Diberikan segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(4,−3, 2), B(2,−2, 6), dan C(3, 4, 5). Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal CA pada arah BA diwakili oleh vektor 2i−j−4k.

Pertanyaan

Diberikan segitiga $\mathrm{ABC}$ dengan titik-titik sudut $\mathrm A\left(4,-3,\;2\right)$ , $\mathrm B\left(2,-2,\;6\right)$ , dan $\mathrm C\left(3,\;4,\;5\right)$ .

Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal $\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ pada arah $\overrightarrow{\mathrm{BA}}$ diwakili oleh vektor $2\widehat i-\widehat j-4\widehat k$ .

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa proyeksi vektor ortogonal $\overrightarrow{CA}$ pada arah $\overrightarrow{BA}$ benar diwakili oleh vektor $2\widehat i-\widehat j-4\widehat k$ .

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah proyeksi vektor ortogonal $\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\boldsymbol C\boldsymbol A}$ pada arah $\overset{\boldsymbol\rightarrow}{\boldsymbol B\boldsymbol A}$ benar diwakili oleh vektor $\mathbf2\overset{\boldsymbol\hat{}}{\mathbf i}\boldsymbol-\overset{\boldsymbol\hat{}}{\mathbf j}\boldsymbol-\mathbf4\overset{\boldsymbol\hat{}}{\mathbf k}$ .

Ingat!

Jika koordinat titik $\mathrm A\left(x_1,\;y_1\right)$ dan $\mathrm B\left(x_2,\;y_2\right)$ maka dapat ditetapkan:

$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}x_2-x_1\\y_2-y_1\end{pmatrix}$

Misalkan vektor $\overrightarrow a$ dan vektor $\overrightarrow b$ adalah vektor-vektor sembarang, dan vektor $\overrightarrow c$ adalah proyeksi vektor $\overrightarrow a$ pada arah vektor $\overrightarrow b$ maka proyeksi vektor ortogonal dari vektor $\overrightarrow a$ pada arah vektor $\overrightarrow b$ ditentukan oleh:

$c with rightwards arrow on top equals open parentheses fraction numerator a with rightwards arrow on top space. space b with rightwards arrow on top over denominator open vertical bar b with rightwards arrow on top close vertical bar squared end fraction close parentheses b with rightwards arrow on top$

Rumus untuk menentukan panjang vektor $\overrightarrow r=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$ adalah sebagai berikut:

$\left|\overrightarrow r\right|=\sqrt{x^2+y^2}$

Rumus untuk menentukan hasil kali $\overrightarrow a\;.\;\overrightarrow b$ jika diketahui vektor $\overrightarrow a=\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}$ dan vektor $\overrightarrow b=\begin{pmatrix}x_2\\y_2\end{pmatrix}$ adalah sebagai berikut:

$\overrightarrow a\cdot\overrightarrow b=x_1x_2+y_1y_2$

Rumus untuk perkalian skalar $m$ dengan vektor $\overrightarrow a=\begin{pmatrix}x_1\\y_1\end{pmatrix}$ adalah sebagai berikut:

$m\overrightarrow a=m\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}mx_1\\mx_2\end{pmatrix}$

Diketahui:

Titik sudut $\mathrm A\left(4,-3,\;2\right)$

Titik sudut $\mathrm B\left(2,-2,\;6\right)$

Titik sudut $\mathrm C\left(3,\;4,\;5\right)$ .

Ditanya:

Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal $\overrightarrow{CA}$ pada arah $\overrightarrow{BA}$ diwakili oleh vektor $2\widehat i-\widehat j-4\widehat k$ .

Jawab:

Ruas garis berarah $\overrightarrow{CA}$ adalah sebagai berikut:

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{CA}&=&\begin{pmatrix}4-3\\-3-4\\2-5\end{pmatrix}\\&=&\left(\begin{array}{c}1\\-7\\-3\end{array}\right)\end{array}$

Ruas garis berarah $\overrightarrow{BA}$ adalah sebagai berikut:

$\begin{array}{rcl}\overrightarrow{BA}&=&\begin{pmatrix}4-2\\-3+2\\2-6\end{pmatrix}\\&=&\left(\begin{array}{c}2\\-1\\-4\end{array}\right)\end{array}$

Jadi, proyeksi vektor ortogonal $\overrightarrow{CA}$ pada arah $\overrightarrow{BA}$ adalah

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell c with rightwards arrow on top end cell equals cell open parentheses fraction numerator stack C A with rightwards arrow on top space. space stack B A with rightwards arrow on top over denominator open vertical bar stack B A with rightwards arrow on top close vertical bar squared end fraction close parentheses stack B A with rightwards arrow on top end cell row cell 2 i with hat on top minus j with hat on top minus 4 k with hat on top end cell equals cell open parentheses fraction numerator 1 cross times 2 plus open parentheses negative 7 close parentheses cross times open parentheses negative 1 close parentheses plus open parentheses negative 3 close parentheses cross times open parentheses negative 4 close parentheses over denominator open parentheses square root of 2 squared plus open parentheses negative 1 close parentheses squared plus open parentheses negative 4 close parentheses squared end root close parentheses squared end fraction close parentheses open parentheses table row 2 row cell negative 1 end cell row cell negative 4 end cell end table close parentheses end cell row cell 2 i with hat on top minus j with hat on top minus 4 k with hat on top end cell equals cell fraction numerator 2 plus 7 plus 12 over denominator open parentheses square root of 4 plus 1 plus 16 end root close parentheses squared end fraction open parentheses table row 2 row cell negative 1 end cell row cell negative 4 end cell end table close parentheses end cell row cell 2 i with hat on top minus j with hat on top minus 4 k with hat on top end cell equals cell 21 over 21 open parentheses table row 2 row cell negative 1 end cell row cell negative 4 end cell end table close parentheses end cell row cell 2 i with hat on top minus j with hat on top minus 4 k with hat on top end cell equals cell 2 i with hat on top minus j with hat on top minus 4 k with hat on top end cell row blank blank blank end table$

Dengan demikian, terbukti bahwa proyeksi vektor ortogonal $\overrightarrow{CA}$ pada arah $\overrightarrow{BA}$ benar diwakili oleh vektor $2\widehat i-\widehat j-4\widehat k$ .

427

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui vektor a=3i+5j−2k, vektor b=−i−2j+3k dan vektor c=2i−j+4k. b. Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor b pada arah vektor (a−2c).

108

4.2

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A(2, 3, −1), titik B(−2, −4, 3), dan vektor p=4i−3j+k. b. Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor p pada arah AB.

5.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan segitiga ABC dengan titik-titik sudut A(4,−3, 2), B(2,−2, 6), dan C(3, 4, 5). b. Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal AC pada arah BC diwakili oleh vektor i+6j−k.

291

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui titik A(1, 2, 2), titik B(0, 1, 0), dan titik C(2,−1,−1). Tentukan ruas garis berarah AB dan ruas garis berarah AC dalam bentuk vektor kolom. Tentukan proyeksi vektor ortogonal AB pada a...

249

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor a=3i+5j−2k, vektor b=−i−2j+3k dan vektor c=2i−j+4k. Tentukan proyeksi skalar ortogonal vektor b pada arah vektor (a−2c).

744

4.4

Jawaban terverifikasi