Pertanyaan

Diberikan segitiga ABC dengan titik-titik sudut A ( 4 , − 3 , 2 ) , B ( 2 , − 2 , 6 ) , dan C ( 3 , 4 , 5 ) . Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal CA pada arah BA diwakili oleh vektor 2 i − j − 4 k .

Diberikan segitiga $ABC$ dengan titik-titik sudut $A (4, - 3, 2)$ , $B (2, - 2, 6)$ , dan $C (3, 4, 5)$ .

Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal $CA$ pada arah $BA$ diwakili oleh vektor $2 i - j - 4 k$ .

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwaproyeksi vektor ortogonal C A pada arah B A benar diwakili oleh vektor 2 i − j − 4 k .

terbukti bahwa proyeksi vektor ortogonal

C A

pada arah

B A

benar diwakili oleh vektor

2 i - j - 4 k

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalahproyeksi vektor ortogonal C A → pada arah B A → benar diwakili oleh vektor . Ingat! Jika koordinat titik A ( x 1 , y 1 ) dan B ( x 2 , y 2 ) maka dapat ditetapkan: A B = ( x 2 − x 1 y 2 − y 1 ) Misalkan vektor a dan vektor b adalah vektor-vektor sembarang, dan vektor c adalahproyeksi vektor a pada arah vektor b makaproyeksi vektor ortogonal dari vektor a pada arah vektor b ditentukan oleh: c = ⎝ ⎛ ∣ ∣ b ∣ ∣ 2 a . b ⎠ ⎞ b Rumus untuk menentukan panjang vektor r = ( x y ) adalah sebagai berikut: ∣ ∣ r ∣ ∣ = x 2 + y 2 Rumus untuk menentukan hasil kali a . b jika diketahui vektor a = ( x 1 y 1 ) dan vektor b = ( x 2 y 2 ) adalah sebagai berikut: a ⋅ b = x 1 x 2 + y 1 y 2 Rumus untuk perkalian skalar m dengan vektor a = ( x 1 y 1 ) adalah sebagai berikut: m a = m ( x 1 x 2 ) = ( m x 1 m x 2 ) Diketahui: Titik sudut A ( 4 , − 3 , 2 ) Titik sudut B ( 2 , − 2 , 6 ) Titik sudut C ( 3 , 4 , 5 ) . Ditanya: Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal C A pada arah B A diwakili oleh vektor 2 i − j − 4 k . Jawab: Ruas garis berarah C A adalah sebagai berikut: C A = = ⎝ ⎛ 4 − 3 − 3 − 4 2 − 5 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 1 − 7 − 3 ⎠ ⎞ Ruas garis berarah B A adalah sebagai berikut: B A = = ⎝ ⎛ 4 − 2 − 3 + 2 2 − 6 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 2 − 1 − 4 ⎠ ⎞ Jadi,proyeksi vektor ortogonal C A pada arah B A adalah c 2 i − j − 4 k 2 i − j − 4 k 2 i − j − 4 k 2 i − j − 4 k = = = = = ⎝ ⎛ ∣ ∣ B A ∣ ∣ 2 C A . B A ⎠ ⎞ B A ( ( 2 2 + ( − 1 ) 2 + ( − 4 ) 2 ) 2 1 × 2 + ( − 7 ) × ( − 1 ) + ( − 3 ) × ( − 4 ) ) ⎝ ⎛ 2 − 1 − 4 ⎠ ⎞ ( 4 + 1 + 16 ) 2 2 + 7 + 12 ⎝ ⎛ 2 − 1 − 4 ⎠ ⎞ 21 21 ⎝ ⎛ 2 − 1 − 4 ⎠ ⎞ 2 i − j − 4 k Dengan demikian, terbukti bahwaproyeksi vektor ortogonal C A pada arah B A benar diwakili oleh vektor 2 i − j − 4 k .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah proyeksi vektor ortogonal $C A \to$ pada arah $B A \to$ benar diwakili oleh vektor $\mathbf2\overset{\boldsymbol\hat{}}{\mathbf i}\boldsymbol-\overset{\boldsymbol\hat{}}{\mathbf j}\boldsymbol-\mathbf4\overset{\boldsymbol\hat{}}{\mathbf k}$ .

Ingat!

Jika koordinat titik $A (x_{1}, y_{1})$ dan $B (x_{2}, y_{2})$ maka dapat ditetapkan:

$A B = (x_{2} - x_{1} y_{2} - y_{1})$

Misalkan vektor $a$ dan vektor $b$ adalah vektor-vektor sembarang, dan vektor $c$ adalah proyeksi vektor $a$ pada arah vektor $b$ maka proyeksi vektor ortogonal dari vektor $a$ pada arah vektor $b$ ditentukan oleh:

$c = ⎝ ⎛ \frac{a . b}{∣ ∣ b ∣ ∣ ^{2}} ⎠ ⎞ b$

Rumus untuk menentukan panjang vektor $r = (x y)$ adalah sebagai berikut:

$∣ ∣ r ∣ ∣ = x^{2} + y^{2}$

Rumus untuk menentukan hasil kali $a . b$ jika diketahui vektor $a = (x_{1} y_{1})$ dan vektor $b = (x_{2} y_{2})$ adalah sebagai berikut:

$a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

Rumus untuk perkalian skalar $m$ dengan vektor $a = (x_{1} y_{1})$ adalah sebagai berikut:

$m a = m (x_{1} x_{2}) = (m x_{1} m x_{2})$

Diketahui:

Titik sudut $A (4, - 3, 2)$

Titik sudut $B (2, - 2, 6)$

Titik sudut $C (3, 4, 5)$ .

Ditanya:

Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal $C A$ pada arah $B A$ diwakili oleh vektor $2 i - j - 4 k$ .

Jawab:

Ruas garis berarah $C A$ adalah sebagai berikut:

$C A = = ⎝ ⎛ 4 - 3 - 3 - 4 2 - 5 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 1 - 7 - 3 ⎠ ⎞$

Ruas garis berarah $B A$ adalah sebagai berikut:

$B A = = ⎝ ⎛ 4 - 2 - 3 + 2 2 - 6 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 2 - 1 - 4 ⎠ ⎞$

Jadi, proyeksi vektor ortogonal $C A$ pada arah $B A$ adalah

$c 2 i - j - 4 k 2 i - j - 4 k 2 i - j - 4 k 2 i - j - 4 k = = = = = ⎝ ⎛ \frac{C A . B A}{∣ ∣ B A ∣ ∣ ^{2}} ⎠ ⎞ B A (\frac{1 \times 2 + ( - 7 ) \times ( - 1 ) + ( - 3 ) \times ( - 4 )}{( 2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + ( - 4 ) ^{2} ) ^{2}}) ⎝ ⎛ 2 - 1 - 4 ⎠ ⎞ \frac{2 + 7 + 12}{( 4 + 1 + 16 ) ^{2}} ⎝ ⎛ 2 - 1 - 4 ⎠ ⎞ \frac{21}{21} ⎝ ⎛ 2 - 1 - 4 ⎠ ⎞ 2 i - j - 4 k$

Dengan demikian, terbukti bahwa proyeksi vektor ortogonal $C A$ pada arah $B A$ benar diwakili oleh vektor $2 i - j - 4 k$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

473

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui vektor a = 3 i + 5 j − 2 k , vektor b = − i − 2 j + 3 k dan vektor c = 2 i − j + 4 k . b.Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor b pada arah vektor ( a − 2 c ) .

200

4.2

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( 2 , 3 , − 1 ) , titik B ( − 2 , − 4 , 3 ) , dan vektor p = 4 i − 3 j + k . b.Tentukan proyeksi vektorortogonal vektor p pada arah AB .

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor a = 3 i + 5 j − 2 k , vektor b = − i − 2 j + 3 k dan vektor c = 2 i − j + 4 k . b.Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor b pada arah vektor ( a − 2 c ) .

200

4.2

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A ( 2 , 3 , − 1 ) , titik B ( − 2 , − 4 , 3 ) , dan vektor p = 4 i − 3 j + k . b.Tentukan proyeksi vektorortogonal vektor p pada arah AB .

5.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan segitiga ABC dengan titik-titik sudut A ( 4 , − 3 , 2 ) , B ( 2 , − 2 , 6 ) , dan C ( 3 , 4 , 5 ) . b. Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal AC pada arah BC diwakili oleh vektor i + 6 ...

350

0.0

Jawaban terverifikasi