Perhatikan gambar berikut. Titik-titik sebidang A, B, C, D, dan P masing-masing memiliki vektor-vektor posisi a , b , c , d , dan p relatif terhadap titik asal O pada bidang. D membagi BC ⇀ dalam perbandingan 1 ÷ 2 dan P membagi OB ⇀ dan AD ⇀ dalam perbandingan 3 ÷ 1 . Gunakan metode vektor untuk membuktikan bahwa OABC adalah suatu jajargenjang.

Pembahasan

Akan dibuktikan bahwa OABC adalah suatu jajargenjang. Berdasarkan metode vektor, OABC dikatakan suatu jajargenjang apabila O A ⇀ + OC ⇀ = OB ⇀ Diketahuivektor-vektor posisi masing-masing titikrelatif terhadap titik asal O pada bidang adalah a , b , c , d , dan p 1. Diketahui bahwaD membagi BC ⇀ dalam perbandingan 1 ÷ 2 , berarti B D ⇀ ÷ D C ⇀ = 1 ÷ 2 . Maka dapat diperoleh D C ⇀ B D ⇀ ​ 2 B D ⇀ 2 ( d − b ) 2 d − 2 b 2 d − 2 b + d 3 d − 2 b ​ = = = = = = ​ 2 1 ​ D C ⇀ c − d c − d c c ​ 2. Diketahui bahwa P membagi OB ⇀ dalam perbandingan 3 ÷ 1 , berarti OP ⇀ ÷ PB ⇀ = 3 ÷ 1 . Maka dapat diperoleh PB ⇀ OP ⇀ ​ OP ⇀ p p p + 3 p 4 p p ​ = = = = = = = ​ 1 3 ​ 3 PB ⇀ 3 ( b − p ) 3 b − 3 p 3 b 3 b 4 3 ​ b ​ 3. Diketahui bahwa P membagi A P ⇀ dalam perbandingan 3 ÷ 1 , berarti A P ⇀ ÷ P D ⇀ = 3 ÷ 1 . Maka dapat diperoleh P D ⇀ A P ⇀ ​ A P ⇀ p − a p − a p + 3 p − 3 d 4 p − 3 d ​ = = = = = = ​ 1 3 ​ 3 P D ⇀ 3 ( d − p ) 3 d − 3 p a a ​ Selanjutnya dapat diperoleh a + c ​ = = = = = = ​ ( 4 p − 3 d ) + ( 3 d − 2 b ) 4 p − 3 d + 3 d − 2 b 4 p − 2 b 4 ( 4 3 ​ b ) − 2 b 3 b − 2 b b ​ Ternyata diperoleh a + c O A ⇀ + OC ⇀ ​ = = ​ b OB ⇀ ​ Dengan kata lain, terbukti bahwa OABC adalah jajargenjang Dengan demikian, menggunakan metode vektor terbukti bahwa OABC adalah suatu jajargenjang