Pertanyaan

Diketahui titik A ( 1 , 2 , 2 ) , titik B ( 0 , 1 , 0 ) , dan titik C ( 2 , − 1 , − 1 ) . Tentukan ruas garis berarah AB dan ruas garis berarah AC dalam bentukvektor kolom. Tentukan proyeksi vektor ortogonal AB pada arah AC dan proyeksi vektor ortogonal AC pada arah AB .

Diketahui titik $A (1, 2, 2)$ , titik $B (0, 1, 0)$ , dan titik $C (2, - 1, - 1)$ .

Tentukan ruas garis berarah $AB$ dan ruas garis berarah $AC$ dalam bentuk vektor kolom.
Tentukan proyeksi vektor ortogonal $AB$ pada arah $AC$ dan proyeksi vektor ortogonal $AC$ pada arah $AB$ .

DR

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah ⎝ ⎛ − 1 − 1 − 2 ⎠ ⎞ dan ⎝ ⎛ 1 − 3 − 3 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 19 8 − 19 24 − 19 24 ⎠ ⎞ dan ⎝ ⎛ − 3 4 − 3 4 − 3 8 ⎠ ⎞ Ingat! Jika koordinat titik A ( x 1 , y 1 ) dan B ( x 2 , y 2 ) maka dapat ditetapkan: A B = ( x 2 − x 1 y 2 − y 1 ) Misalkan vektor a dan vektor b adalah vektor-vektor sembarang, dan vektor c adalahproyeksi vektor a pada arah vektor b makaproyeksi vektor ortogonal dari vektor a pada arah vektor b ditentukan oleh: c = ⎝ ⎛ ∣ ∣ b ∣ ∣ 2 a . b ⎠ ⎞ b Rumus untuk menentukan panjang vektor r = ( x y ) adalah sebagai berikut: ∣ ∣ r ∣ ∣ = x 2 + y 2 Rumus untuk menentukan hasil kali a . b jika diketahui vektor a = ( x 1 y 1 ) dan vektor b = ( x 2 y 2 ) adalah sebagai berikut: a ⋅ b = x 1 x 2 + y 1 y 2 Rumus untuk perkalian skalar m dengan vektor a = ( x 1 y 1 ) adalah sebagai berikut: m a = m ( x 1 x 2 ) = ( m x 1 m x 2 ) Diketahui: Titik A ( 1 , 2 , 2 ) Titik B ( 0 , 1 , 0 ) Titik C ( 2 , − 1 , − 1 ) Ditanya: Ruas garis berarah A B dan ruas garis berarah A C dalam bentukvektor kolom. Proyeksi vektor ortogonal A B pada arah A C dan proyeksi vektor ortogonal A C pada arah A B . Jawab: Ruas garis berarah A B adalah sebagai berikut: A B = = ⎝ ⎛ 0 − 1 1 − 2 0 − 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 1 − 1 − 2 ⎠ ⎞ Ruas garis berarah A C adalah sebagai berikut: A C = = ⎝ ⎛ 2 − 1 − 1 − 2 − 1 − 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 1 − 3 − 3 ⎠ ⎞ Proyeksi vektor ortogonal A B pada arah A C adalah sebagai berikut: c = = = = = ⎝ ⎛ ∣ ∣ A C ∣ ∣ 2 A B . A C ⎠ ⎞ A C ( ( 1 2 + ( − 3 ) 2 + ( − 3 ) 2 ) 2 − 1 × 1 + ( − 1 ) × ( − 3 ) + ( − 2 ) × ( − 3 ) ) ⎝ ⎛ 1 − 3 − 3 ⎠ ⎞ ( 1 + 9 + 9 − 1 + 3 + 6 ) ⎝ ⎛ 1 − 3 − 3 ⎠ ⎞ ( 19 8 ) ⎝ ⎛ 1 − 3 − 3 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 19 8 − 19 24 − 19 24 ⎠ ⎞ Proyeksi vektor ortogonal A C pada arah A B adalah sebagai berikut: c = = = = = = ⎝ ⎛ ∣ ∣ A B ∣ ∣ 2 A C . A B ⎠ ⎞ A B ( ( 1 2 + ( − 1 ) 2 + ( − 2 ) 2 ) 2 1 × ( − 1 ) + ( − 3 ) × ( − 1 ) + ( − 3 ) × ( − 2 ) ) ⎝ ⎛ − 1 − 1 − 2 ⎠ ⎞ ( 1 + 1 + 4 − 1 + 3 + 6 ) ⎝ ⎛ − 1 − 1 − 2 ⎠ ⎞ ( 6 8 ) ⎝ ⎛ − 1 − 1 − 2 ⎠ ⎞ ( 3 4 ) ⎝ ⎛ − 1 − 1 − 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ − 3 4 − 3 4 − 3 8 ⎠ ⎞ Dengan demikian, Ruas garis berarah A B adalah ⎝ ⎛ − 1 − 1 − 2 ⎠ ⎞ dan ruas garis berarah A C adalah ⎝ ⎛ 1 − 3 − 3 ⎠ ⎞ . Proyeksi vektor ortogonal A B pada arah A C adalah ⎝ ⎛ 19 8 − 19 24 − 19 24 ⎠ ⎞ dan proyeksi vektor ortogonal A C pada arah A B adalah ⎝ ⎛ − 3 4 − 3 4 − 3 8 ⎠ ⎞ .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah

$⎝ ⎛ - 1 - 1 - 2 ⎠ ⎞$ dan $⎝ ⎛ 1 - 3 - 3 ⎠ ⎞$
$⎝ ⎛ \frac{8}{19} - \frac{24}{19} - \frac{24}{19} ⎠ ⎞$ dan $⎝ ⎛ - \frac{4}{3} - \frac{4}{3} - \frac{8}{3} ⎠ ⎞$

Ingat!

Jika koordinat titik $A (x_{1}, y_{1})$ dan $B (x_{2}, y_{2})$ maka dapat ditetapkan:

$A B = (x_{2} - x_{1} y_{2} - y_{1})$

Misalkan vektor $a$ dan vektor $b$ adalah vektor-vektor sembarang, dan vektor $c$ adalah proyeksi vektor $a$ pada arah vektor $b$ maka proyeksi vektor ortogonal dari vektor $a$ pada arah vektor $b$ ditentukan oleh:

$c = ⎝ ⎛ \frac{a . b}{∣ ∣ b ∣ ∣ ^{2}} ⎠ ⎞ b$

Rumus untuk menentukan panjang vektor $r = (x y)$ adalah sebagai berikut:

$∣ ∣ r ∣ ∣ = x^{2} + y^{2}$

Rumus untuk menentukan hasil kali $a . b$ jika diketahui vektor $a = (x_{1} y_{1})$ dan vektor $b = (x_{2} y_{2})$ adalah sebagai berikut:

$a \cdot b = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$

Rumus untuk perkalian skalar $m$ dengan vektor $a = (x_{1} y_{1})$ adalah sebagai berikut:

$m a = m (x_{1} x_{2}) = (m x_{1} m x_{2})$

Diketahui:

Titik $A (1, 2, 2)$

Titik $B (0, 1, 0)$

Titik $C (2, - 1, - 1)$

Ditanya:

Ruas garis berarah $A B$ dan ruas garis berarah $A C$ dalam bentuk vektor kolom.
Proyeksi vektor ortogonal $A B$ pada arah $A C$ dan proyeksi vektor ortogonal $A C$ pada arah $A B$ .

Jawab:

Ruas garis berarah $A B$ adalah sebagai berikut:

$A B = = ⎝ ⎛ 0 - 1 1 - 2 0 - 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - 1 - 1 - 2 ⎠ ⎞$

Ruas garis berarah $A C$ adalah sebagai berikut:

$A C = = ⎝ ⎛ 2 - 1 - 1 - 2 - 1 - 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ 1 - 3 - 3 ⎠ ⎞$

Proyeksi vektor ortogonal $A B$ pada arah $A C$ adalah sebagai berikut:

$c = = = = = ⎝ ⎛ \frac{A B . A C}{∣ ∣ A C ∣ ∣ ^{2}} ⎠ ⎞ A C (\frac{- 1 \times 1 + ( - 1 ) \times ( - 3 ) + ( - 2 ) \times ( - 3 )}{( 1 ^{2} + ( - 3 ) ^{2} + ( - 3 ) ^{2} ) ^{2}}) ⎝ ⎛ 1 - 3 - 3 ⎠ ⎞ (\frac{- 1 + 3 + 6}{1 + 9 + 9}) ⎝ ⎛ 1 - 3 - 3 ⎠ ⎞ (\frac{8}{19}) ⎝ ⎛ 1 - 3 - 3 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ \frac{8}{19} - \frac{24}{19} - \frac{24}{19} ⎠ ⎞$

Proyeksi vektor ortogonal $A C$ pada arah $A B$ adalah sebagai berikut:

$c = = = = = = ⎝ ⎛ \frac{A C . A B}{∣ ∣ A B ∣ ∣ ^{2}} ⎠ ⎞ A B (\frac{1 \times ( - 1 ) + ( - 3 ) \times ( - 1 ) + ( - 3 ) \times ( - 2 )}{( 1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2} + ( - 2 ) ^{2} ) ^{2}}) ⎝ ⎛ - 1 - 1 - 2 ⎠ ⎞ (\frac{- 1 + 3 + 6}{1 + 1 + 4}) ⎝ ⎛ - 1 - 1 - 2 ⎠ ⎞ (\frac{8}{6}) ⎝ ⎛ - 1 - 1 - 2 ⎠ ⎞ (\frac{4}{3}) ⎝ ⎛ - 1 - 1 - 2 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ - \frac{4}{3} - \frac{4}{3} - \frac{8}{3} ⎠ ⎞$

Dengan demikian,

Ruas garis berarah $A B$ adalah $⎝ ⎛ - 1 - 1 - 2 ⎠ ⎞$ dan ruas garis berarah $A C$ adalah $⎝ ⎛ 1 - 3 - 3 ⎠ ⎞$ .
Proyeksi vektor ortogonal $A B$ pada arah $A C$ adalah $⎝ ⎛ \frac{8}{19} - \frac{24}{19} - \frac{24}{19} ⎠ ⎞$ dan proyeksi vektor ortogonal $A C$ pada arah $A B$ adalah $⎝ ⎛ - \frac{4}{3} - \frac{4}{3} - \frac{8}{3} ⎠ ⎞$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

6

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui titik A ( 2 , 3 , − 1 ) , titik B ( − 2 , − 4 , 3 ) , dan vektor p = 4 i − 3 j + k . b.Tentukan proyeksi vektorortogonal vektor p pada arah AB .

68

5.0

Jawaban terverifikasi

Diberikan segitiga ABC dengan titik-titik sudut A ( 4 , − 3 , 2 ) , B ( 2 , − 2 , 6 ) , dan C ( 3 , 4 , 5 ) . Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal CA pada arah BA diwakili oleh vektor 2 i − ...

9

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor a = 3 i + 5 j − 2 k , vektor b = − i − 2 j + 3 k dan vektor c = 2 i − j + 4 k . b.Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor b pada arah vektor ( a − 2 c ) .

2

4.2

Jawaban terverifikasi

Diberikan segitiga ABC dengan titik-titik sudut A ( 4 , − 3 , 2 ) , B ( 2 , − 2 , 6 ) , dan C ( 3 , 4 , 5 ) . Tunjukan bahwa proyeksi vektor ortogonal CA pada arah BA diwakili oleh vektor 2 i − ...

9

0.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui vektor a = 3 i + 5 j − 2 k , vektor b = − i − 2 j + 3 k dan vektor c = 2 i − j + 4 k . b.Tentukan proyeksi vektor ortogonal vektor b pada arah vektor ( a − 2 c ) .

2

4.2

Jawaban terverifikasi