Pertanyaan

Perhatikan gambar berikut. Sebagaimana terlihat pada gambar, ambil P , Q , R , dan O sebagai titik-titik sudut suatu tetrahedron (bidang empat) dan A , B , C , dan D berturut-turut adalah luas bidang yang terletak di hadapannya. Tunjukan bahwa A 2 + B 2 + C 2 = D 2 .

Perhatikan gambar berikut.

Sebagaimana terlihat pada gambar, ambil $P$ , $Q$ , $R$ , dan $O$ sebagai titik-titik sudut suatu tetrahedron (bidang empat) dan $A$ , $B$ , $C$ , dan $D$ berturut-turut adalah luas bidang yang terletak di hadapannya. Tunjukan bahwa $A^{2} + B^{2} + C^{2} = D^{2}$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa A 2 + B 2 + C 2 = D 2 .

terbukti bahwa

A^{2} + B^{2} + C^{2} = D^{2}

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah A 2 + B 2 + C 2 = D 2 terbukti benar. Ingat! Rumus untuk menentukan luas segitiga adalah sebagai berikut: L = 2 1 × alas × tinggi Jika koordinat titik A ( x 1 , y 1 ) dan B ( x 2 , y 2 ) maka dapat ditetapkan: A B = B − A = ( x 2 − x 1 y 2 − y 1 ) Rumus perkalian titik skalar antaravektor a dan vektor b adalah sebagai berikut: a . b = ∣ ∣ a ∣ ∣ ∣ ∣ b ∣ ∣ cos θ Rumus perkalian silang vektor antaravektor a dan vektor b adalah sebagai berikut: ∣ ∣ a × b ∣ ∣ = ∣ ∣ a ∣ ∣ ∣ ∣ b ∣ ∣ sin θ Rumus perkalian dua vektor jika diketahui a = ( x 1 y 1 ) dan vektor b = ( x 2 y 2 ) maka a ⋅ b = x 1 x 2 + y 1 y 2 Rumus identitas trigonometri adalah sebagai berikut: sin 2 θ + cos 2 θ = 1 Perhatikan gambar pada soal! Diketahui: Titik P ( p , 0 , 0 ) Titik Q ( 0 , q , 0 ) Titik R ( 0 , 0 , r ) Dengan menggunakan rumus luas segitiga maka A 2 + B 2 + C 2 adalah sebagai berikut: A 2 + B 2 + C 2 = = = = = L △ A + L △ B + L △ C ( 2 q . r ) 2 + ( 2 p . r ) 2 + ( 2 q . p ) 2 ( 2 q r ) 2 + ( 2 p r ) 2 + ( 2 pq ) 2 4 q 2 r 2 + 4 p 2 r 2 + 4 p 2 q 2 4 1 ( q 2 r 2 + p 2 r 2 + p 2 q 2 ) Akan dibuktikan A 2 + B 2 + C 2 = D 2 . Dengan menggunakan rumus perkalian titik skalar antaravektor a dan vektor b maka RQ . RP ( Q − R ) . ( P − R ) ⎝ ⎛ 0 q − r ⎠ ⎞ . ⎝ ⎛ p 0 − r ⎠ ⎞ 0 + 0 + ( − r ) × ( − r ) r 2 = = = = = ⇔ ∣ ∣ RQ ∣ ∣ ∣ ∣ RP ∣ ∣ cos θ ∣ ∣ ( Q − R ) ∣ ∣ ∣ ∣ ( P − R ) ∣ ∣ cos θ ( q 2 + ( − r ) 2 ) ( p 2 + ( − r ) 2 ) cos θ ( q 2 + r 2 ) ( p 2 + r 2 ) cos θ ( q 2 + r 2 ) ( p 2 + r 2 ) cos θ cos θ = ( q 2 + r 2 ) ( p 2 + r 2 ) r 2 Pada soal, D adalah gambar segitiga PQR , sesuai dengan ketentuan vektor maka luas segitiga PQR adalah sebagai berikut: L △ PQR D = = = = = = = = = = = ⇔ = = 2 ∣ RQ × RP ∣ 2 ∣ ∣ RQ ∣ ∣ . ∣ ∣ RP ∣ ∣ s i n θ 2 ( q 2 + r 2 ) ( p 2 + r 2 ) s i n θ 2 ( q 2 + r 2 ) ( p 2 + r 2 ) ( 1 − c o s 2 θ ) 2 ( q 2 + r 2 ) ( p 2 + r 2 ) ( 1 − ( ( q 2 + r 2 ) ( p 2 + r 2 ) r 2 ) 2 ) 2 ( q 2 + r 2 ) ( p 2 + r 2 ) ( 1 − ( q 2 + r 2 ) ( p 2 + r 2 ) r 4 ) 2 ( q 2 + r 2 ) ( p 2 + r 2 ) ( ( q 2 + r 2 ) ( p 2 + r 2 ) ( q 2 + r 2 ) ( p 2 + r 2 ) − r 4 ) 2 ( q 2 + r 2 ) ( p 2 + r 2 ) ( ( q 2 + r 2 ) ( p 2 + r 2 ) ( q 2 + r 2 ) ( p 2 + r 2 ) − r 4 ) 2 ( q 2 + r 2 ) ( p 2 + r 2 ) − r 4 2 p 2 q 2 + q 2 r 2 + p 2 r 2 + r 4 − r 4 2 q 2 r 2 + p 2 r 2 + p 2 q 2 D 2 = ( 2 q 2 r 2 + p 2 r 2 + p 2 q 2 ) 2 4 q 2 r 2 + p 2 r 2 + p 2 q 2 4 1 ( q 2 r 2 + p 2 r 2 + p 2 q 2 ) Dengan demikian, terbukti bahwa A 2 + B 2 + C 2 = D 2 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah $A^{2} + B^{2} + C^{2} = D^{2}$ terbukti benar.

Ingat!

Rumus untuk menentukan luas segitiga adalah sebagai berikut:

$L = \frac{1}{2} \times alas \times tinggi$

Jika koordinat titik $A (x_{1}, y_{1})$ dan $B (x_{2}, y_{2})$ maka dapat ditetapkan:

$A B = B - A = (x_{2} - x_{1} y_{2} - y_{1})$

Rumus perkalian titik skalar antara vektor $a$ dan vektor $b$ adalah sebagai berikut:

$a . b = ∣ ∣ a ∣ ∣ ∣ ∣ b ∣ ∣ cos θ$

Rumus perkalian silang vektor antara vektor $a$ dan vektor $b$ adalah sebagai berikut:

$∣ ∣ a \times b ∣ ∣ = ∣ ∣ a ∣ ∣ ∣ ∣ b ∣ ∣ sin θ$

Rumus perkalian dua vektor jika diketahui $a = (x_{1} y_{1})$ dan vektor $b = (x_{2} y_{2})$ maka

$a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$
Rumus identitas trigonometri adalah sebagai berikut:

$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$

Perhatikan gambar pada soal!

Diketahui:

Titik $P (p, 0, 0)$

Titik $Q (0, q, 0)$

Titik $R (0, 0, r)$

Dengan menggunakan rumus luas segitiga maka $A^{2} + B^{2} + C^{2}$ adalah sebagai berikut:

$A^{2} + B^{2} + C^{2} = = = = = L_{△ A} + L_{△ B} + L_{△ C} (\frac{q . r}{2})^{2} + (\frac{p . r}{2})^{2} + (\frac{q . p}{2})^{2} (\frac{q r}{2})^{2} + (\frac{p r}{2})^{2} + (\frac{pq}{2})^{2} \frac{q ^{2} r ^{2}}{4} + \frac{p ^{2} r ^{2}}{4} + \frac{p ^{2} q ^{2}}{4} \frac{1}{4} (q^{2} r^{2} + p^{2} r^{2} + p^{2} q^{2})$

Akan dibuktikan $A^{2} + B^{2} + C^{2} = D^{2}$ .

Dengan menggunakan rumus perkalian titik skalar antara vektor $a$ dan vektor $b$ maka

$RQ . RP (Q - R) . (P - R) ⎝ ⎛ 0 q - r ⎠ ⎞ . ⎝ ⎛ p 0 - r ⎠ ⎞ 0 + 0 + (- r) \times (- r) r^{2} = = = = = \Leftrightarrow ∣ ∣ RQ ∣ ∣ ∣ ∣ RP ∣ ∣ cos θ ∣ ∣ (Q - R) ∣ ∣ ∣ ∣ (P - R) ∣ ∣ cos θ (q^{2} + (- r)^{2}) (p^{2} + (- r)^{2}) cos θ (q^{2} + r^{2}) (p^{2} + r^{2}) cos θ (q^{2} + r^{2}) (p^{2} + r^{2}) cos θ cos θ = \frac{r ^{2}}{( q ^{2} + r ^{2} ) ( p ^{2} + r ^{2} )}$

Pada soal, $D$ adalah gambar segitiga $PQR$ , sesuai dengan ketentuan vektor maka luas segitiga $PQR$ adalah sebagai berikut:

$L_{△ PQR} D = = = = = = = = = = = \Leftrightarrow = = \frac{∣ RQ \times RP ∣}{2} \frac{∣ ∣ RQ ∣ ∣ . ∣ ∣ RP ∣ ∣ s i n θ}{2} \frac{( q ^{2} + r ^{2} ) ( p ^{2} + r ^{2} ) s i n θ}{2} \frac{( q ^{2} + r ^{2} ) ( p ^{2} + r ^{2} ) ( 1 - c o s ^{2} θ )}{2} \frac{( q ^{2} + r ^{2} ) ( p ^{2} + r ^{2} ) ( 1 - ( \frac{r ^{2}}{( q ^{2} + r ^{2} ) ( p ^{2} + r ^{2} )} ) ^{2} )}{2} \frac{( q ^{2} + r ^{2} ) ( p ^{2} + r ^{2} ) ( 1 - \frac{r ^{4}}{( q ^{2} + r ^{2} ) ( p ^{2} + r ^{2} )} )}{2} \frac{( q ^{2} + r ^{2} ) ( p ^{2} + r ^{2} ) ( \frac{( q ^{2} + r ^{2} ) ( p ^{2} + r ^{2} ) - r ^{4}}{( q ^{2} + r ^{2} ) ( p ^{2} + r ^{2} )} )}{2} \frac{( q ^{2} + r ^{2} ) ( p ^{2} + r ^{2} ) ( \frac{( q ^{2} + r ^{2} ) ( p ^{2} + r ^{2} ) - r ^{4}}{( q ^{2} + r ^{2} ) ( p ^{2} + r ^{2} )} )}{2} \frac{( q ^{2} + r ^{2} ) ( p ^{2} + r ^{2} ) - r ^{4}}{2} \frac{p ^{2} q ^{2} + q ^{2} r ^{2} + p ^{2} r ^{2} + r ^{4} - r ^{4}}{2} \frac{q ^{2} r ^{2} + p ^{2} r ^{2} + p ^{2} q ^{2}}{2} D^{2} = (\frac{q ^{2} r ^{2} + p ^{2} r ^{2} + p ^{2} q ^{2}}{2})^{2} \frac{q ^{2} r ^{2} + p ^{2} r ^{2} + p ^{2} q ^{2}}{4} \frac{1}{4} (q^{2} r^{2} + p^{2} r^{2} + p^{2} q^{2})$

Dengan demikian, terbukti bahwa $A^{2} + B^{2} + C^{2} = D^{2}$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

1.0 (1 rating)

Sophia elysabet Sinaga

Jawaban tidak sesuai

Pertanyaan serupa

Diketahui vektor a = 3 i + 5 j − 2 k , vektor b = − i − 2 j + 3 k dan vektor c = 2 i − j + 4 k . b.Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor b pada arah vektor ( a − 2 c ) .

4.2

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( 1 , 2 , 2 ) , titik B ( 0 , 1 , 0 ) , dan titik C ( 2 , − 1 , − 1 ) . Tentukan ruas garis berarah AB dan ruas garis berarah AC dalam bentukvektor kolom. Tentukan proyeksi ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( 2 , 3 , − 1 ) , titik B ( − 2 , − 4 , 3 ) , dan vektor p = 4 i − 3 j + k . b.Tentukan proyeksi vektorortogonal vektor p pada arah AB .

5.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan segitiga ABC dengan titik-titik sudut A ( 4 , − 3 , 2 ) , B ( 2 , − 2 , 6 ) , dan C ( 3 , 4 , 5 ) . Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal CA pada arah BA diwakili oleh vektor 2 i − ...

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( 2 , 3 , − 1 ) , titik B ( − 2 , − 4 , 3 ) , dan vektor p = 4 i − 3 j + k . Tentukan proyeksi skalar ortogonal vektor p pada arah AB .

4.8

Jawaban terverifikasi