fraction end cell end table$

Dalam interval $0 less or equal than x less or equal than fraction numerator 3 pi over denominator 2 end fraction$ , dapat diperiksa bahwa nilai yang memenuhi adalah x equals pi over 3 , $fraction numerator 5 pi over denominator 6 end fraction$ , dan $fraction numerator 4 pi over denominator 3 end fraction$ .

Selanjutnya, uji titik-titik batas dan titik stasioner pada y apostrophe apostrophe , yaitu sebagai berikut.

Untuk x equals 0 , didapat hasil sebagai berikut.

Untuk $x equals fraction numerator 3 pi over denominator 2 end fraction$ , didapat hasil sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell y apostrophe apostrophe end cell equals cell negative 4 square root of 3 sin 2 open parentheses fraction numerator 3 pi over denominator 2 end fraction close parentheses plus 4 cos 2 open parentheses fraction numerator 3 pi over denominator 2 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell negative 4 square root of 3 open parentheses 0 close parentheses plus 4 open parentheses negative 1 close parentheses end cell row blank equals cell negative 4 end cell end table$

Untuk x equals pi over 3 , didapat hasil sebagai berikut.

Untuk $x equals fraction numerator 5 pi over denominator 6 end fraction$ , didapat hasil sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell y apostrophe apostrophe end cell equals cell negative 4 square root of 3 sin 2 open parentheses fraction numerator 5 pi over denominator 6 end fraction close parentheses plus 4 cos 2 open parentheses fraction numerator 5 pi over denominator 6 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell negative 4 square root of 3 open parentheses negative 1 half square root of 3 close parentheses plus 4 open parentheses 1 half close parentheses end cell row blank equals cell 6 plus 2 end cell row blank equals 8 end table$

Untuk $x equals fraction numerator 4 pi over denominator 3 end fraction$ , didapat hasil sebagai berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell y apostrophe apostrophe end cell equals cell negative 4 square root of 3 sin 2 open parentheses fraction numerator 4 pi over denominator 3 end fraction close parentheses plus 4 cos 2 open parentheses fraction numerator 4 pi over denominator 3 end fraction close parentheses end cell row blank equals cell negative 4 square root of 3 open parentheses 1 half square root of 3 close parentheses plus 4 open parentheses negative 1 half close parentheses end cell row blank equals cell negative 6 minus 2 end cell row blank equals cell negative 8 end cell end table$

Dari perhitungan di atas, dapat diperhatikan bahwa y apostrophe apostrophe subscript maks equals 8 dan .

Dengan demikian, selisih nilai maksimum dan minimum dari y apostrophe apostrophe pada interval $begin mathsize 14px style 0 less or equal than x less or equal than fraction numerator 3 pi over denominator 2 end fraction end style$ adalah y apostrophe apostrophe subscript maks minus y apostrophe apostrophe subscript min equals 8 minus open parentheses negative 8 close parentheses equals 16 .

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.