Diketahui segitiga ABC dengan koordinat A(2, −3, 4), B(5, 0, 1) dan C(4, 2, 5). Titik P membagi AB sehingga AP : AB =2 : 3. Panjang vektor PC adalah ....

Pertanyaan

Diketahui segitiga $\mathrm{ABC}$ dengan koordinat $\mathrm A\left(2,\;-3,\;4\right)$ , $\mathrm B\left(5,\;0,\;1\right)$ dan $\mathrm C\left(4,\;2,\;5\right)$ . Titik $\mathrm P$ membagi $\mathrm{AB}$ sehingga $\mathrm{AP}\;:\;\mathrm{AB}\;=2\;:\;3$ . Panjang vektor $\overrightarrow{\mathrm{PC}}$ adalah ....

$\sqrt{10}$
$\sqrt{13}$
$\sqrt{15}$
$3\sqrt2$
$9\sqrt2$

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah D.

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah D.

Ingat!

Rumus perbandingan vektor. Misalkan vektor posisi titik $\mathrm A$ , titik $\mathrm B$ dan titik $\mathrm C$ berturut-turut adalah $\overrightarrow a$ , $\overrightarrow b$ , dan $\overrightarrow c$ . Titik $\mathrm C$ terletak pada ruas garis $\mathrm{AB}$ dengan perbandingan $\mathrm{AC}\;:\;\mathrm{CB}=m\;:\;n$ maka vektor posisi titik $\mathrm C$ dapat ditentukan sebagai berikut:

$c with rightwards arrow on top equals fraction numerator m b with rightwards arrow on top plus n a with rightwards arrow on top over denominator m plus n end fraction$

Jika koordinat titik $\mathrm A\left(x_1,\;y_1\right)$ dan $\mathrm B\left(x_2,\;y_2\right)$ maka dapat ditetapkan:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow B-\overrightarrow A=\begin{pmatrix}x_2-x_1\\y_2-y_1\end{pmatrix}$

Rumus untuk menentukan penjumlahan dan pengurangan dua vektor, jika diketahui $\overrightarrow a=\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}$ dan vektor $\overrightarrow b=\begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix}$ maka

$\overrightarrow a\pm\overrightarrow b=\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}\pm\begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\pm x_2\\y_1\pm y_2\end{pmatrix}$

Rumus untuk menentukan panjang vektor $\overrightarrow r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}$ adalah sebagai berikut:

$\left|\overrightarrow r\right|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Rumus untuk perkalian skalar $m$ dengan vektor $\overrightarrow a=\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}$ adalah sebagai berikut:

$m\overrightarrow a=m\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}mx_1\\mx_2\end{pmatrix}$

Diketahui:

$\mathrm A\left(2,\;-3,\;4\right)\rightarrow\overrightarrow a=\begin{pmatrix}2\\-3\\4\end{pmatrix}$

$\mathrm B\left(5,\;0,\;1\right)\rightarrow\overrightarrow b=\begin{pmatrix}5\\0\\1\end{pmatrix}$

$\mathrm C\left(4,\;2,\;5\right)\rightarrow\overrightarrow c=\begin{pmatrix}4\\2\\5\end{pmatrix}$

Titik $\mathrm P$ membagi $\mathrm{AB}$ sehingga

$\begin{array}{rcl}\mathrm{AP}\;:\;\mathrm{AB}\;&=&2\;:\;3\\\mathrm{AB}&=&\mathrm{AP}+\mathrm{PB}\\3&=&2+\mathrm{PB}\\\mathrm{PB}&=&1\\&\Leftrightarrow&\mathrm{AP}\;:\;\mathrm{PB}=2\;:1\rightarrow m=2\;,\;n=1\end{array}$

Ditanya: panjang vektor $\overrightarrow{PC}$ .

Jawab:

Dengan menggunakan rumus perbandingan vektor di atas, maka panjang vektor posisi $\overrightarrow p$ adalah sebagai berikut:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell p with rightwards arrow on top end cell equals cell fraction numerator m b with rightwards arrow on top plus n a with rightwards arrow on top over denominator m plus n end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 open parentheses table row 5 row 0 row 1 end table close parentheses plus 1 open parentheses table row 2 row cell negative 3 end cell row 4 end table close parentheses over denominator 2 plus 1 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator open parentheses table row 10 row 0 row 2 end table close parentheses plus open parentheses table row 2 row cell negative 3 end cell row 4 end table close parentheses over denominator 3 end fraction end cell row blank equals cell 1 third open parentheses table row 12 row cell negative 3 end cell row 6 end table close parentheses end cell row blank equals cell open parentheses table row 4 row cell negative 1 end cell row 2 end table close parentheses end cell end table$

Dengan demikian, panjang vektor $\overrightarrow{PC}$ adalah sebagai berikut:

$\begin{array}{rcl}\left|\overrightarrow{PC}\right|&=&\left|\overrightarrow c-\overrightarrow p\right|\\&=&\sqrt{\left(4-4\right)^2+\left(2+1\right)^2+\left(5-2\right)^2}\\&=&\sqrt{0+3^2+3^2}\\&=&\sqrt{9+9}\\&=&\sqrt{18}\\&=&\sqrt{9.2}\\&=&3\sqrt2\end{array}$

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.