Iklan

Iklan

Pertanyaan

Perhatikan gambar berikut. Sebagaimana terlihat pada gambar, ambil P , Q , R , dan O sebagai titik-titik sudut suatu tetrahedron (bidang empat) dan A , B , C , dan D berturut-turut adalah luas bidang yang terletak di hadapannya. Tunjukan bahwa A 2 + B 2 + C 2 = D 2 .

Perhatikan gambar berikut.

Sebagaimana terlihat pada gambar, ambil , dan  sebagai titik-titik sudut suatu tetrahedron (bidang empat) dan , dan  berturut-turut adalah luas bidang yang terletak di hadapannya. Tunjukan bahwa .

Iklan

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa A 2 + B 2 + C 2 = D 2 .

terbukti bahwa .

Iklan

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah A 2 + B 2 + C 2 = D 2 terbukti benar. Ingat! Rumus untuk menentukan luas segitiga adalah sebagai berikut: L = 2 1 ​ × alas × tinggi Jika koordinat titik A ( x 1 ​ , y 1 ​ ) dan B ( x 2 ​ , y 2 ​ ) maka dapat ditetapkan: A B = B − A = ( x 2 ​ − x 1 ​ y 2 ​ − y 1 ​ ​ ) Rumus perkalian titik skalar antaravektor a dan vektor b adalah sebagai berikut: a . b = ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ cos θ Rumus perkalian silang vektor antaravektor a dan vektor b adalah sebagai berikut: ∣ ∣ ​ a × b ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ​ a ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ b ∣ ∣ ​ sin θ Rumus perkalian dua vektor jika diketahui a = ( x 1 ​ y 1 ​ ​ ) dan vektor b = ( x 2 ​ y 2 ​ ​ ) maka a ⋅ b = x 1 ​ x 2 ​ + y 1 ​ y 2 ​ Rumus identitas trigonometri adalah sebagai berikut: sin 2 θ + cos 2 θ = 1 Perhatikan gambar pada soal! Diketahui: Titik P ( p , 0 , 0 ) Titik Q ( 0 , q , 0 ) Titik R ( 0 , 0 , r ) Dengan menggunakan rumus luas segitiga maka A 2 + B 2 + C 2 adalah sebagai berikut: A 2 + B 2 + C 2 ​ = = = = = ​ L △ A ​ + L △ B ​ + L △ C ​ ( 2 q . r ​ ) 2 + ( 2 p . r ​ ) 2 + ( 2 q . p ​ ) 2 ( 2 q r ​ ) 2 + ( 2 p r ​ ) 2 + ( 2 pq ​ ) 2 4 q 2 r 2 ​ + 4 p 2 r 2 ​ + 4 p 2 q 2 ​ 4 1 ​ ( q 2 r 2 + p 2 r 2 + p 2 q 2 ) ​ Akan dibuktikan A 2 + B 2 + C 2 = D 2 . Dengan menggunakan rumus perkalian titik skalar antaravektor a dan vektor b maka RQ ​ . RP ( Q ​ − R ) . ( P − R ) ⎝ ⎛ ​ 0 q − r ​ ⎠ ⎞ ​ . ⎝ ⎛ ​ p 0 − r ​ ⎠ ⎞ ​ 0 + 0 + ( − r ) × ( − r ) r 2 ​ = = = = = ⇔ ​ ∣ ∣ ​ RQ ​ ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ RP ∣ ∣ ​ cos θ ∣ ∣ ​ ( Q ​ − R ) ∣ ∣ ​ ∣ ∣ ​ ( P − R ) ∣ ∣ ​ cos θ ( q 2 + ( − r ) 2 ​ ) ( p 2 + ( − r ) 2 ​ ) cos θ ( q 2 + r 2 ​ ) ( p 2 + r 2 ​ ) cos θ ( q 2 + r 2 ​ ) ( p 2 + r 2 ​ ) cos θ cos θ = ( q 2 + r 2 ​ ) ( p 2 + r 2 ​ ) r 2 ​ ​ Pada soal, D adalah gambar segitiga PQR , sesuai dengan ketentuan vektor maka luas segitiga PQR adalah sebagai berikut: L △ PQR ​ D ​ = = = = = = = = = = = ⇔ = = ​ 2 ∣ RQ × RP ∣ ​ 2 ∣ ∣ ​ RQ ​ ∣ ∣ ​ . ∣ ∣ ​ RP ∣ ∣ ​ s i n θ ​ 2 ( q 2 + r 2 ​ ) ( p 2 + r 2 ​ ) s i n θ ​ 2 ( q 2 + r 2 ​ ) ( p 2 + r 2 ​ ) ( 1 − c o s 2 θ ​ ) ​ 2 ( q 2 + r 2 ​ ) ( p 2 + r 2 ​ ) ( 1 − ( ( q 2 + r 2 ​ ) ( p 2 + r 2 ​ ) r 2 ​ ) 2 ​ ) ​ 2 ( q 2 + r 2 ​ ) ( p 2 + r 2 ​ ) ( 1 − ( q 2 + r 2 ) ( p 2 + r 2 ) r 4 ​ ​ ) ​ 2 ( q 2 + r 2 ​ ) ( p 2 + r 2 ​ ) ( ( q 2 + r 2 ) ( p 2 + r 2 ) ( q 2 + r 2 ) ( p 2 + r 2 ) − r 4 ​ ​ ) ​ 2 ( q 2 + r 2 ) ( p 2 + r 2 ) ​ ( ( q 2 + r 2 ) ( p 2 + r 2 ) ​ ( q 2 + r 2 ) ( p 2 + r 2 ) − r 4 ​ ​ ) ​ 2 ( q 2 + r 2 ) ( p 2 + r 2 ) − r 4 ​ ​ 2 p 2 q 2 + q 2 r 2 + p 2 r 2 + r 4 − r 4 ​ ​ 2 q 2 r 2 + p 2 r 2 + p 2 q 2 ​ ​ D 2 = ( 2 q 2 r 2 + p 2 r 2 + p 2 q 2 ​ ​ ) 2 4 q 2 r 2 + p 2 r 2 + p 2 q 2 ​ 4 1 ​ ( q 2 r 2 + p 2 r 2 + p 2 q 2 ) ​ Dengan demikian, terbukti bahwa A 2 + B 2 + C 2 = D 2 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah   terbukti benar.

Ingat!

  • Rumus untuk menentukan luas segitiga adalah sebagai berikut:

  • Jika koordinat titik  dan  maka dapat ditetapkan:

 

  • Rumus perkalian titik skalar antara vektor  dan vektor  adalah sebagai berikut:

 

  • Rumus perkalian silang vektor antara vektor  dan vektor  adalah sebagai berikut:

  • Rumus perkalian dua vektor jika diketahui  dan vektor  maka 

  • Rumus identitas trigonometri adalah sebagai berikut:

Perhatikan gambar pada soal!

Diketahui:

Titik 

Titik 

Titik 

Dengan menggunakan rumus luas segitiga maka  adalah sebagai berikut:

 

Akan dibuktikan 

Dengan menggunakan rumus perkalian titik skalar antara vektor  dan vektor  maka

 

Pada soal,  adalah gambar segitiga , sesuai dengan ketentuan vektor maka luas segitiga  adalah sebagai berikut:

  

Dengan demikian, terbukti bahwa .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

2

Sophia elysabet Sinaga

Jawaban tidak sesuai

Iklan

Iklan

Pertanyaan serupa

Diketahui vektor a = 3 i + 5 j ​ − 2 k , vektor b = − i − 2 j ​ + 3 k dan vektor c = 2 i − j ​ + 4 k . b.Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor b pada arah vektor ( a − 2 c ) .

1

4.2

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Download di Google PlayDownload di AppstoreDownload di App Gallery

Produk Ruangguru

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

+62 815-7441-0000

Email info@ruangguru.com

[email protected]

Contact 02140008000

02140008000

Ikuti Kami

©2024 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia