Pertanyaan

Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A ( 2 , − 3 , 4 ) , B ( 5 , 0 , 1 ) dan C ( 4 , 2 , 5 ) . Titik P membagi AB sehingga AP : AB = 2 : 3 . Panjang vektor PC adalah ....

Diketahui segitiga $ABC$ dengan koordinat $A (2, - 3, 4)$ , $B (5, 0, 1)$ dan $C (4, 2, 5)$ . Titik $P$ membagi $AB$ sehingga $AP : AB = 2 : 3$ . Panjang vektor $PC$ adalah ....

$10$
$13$
$15$
$32$
$92$

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah D.

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah D. Ingat! Rumus perbandingan vektor. Misalkan vektor posisi titik A , titik B dan titik C berturut-turut adalah a , b , dan c . Titik C terletak pada ruas garis AB dengan perbandingan AC : CB = m : n maka vektor posisi titik C dapat ditentukan sebagai berikut: c = m + n m b + n a Jika koordinat titik A ( x 1 , y 1 ) dan B ( x 2 , y 2 ) maka dapat ditetapkan: A B = B − A = ( x 2 − x 1 y 2 − y 1 ) Rumus untuk menentukan penjumlahan dan pengurangandua vektor, jika diketahui a = ( x 1 y 1 ) dan vektor b = ( x 2 y 2 ) maka a ± b = ( x 1 y 1 ) ± ( x 2 y 2 ) = ( x 1 ± x 2 y 1 ± y 2 ) Rumus untuk menentukan panjang vektor r = ⎝ ⎛ x y z ⎠ ⎞ adalah sebagai berikut: ∣ ∣ r ∣ ∣ = x 2 + y 2 + z 2 Rumus untuk perkalian skalar m dengan vektor a = ( x 1 y 1 ) adalah sebagai berikut: m a = m ( x 1 x 2 ) = ( m x 1 m x 2 ) Diketahui: A ( 2 , − 3 , 4 ) → a = ⎝ ⎛ 2 − 3 4 ⎠ ⎞ B ( 5 , 0 , 1 ) → b = ⎝ ⎛ 5 0 1 ⎠ ⎞ C ( 4 , 2 , 5 ) → c = ⎝ ⎛ 4 2 5 ⎠ ⎞ Titik P membagi AB sehingga AP : AB AB 3 PB = = = = ⇔ 2 : 3 AP + PB 2 + PB 1 AP : PB = 2 : 1 → m = 2 , n = 1 Ditanya:panjang vektor PC . Jawab: Dengan menggunakan rumus perbandingan vektor di atas, maka panjang vektor posisi p adalah sebagai berikut: p = = = = = m + n m b + n a 2 + 1 2 ( 5 0 1 ) + 1 ( 2 − 3 4 ) 3 ( 10 0 2 ) + ( 2 − 3 4 ) 3 1 ⎝ ⎛ 12 − 3 6 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 4 − 1 2 ⎠ ⎞ Dengan demikian, panjangvektor PC adalah sebagai berikut: ∣ ∣ PC ∣ ∣ = = = = = = = ∣ ∣ c − p ∣ ∣ ( 4 − 4 ) 2 + ( 2 + 1 ) 2 + ( 5 − 2 ) 2 0 + 3 2 + 3 2 9 + 9 18 9.2 3 2 Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah D.

Ingat!

Rumus perbandingan vektor. Misalkan vektor posisi titik $A$ , titik $B$ dan titik $C$ berturut-turut adalah $a$ , $b$ , dan $c$ . Titik $C$ terletak pada ruas garis $AB$ dengan perbandingan $AC : CB = m : n$ maka vektor posisi titik $C$ dapat ditentukan sebagai berikut:

$c = \frac{m b + n a}{m + n}$

Jika koordinat titik $A (x_{1}, y_{1})$ dan $B (x_{2}, y_{2})$ maka dapat ditetapkan:

$A B = B - A = (x_{2} - x_{1} y_{2} - y_{1})$

Rumus untuk menentukan penjumlahan dan pengurangan dua vektor, jika diketahui $a = (x_{1} y_{1})$ dan vektor $b = (x_{2} y_{2})$ maka

$a \pm b = (x_{1} y_{1}) \pm (x_{2} y_{2}) = (x_{1} \pm x_{2} y_{1} \pm y_{2})$

Rumus untuk menentukan panjang vektor $r = ⎝ ⎛ x y z ⎠ ⎞$ adalah sebagai berikut:

$∣ ∣ r ∣ ∣ = x^{2} + y^{2} + z^{2}$

Rumus untuk perkalian skalar $m$ dengan vektor $a = (x_{1} y_{1})$ adalah sebagai berikut:

$m a = m (x_{1} x_{2}) = (m x_{1} m x_{2})$

Diketahui:

$A (2, - 3, 4) \to a = ⎝ ⎛ 2 - 3 4 ⎠ ⎞$

$B (5, 0, 1) \to b = ⎝ ⎛ 501 ⎠ ⎞$

$C (4, 2, 5) \to c = ⎝ ⎛ 425 ⎠ ⎞$

Titik $P$ membagi $AB$ sehingga

$AP : AB AB 3 PB = = = = \Leftrightarrow 2 : 3 AP + PB 2 + PB 1 AP : PB = 2 : 1 \to m = 2, n = 1$

Ditanya: panjang vektor $PC$ .

Jawab:

Dengan menggunakan rumus perbandingan vektor di atas, maka panjang vektor posisi $p$ adalah sebagai berikut:

$p = = = = = \frac{m b + n a}{m + n} \frac{2 ( 5 0 1 ) + 1 ( 2 - 3 4 )}{2 + 1} \frac{( 10 0 2 ) + ( 2 - 3 4 )}{3} \frac{1}{3} ⎝ ⎛ 12 - 3 6 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 4 - 1 2 ⎠ ⎞$

Dengan demikian, panjang vektor $PC$ adalah sebagai berikut:

$∣ ∣ PC ∣ ∣ = = = = = = = ∣ ∣ c - p ∣ ∣ (4 - 4)^{2} + (2 + 1)^{2} + (5 - 2)^{2} 0 + 3^{2} + 3^{2} 9 + 9 18 9.2 32$

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.8 (16 rating)

Egi Legiansyahpro

Pembahasan lengkap banget

I Kmg Art

Makasih ❤️

Pertanyaan serupa

Titik N membagi garis LM dengan perbandingan 3 : 1 . Titik L mempunyai koordinat ( − 1 , 1 , 0 ) dan LM = ⎝ ⎛ 4 4 4 ⎠ ⎞ . Koordinat titik N adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Titik N membagi garis LM dengan perbandingan 3 : 1 . Titik L mempunyai koordinat ( − 1 , 1 , 0 ) dan LM = ⎝ ⎛ 4 4 4 ⎠ ⎞ . Koordinat titik N adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( 3 , 4 , − 12 ) , B ( 6 , 4 , 3 ) , dan C ( 2 , 1 , − 1 ) . Titik P membagi AB sehingga AP:PB=2:1 , maka vektor yang diwakili PC adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( 3 , 4 , − 12 ) , B ( 6 , 4 , 3 ) , dan C ( 2 , 1 , − 1 ) . Titik P membagi AB sehingga AP:PB=2:1 , maka vektor yang diwakili PC adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Kedudukan titik R terhadap titik dan Q digambarkan sebagai berikut. Jika koordinat titik P ( − 3 , 2 ) dan Q ( 6 , − 1 ) , koordinat titik R adalah ....

4.6

Jawaban terverifikasi