Perhatikan gambar berikut! Luas daerah yang berwarna biru adalah ... satuan luas.

Pertanyaan

Perhatikan gambar berikut!

Luas daerah yang berwarna biru adalah ... satuan luas.

  1. begin mathsize 14px style 19 over 12 end style  

  2. begin mathsize 14px style 9 over 4 end style  

  3. begin mathsize 14px style 7 over 3 end style  

  4. begin mathsize 14px style 5 over 3 end style  

  5. 3

N. Rahayu

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah D. 

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut!

Daerah yang berwarna biru dapat dibagi menjadi dua daerah, yaitu daerah P yang berwarna hijau dan daerah Q yang berwarna kuning.
Kedua daerah ini dapat dicari luasnya menggunakan integral.

Perhatikan bahwa a merupakan absis ketika grafik fungsi begin mathsize 14px style straight f left parenthesis straight x right parenthesis equals negative straight x squared plus 5 straight x minus 4 end style  berpotongan dengan grafik fungsi begin mathsize 14px style straight h left parenthesis straight x right parenthesis equals 1 half straight x minus 1 half end style.
Oleh karena itu, didapat

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight f left parenthesis straight a right parenthesis end cell equals cell straight h left parenthesis straight a right parenthesis end cell row cell negative straight a squared plus 5 straight a minus 4 end cell equals cell 1 half straight a minus 1 half end cell row cell negative 2 straight a squared plus 10 straight a minus 8 end cell equals cell straight a minus 1 end cell row cell negative 2 straight a squared plus 10 straight a minus 8 minus straight a plus 1 end cell equals 0 row cell negative 2 straight a squared plus 9 straight a minus 7 end cell equals 0 row cell 2 straight a squared minus 9 straight a plus 7 end cell equals 0 row cell left parenthesis 2 straight a minus 7 right parenthesis left parenthesis straight a minus 1 right parenthesis end cell equals 0 row straight a equals cell 7 over 2 space atau thin space straight a equals 1 end cell end table end style   

Perhatikan bahwa terdapat dua titik potong grafik fungsi begin mathsize 14px style straight f left parenthesis straight x right parenthesis equals negative straight x squared plus 5 straight x minus 4 end style dan begin mathsize 14px style straight h left parenthesis straight x right parenthesis equals 1 half straight x minus 1 half end style. Dalam hal ini, titik potong dengan absis a merupakan titik potong yang berada di sebelah kiri sehingga dipilih nilai a yang terkecil. Jadi, didapat a = 1.

Kemudian, b merupakan absis ketika grafik fungsi begin mathsize 14px style straight f left parenthesis straight x right parenthesis equals negative straight x squared plus 5 straight x minus 4 end style berpotongan dengan grafik fungsi g(x) = - x + 4.
Oleh karena itu, didapat

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight f left parenthesis straight b right parenthesis end cell equals cell straight g left parenthesis straight b right parenthesis end cell row cell negative straight b squared plus 5 straight b minus 4 end cell equals cell negative straight b plus 4 end cell row cell negative straight b squared plus 5 straight b minus 4 plus straight b minus 4 end cell equals 0 row cell negative straight b squared plus 6 straight b minus 8 end cell equals 0 row cell straight b squared minus 6 straight b plus 8 end cell equals 0 row cell left parenthesis straight b minus 2 right parenthesis left parenthesis straight b minus 4 right parenthesis end cell equals 0 row straight b equals cell 2 thin space atau thin space straight b equals 4 end cell end table end style   

Perhatikan bahwa terdapat dua titik potong grafik fungsi begin mathsize 14px style straight f left parenthesis straight x right parenthesis equals negative straight x squared plus 5 straight x minus 4 end style dan g(x) = - x + 4. Dalam hal ini, titik potong dengan absis b merupakan titik potong yang berada di sebelah kiri sehingga dipilih nilai b yang terkecil. Jadi, didapat b = 2.

Selanjutnya, c merupakan absis ketika grafik fungsi g(x) = - x + 4 berpotongan dengan grafik fungsi begin mathsize 14px style straight h left parenthesis straight x right parenthesis equals 1 half straight x minus 1 half end style.

Oleh karena itu, didapat 

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight g left parenthesis straight c right parenthesis end cell equals cell straight h left parenthesis straight c right parenthesis end cell row cell negative straight c plus 4 end cell equals cell 1 half straight c minus 1 half end cell row cell negative 2 straight c plus 8 end cell equals cell straight c minus 1 end cell row cell negative 2 straight c plus 8 minus straight c plus 1 end cell equals 0 row cell negative 3 straight c plus 9 end cell equals 0 row cell negative 3 straight c end cell equals cell negative 9 end cell row straight c equals 3 end table end style  

Jadi, c = 3.

Oleh karena itu, perhatikan gambar berikut.

Jika diperhatikan, daerah P terletak pada interval 1 ≤ x ≤ 2. Oleh karena itu, batas bawah integralnya adalah 1 dan batas atas integralnya adalah 2.
Kemudian, daerah P dibatasi oleh fungsi f(x) dan h(x).
Dari gambar pada soal, pada interval 1 ≤ x ≤ 2, didapat bahwa f(x) > h(x).
Oleh karena itu, luas dari daerah P adalah

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row LuasP equals cell integral subscript 1 superscript 2 left parenthesis straight f left parenthesis straight x right parenthesis minus straight h left parenthesis straight x right parenthesis right parenthesis dx end cell row blank equals cell integral subscript 1 superscript 2 open parentheses left parenthesis negative straight x squared plus 5 straight x minus 4 right parenthesis minus open parentheses 1 half straight x minus 1 half close parentheses close parentheses dx end cell row blank equals cell integral subscript 1 superscript 2 open parentheses negative straight x squared plus 5 straight x minus 4 minus 1 half straight x plus 1 half close parentheses dx end cell row blank equals cell integral subscript 1 superscript 2 open parentheses negative straight x squared plus 9 over 2 straight x minus 7 over 2 close parentheses dx end cell row blank equals cell negative 1 third straight x cubed plus 9 over 4 straight x squared minus 7 over 2 straight x right square bracket subscript 1 superscript 2 end cell row blank equals cell open parentheses negative 1 third times 2 cubed plus 9 over 4 times 2 squared minus 7 over 2 times 2 close parentheses minus open parentheses negative 1 third times 1 cubed plus 9 over 4 times 1 squared minus 7 over 2 times 1 close parentheses end cell row blank equals cell open parentheses negative 8 over 3 plus 9 minus 7 close parentheses minus open parentheses negative 1 third plus 9 over 4 minus 7 over 2 close parentheses end cell row blank equals cell open parentheses negative 8 over 3 plus 2 close parentheses minus open parentheses negative 1 third plus 9 over 4 minus 7 over 2 close parentheses end cell row blank equals cell negative 8 over 3 plus 2 plus 1 third minus 9 over 4 plus 7 over 2 end cell row blank equals cell negative 7 over 3 plus 2 minus 9 over 4 plus 7 over 2 end cell row blank equals cell negative 28 over 12 plus 24 over 12 minus 27 over 12 plus 42 over 12 end cell row blank equals cell fraction numerator negative 28 plus 24 minus 27 plus 42 over denominator 12 end fraction end cell row blank equals cell 11 over 12 space satuan space luas end cell end table end style   

Selanjutnya, daerah Q terletak pada interval 2 ≤ x ≤ 3. Oleh karena itu, batas bawah integralnya adalah 2 dan batas atas integralnya adalah 3.
Kemudian, daerah Q dibatasi oleh fungsi g(x) dan h(x).
Dari gambar pada soal, pada interval 2 ≤ x ≤ 3, didapat bahwa g(x) > h(x).
Oleh karena itu, integral yang menyatakan luas dari daerah Q adalah

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space straight Q end cell equals cell integral subscript 2 superscript 3 left parenthesis straight g left parenthesis straight x right parenthesis minus straight h left parenthesis straight x right parenthesis right parenthesis dx end cell row blank equals cell integral subscript 2 superscript 3 open parentheses left parenthesis negative straight x plus 4 right parenthesis minus open parentheses 1 half straight x minus 1 half close parentheses close parentheses dx end cell row blank equals cell integral subscript 2 superscript 3 open parentheses negative straight x plus 4 minus 1 half straight x plus 1 half close parentheses dx end cell row blank equals cell integral subscript 2 superscript 3 open parentheses negative 3 over 2 straight x plus 9 over 2 close parentheses dx end cell row blank equals cell negative 3 over 4 straight x squared plus 9 over 2 straight x right square bracket subscript 2 superscript 3 end cell row blank equals cell open parentheses negative 3 over 4 times 3 squared plus 9 over 2 times 3 close parentheses minus open parentheses negative 3 over 4 times 2 squared plus 9 over 2 times 2 close parentheses end cell row blank equals cell open parentheses negative 27 over 4 plus 27 over 2 close parentheses minus left parenthesis negative 3 plus 9 right parenthesis end cell row blank equals cell negative 27 over 4 plus 27 over 2 minus 6 end cell row blank equals cell negative 27 over 4 plus 54 over 4 minus 24 over 4 end cell row blank equals cell fraction numerator negative 27 plus 54 minus 24 over denominator 4 end fraction end cell row blank equals cell 3 over 4 space satuan space luas end cell end table end style   

Karena daerah yang berwarna biru merupakan gabungan dari daerah P dan Q, maka luas daerah yang berwarna biru merupakan penjumlahan dari luas daerah P dan Q. Oleh karena itu didapat 

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space total end cell equals cell Luas space straight P plus Luas space straight Q end cell row blank equals cell 11 over 12 plus 3 over 4 end cell row blank equals cell 5 over 3 space satuan space luas space end cell end table end style   

Jadi, jawaban yang tepat adalah D. 

14

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Perhatikan gambar berikut! Berikut ini, integral yang menyatakan luas dari daerah yang berwarna hijau adalah ....

15

0.0

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Download di Google PlayDownload di AppstoreDownload di App Gallery

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

081578200000

Email info@ruangguru.com

info@ruangguru.com

Contact 02140008000

02140008000

Ikuti Kami

©2022 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia