Pertanyaan

Diketahui titik A ( 1 , 2 , 2 ) , titik B ( 0 , 1 , 0 ) , dan titik C ( 2 , − 1 , − 1 ) . Tentukan ruas garis berarah AB dan ruas garis berarah AC dalam bentukvektor kolom. Tentukan proyeksi vektor ortogonal AB pada arah AC dan proyeksi vektor ortogonal AC pada arah AB .

Diketahui titik $A (1, 2, 2)$ , titik $B (0, 1, 0)$ , dan titik $C (2, - 1, - 1)$ .

Tentukan ruas garis berarah $AB$ dan ruas garis berarah $AC$ dalam bentuk vektor kolom.
Tentukan proyeksi vektor ortogonal $AB$ pada arah $AC$ dan proyeksi vektor ortogonal $AC$ pada arah $AB$ .

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

02

:

10

:

40

:

22

Klaim

DR

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah ⎝ ⎛ − 1 − 1 − 2 ⎠ ⎞ dan ⎝ ⎛ 1 − 3 − 3 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 19 8 − 19 24 − 19 24 ⎠ ⎞ dan ⎝ ⎛ − 3 4 − 3 4 − 3 8 ⎠ ⎞ Ingat! Jika koordinat titik A ( x 1 , y 1 ) dan B ( x 2 , y 2 ) maka dapat ditetapkan: A B = ( x 2 − x 1 y 2 − y 1 ) Misalkan vektor a dan vektor b adalah vektor-vektor sembarang, dan vektor c adalahproyeksi vektor a pada arah vektor b makaproyeksi vektor ortogonal dari vektor a pada arah vektor b ditentukan oleh: c = ⎝ ⎛ ∣ ∣ b ∣ ∣ 2 a . b ⎠ ⎞ b Rumus untuk menentukan panjang vektor r = ( x y ) adalah sebagai berikut: ∣ ∣ r ∣ ∣ = x 2 + y 2 Rumus untuk menentukan hasil kali a . b jika diketahui vektor a = ( x 1 y 1 ) dan vektor b = ( x 2 y 2 ) adalah sebagai berikut: a ⋅ b = x 1 x 2 + y 1 y 2 Rumus untuk perkalian skalar m dengan vektor a = ( x 1 y 1 ) adalah sebagai berikut: m a = m ( x 1 x 2 ) = ( m x 1 m x 2 ) Diketahui: Titik A ( 1 , 2 , 2 ) Titik B ( 0 , 1 , 0 ) Titik C ( 2 , − 1 , − 1 ) Ditanya: Ruas garis berarah A B dan ruas garis berarah A C dalam bentukvektor kolom. Proyeksi vektor ortogonal A B pada arah A C dan proyeksi vektor ortogonal A C pada arah A B . Jawab: Ruas garis berarah A B adalah sebagai berikut: A B = = ⎝ ⎛ 0 − 1 1 − 2 0 − 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 1 − 1 − 2 ⎠ ⎞ Ruas garis berarah A C adalah sebagai berikut: A C = = ⎝ ⎛ 2 − 1 − 1 − 2 − 1 − 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 1 − 3 − 3 ⎠ ⎞ Proyeksi vektor ortogonal A B pada arah A C adalah sebagai berikut: c = = = = = ⎝ ⎛ ∣ ∣ A C ∣ ∣ 2 A B . A C ⎠ ⎞ A C ( ( 1 2 + ( − 3 ) 2 + ( − 3 ) 2 ) 2 − 1 × 1 + ( − 1 ) × ( − 3 ) + ( − 2 ) × ( − 3 ) ) ⎝ ⎛ 1 − 3 − 3 ⎠ ⎞ ( 1 + 9 + 9 − 1 + 3 + 6 ) ⎝ ⎛ 1 − 3 − 3 ⎠ ⎞ ( 19 8 ) ⎝ ⎛ 1 − 3 − 3 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 19 8 − 19 24 − 19 24 ⎠ ⎞ Proyeksi vektor ortogonal A C pada arah A B adalah sebagai berikut: c = = = = = = ⎝ ⎛ ∣ ∣ A B ∣ ∣ 2 A C . A B ⎠ ⎞ A B ( ( 1 2 + ( − 1 ) 2 + ( − 2 ) 2 ) 2 1 × ( − 1 ) + ( − 3 ) × ( − 1 ) + ( − 3 ) × ( − 2 ) ) ⎝ ⎛ − 1 − 1 − 2 ⎠ ⎞ ( 1 + 1 + 4 − 1 + 3 + 6 ) ⎝ ⎛ − 1 − 1 − 2 ⎠ ⎞ ( 6 8 ) ⎝ ⎛ − 1 − 1 − 2 ⎠ ⎞ ( 3 4 ) ⎝ ⎛ − 1 − 1 − 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 3 4 − 3 4 − 3 8 ⎠ ⎞ Dengan demikian, Ruas garis berarah A B adalah ⎝ ⎛ − 1 − 1 − 2 ⎠ ⎞ dan ruas garis berarah A C adalah ⎝ ⎛ 1 − 3 − 3 ⎠ ⎞ . Proyeksi vektor ortogonal A B pada arah A C adalah ⎝ ⎛ 19 8 − 19 24 − 19 24 ⎠ ⎞ dan proyeksi vektor ortogonal A C pada arah A B adalah ⎝ ⎛ − 3 4 − 3 4 − 3 8 ⎠ ⎞ .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah

$⎝ ⎛ - 1 - 1 - 2 ⎠ ⎞$ dan $⎝ ⎛ 1 - 3 - 3 ⎠ ⎞$
$⎝ ⎛ \frac{8}{19} - \frac{24}{19} - \frac{24}{19} ⎠ ⎞$ dan $⎝ ⎛ - \frac{4}{3} - \frac{4}{3} - \frac{8}{3} ⎠ ⎞$

Ingat!

Jika koordinat titik $A (x_{1}, y_{1})$ dan $B (x_{2}, y_{2})$ maka dapat ditetapkan:

$A B = (x_{2} - x_{1} y_{2} - y_{1})$

Misalkan vektor $a$ dan vektor $b$ adalah vektor-vektor sembarang, dan vektor $c$ adalah proyeksi vektor $a$ pada arah vektor $b$ maka proyeksi vektor ortogonal dari vektor $a$ pada arah vektor $b$ ditentukan oleh:

$c = ⎝ ⎛ \frac{a . b}{∣ ∣ b ∣ ∣ ^{2}} ⎠ ⎞ b$

Rumus untuk menentukan panjang vektor $r = (x y)$ adalah sebagai berikut:

$∣ ∣ r ∣ ∣ = x^{2} + y^{2}$

Rumus untuk menentukan hasil kali $a . b$ jika diketahui vektor $a = (x_{1} y_{1})$ dan vektor $b = (x_{2} y_{2})$ adalah sebagai berikut:

$a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

Rumus untuk perkalian skalar $m$ dengan vektor $a = (x_{1} y_{1})$ adalah sebagai berikut:

$m a = m (x_{1} x_{2}) = (m x_{1} m x_{2})$

Diketahui:

Titik $A (1, 2, 2)$

Titik $B (0, 1, 0)$

Titik $C (2, - 1, - 1)$

Ditanya:

Ruas garis berarah $A B$ dan ruas garis berarah $A C$ dalam bentuk vektor kolom.
Proyeksi vektor ortogonal $A B$ pada arah $A C$ dan proyeksi vektor ortogonal $A C$ pada arah $A B$ .

Jawab:

Ruas garis berarah $A B$ adalah sebagai berikut:

$A B = = ⎝ ⎛ 0 - 1 1 - 2 0 - 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - 1 - 1 - 2 ⎠ ⎞$

Ruas garis berarah $A C$ adalah sebagai berikut:

$A C = = ⎝ ⎛ 2 - 1 - 1 - 2 - 1 - 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 1 - 3 - 3 ⎠ ⎞$

Proyeksi vektor ortogonal $A B$ pada arah $A C$ adalah sebagai berikut:

$c = = = = = ⎝ ⎛ \frac{A B . A C}{∣ ∣ A C ∣ ∣ ^{2}} ⎠ ⎞ A C (\frac{- 1 \times 1 + ( - 1 ) \times ( - 3 ) + ( - 2 ) \times ( - 3 )}{( 1 ^{2} + ( - 3 ) ^{2} + ( - 3 ) ^{2} ) ^{2}}) ⎝ ⎛ 1 - 3 - 3 ⎠ ⎞ (\frac{- 1 + 3 + 6}{1 + 9 + 9}) ⎝ ⎛ 1 - 3 - 3 ⎠ ⎞ (\frac{8}{19}) ⎝ ⎛ 1 - 3 - 3 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ \frac{8}{19} - \frac{24}{19} - \frac{24}{19} ⎠ ⎞$

Proyeksi vektor ortogonal $A C$ pada arah $A B$ adalah sebagai berikut:

$c = = = = = = ⎝ ⎛ \frac{A C . A B}{∣ ∣ A B ∣ ∣ ^{2}} ⎠ ⎞ A B (\frac{1 \times ( - 1 ) + ( - 3 ) \times ( - 1 ) + ( - 3 ) \times ( - 2 )}{( 1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + ( - 2 ) ^{2} ) ^{2}}) ⎝ ⎛ - 1 - 1 - 2 ⎠ ⎞ (\frac{- 1 + 3 + 6}{1 + 1 + 4}) ⎝ ⎛ - 1 - 1 - 2 ⎠ ⎞ (\frac{8}{6}) ⎝ ⎛ - 1 - 1 - 2 ⎠ ⎞ (\frac{4}{3}) ⎝ ⎛ - 1 - 1 - 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - \frac{4}{3} - \frac{4}{3} - \frac{8}{3} ⎠ ⎞$

Dengan demikian,

Ruas garis berarah $A B$ adalah $⎝ ⎛ - 1 - 1 - 2 ⎠ ⎞$ dan ruas garis berarah $A C$ adalah $⎝ ⎛ 1 - 3 - 3 ⎠ ⎞$ .
Proyeksi vektor ortogonal $A B$ pada arah $A C$ adalah $⎝ ⎛ \frac{8}{19} - \frac{24}{19} - \frac{24}{19} ⎠ ⎞$ dan proyeksi vektor ortogonal $A C$ pada arah $A B$ adalah $⎝ ⎛ - \frac{4}{3} - \frac{4}{3} - \frac{8}{3} ⎠ ⎞$ .

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

Yah, akses pembahasan gratismu habis

atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

3

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui titik A ( 2 , 3 , − 1 ) , titik B ( − 2 , − 4 , 3 ) , dan vektor p = 4 i − 3 j + k . b.Tentukan proyeksi vektorortogonal vektor p pada arah AB .

1

5.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan segitiga ABC dengan titik-titik sudut A ( 4 , − 3 , 2 ) , B ( 2 , − 2 , 6 ) , dan C ( 3 , 4 , 5 ) . Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal CA pada arah BA diwakili oleh vektor 2 i − ...

4

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor a = 3 i + 5 j − 2 k , vektor b = − i − 2 j + 3 k dan vektor c = 2 i − j + 4 k . b.Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor b pada arah vektor ( a − 2 c ) .

1

4.2

Jawaban terverifikasi

Diberikan segitiga ABC dengan titik-titik sudut A ( 4 , − 3 , 2 ) , B ( 2 , − 2 , 6 ) , dan C ( 3 , 4 , 5 ) . Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal CA pada arah BA diwakili oleh vektor 2 i − ...

4

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor a = 3 i + 5 j − 2 k , vektor b = − i − 2 j + 3 k dan vektor c = 2 i − j + 4 k . b.Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor b pada arah vektor ( a − 2 c ) .

1

4.2

Jawaban terverifikasi