Perhatikan gambar berikut! Luas daerah yang berwarna biru adalah ... satuan luas.

Pertanyaan

Perhatikan gambar berikut!

Luas daerah yang berwarna biru adalah ... satuan luas.

  1. begin mathsize 14px style fraction numerator 4 square root of 2 minus 4 over denominator 3 end fraction end style  

  2. begin mathsize 14px style fraction numerator 4 square root of 2 plus 4 over denominator 3 end fraction end style  

  3. begin mathsize 14px style fraction numerator 8 square root of 2 minus 4 over denominator 3 end fraction end style  

  4. begin mathsize 14px style fraction numerator 8 square root of 2 plus 4 over denominator 3 end fraction end style  

  5. begin mathsize 14px style fraction numerator 8 square root of 2 minus 8 over denominator 3 end fraction end style  

N. Rahayu

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah C. 

Pembahasan

Perhatikan gambar berikut!

Daerah yang berwarna biru dapat dibagi menjadi tiga daerah, yaitu daerah P yang berwarna hijau, daerah Q yang berwarna kuning, dan daerah R yang berwarna merah.
Ketiga daerah ini dapat dicari luasnya menggunakan integral.

Perhatikan bahwa a dan d merupakan absis ketika grafik fungsi begin mathsize 14px style straight g left parenthesis straight x right parenthesis equals negative straight x squared plus 1 end style berpotongan dengan grafik fungsi h(x) = - 1.
Nilai a dan d merupakan nilai-nilai x sehingga

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight g left parenthesis straight x right parenthesis end cell equals cell straight h left parenthesis straight x right parenthesis end cell row cell negative straight x squared plus 1 end cell equals cell negative 1 end cell row cell negative straight x squared end cell equals cell negative 1 minus 1 end cell row cell negative straight x squared end cell equals cell negative 2 end cell row cell straight x squared end cell equals 2 row straight x equals cell plus-or-minus square root of 2 end cell end table end style   

Karena absis a terletak di sebelah kiri sumbu-y dan absis d terletak di sebelah kanan sumbu-y, maka a < 0 dan d > 0. Jadi, a = - begin mathsize 14px style square root of 2 end style dan d = begin mathsize 14px style square root of 2 end style.

Kemudian, b dan c merupakan absis ketika grafik fungsi begin mathsize 14px style straight f left parenthesis straight x right parenthesis equals negative straight x squared end style berpotongan dengan grafik fungsi h(x) = - 1.

Nilai b dan c merupakan nilai-nilai x sehingga

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell straight f left parenthesis straight x right parenthesis end cell equals cell straight h left parenthesis straight x right parenthesis end cell row cell negative straight x squared end cell equals cell negative 1 end cell row cell straight x squared end cell equals 1 row straight x equals cell plus-or-minus 1 end cell end table end style   

Karena absis b terletak di sebelah kiri sumbu-y dan absis c terletak di sebelah kanan sumbu-y, maka b < 0 dan c > 0. Jadi, b = - 1 dan c = 1.

Oleh karena itu, perhatikan gambar berikut.

Jika diperhatikan, daerah P terletak pada interval - begin mathsize 14px style square root of 2 end style ≤ x ≤ - 1. Oleh karena itu, batas bawah integralnya adalah - begin mathsize 14px style square root of 2 end style dan batas atas integralnya adalah - 1.
Kemudian, daerah P dibatasi oleh fungsi g(x) dan h(x).
Dari gambar pada soal, pada interval - begin mathsize 14px style square root of 2 end style ≤ x ≤ - 1, didapat bahwa g(x) > h(x).
Oleh karena itu, luas dari daerah P adalah

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space straight P end cell equals cell integral subscript negative square root of 2 end subscript superscript negative 1 end superscript left parenthesis straight g left parenthesis straight x right parenthesis minus straight h left parenthesis straight x right parenthesis right parenthesis dx end cell row blank equals cell integral subscript negative square root of 2 end subscript superscript negative 1 end superscript left parenthesis left parenthesis negative straight x squared plus 1 right parenthesis minus left parenthesis negative 1 right parenthesis right parenthesis dx end cell row blank equals cell integral subscript negative square root of 2 end subscript superscript negative 1 end superscript left parenthesis negative straight x squared plus 1 plus 1 right parenthesis dx end cell row blank equals cell integral subscript negative square root of 2 end subscript superscript negative 1 end superscript left parenthesis negative straight x squared plus 2 right parenthesis dx end cell row blank equals cell negative 1 third straight x cubed plus 2 straight x right square bracket subscript negative square root of 2 end subscript superscript negative 1 end superscript end cell row blank equals cell open parentheses negative 1 third times left parenthesis negative 1 right parenthesis cubed plus 2 times left parenthesis negative 1 right parenthesis close parentheses minus open parentheses negative 1 third times left parenthesis negative square root of 2 right parenthesis cubed plus 2 times left parenthesis negative square root of 2 right parenthesis close parentheses end cell row blank equals cell open parentheses 1 third minus 2 close parentheses minus open parentheses fraction numerator 2 square root of 2 over denominator 3 end fraction minus 2 square root of 2 close parentheses end cell row blank equals cell 1 third minus 2 minus fraction numerator 2 square root of 2 over denominator 3 end fraction plus 2 square root of 2 end cell row blank equals cell 1 third minus 6 over 3 minus fraction numerator 2 square root of 2 over denominator 3 end fraction plus fraction numerator 6 square root of 2 over denominator 3 end fraction end cell row blank equals cell negative 5 over 3 plus fraction numerator 4 square root of 2 over denominator 3 end fraction space satuan space luas end cell end table end style   

Selanjutnya, daerah Q terletak pada interval - 1 ≤ x ≤ 1. Oleh karena itu, batas bawah integralnya adalah -1 dan batas atas integralnya adalah 1.
Kemudian, daerah Q dibatasi oleh fungsi g(x) dan f(x).
Dari gambar pada soal, pada interval - 1 ≤ x ≤ 1, didapat bahwa g(x) > f(x).
Oleh karena itu, integral yang menyatakan luas dari daerah Q adalah

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space straight Q end cell equals cell integral subscript negative 1 end subscript superscript 1 left parenthesis straight g left parenthesis straight x right parenthesis minus straight f left parenthesis straight x right parenthesis right parenthesis dx end cell row blank equals cell integral subscript negative 1 end subscript superscript 1 left parenthesis left parenthesis negative straight x squared plus 1 right parenthesis minus left parenthesis negative straight x squared right parenthesis right parenthesis dx end cell row blank equals cell integral subscript negative 1 end subscript superscript 1 left parenthesis negative straight x squared plus 1 plus straight x squared right parenthesis dx end cell row blank equals cell integral subscript negative 1 end subscript superscript 1 1 dx end cell row blank equals cell straight x right square bracket subscript negative 1 end subscript superscript 1 end cell row blank equals cell 1 minus left parenthesis negative 1 right parenthesis end cell row blank equals cell 1 plus 1 end cell row blank equals cell 2 space satuan space luas end cell end table end style   

Selanjutnya, daerah R terletak pada interval 1 ≤ x ≤ begin mathsize 14px style square root of 2 end style. Oleh karena itu, batas bawah integralnya adalah 1 dan batas atas integralnya adalah begin mathsize 14px style square root of 2 end style.
Kemudian, daerah R dibatasi oleh fungsi g(x) dan h(x).
Dari gambar pada soal, pada interval 1 ≤ x ≤  begin mathsize 14px style square root of 2 end style, didapat bahwa g(x) > h(x).
Oleh karena itu, luas dari daerah R adalah

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space straight R end cell equals cell integral subscript 1 superscript square root of 2 end superscript left parenthesis straight g left parenthesis straight x right parenthesis minus straight h left parenthesis straight x right parenthesis right parenthesis dx end cell row blank equals cell integral subscript 1 superscript square root of 2 end superscript left parenthesis left parenthesis negative straight x squared plus 1 right parenthesis minus left parenthesis negative 1 right parenthesis right parenthesis dx end cell row blank equals cell integral subscript 1 superscript square root of 2 end superscript left parenthesis negative straight x squared plus 1 plus 1 right parenthesis dx end cell row blank equals cell integral subscript 1 superscript square root of 2 end superscript left parenthesis negative straight x squared plus 2 right parenthesis dx end cell row blank equals cell negative 1 third straight x cubed plus 2 straight x right square bracket subscript 1 superscript square root of 2 end superscript end cell row blank equals cell open parentheses negative 1 third times left parenthesis square root of 2 right parenthesis cubed plus 2 times square root of 2 close parentheses minus open parentheses negative 1 third times 1 cubed plus 2 times 1 close parentheses end cell row blank equals cell open parentheses negative fraction numerator 2 square root of 2 over denominator 3 end fraction plus 2 square root of 2 close parentheses minus open parentheses negative 1 third plus 2 close parentheses end cell row blank equals cell negative fraction numerator 2 square root of 2 over denominator 3 end fraction plus 2 square root of 2 plus 1 third minus 2 end cell row blank equals cell negative fraction numerator 2 square root of 2 over denominator 3 end fraction plus fraction numerator 6 square root of 2 over denominator 3 end fraction plus 1 third minus 6 over 3 end cell row blank equals cell fraction numerator 4 square root of 2 over denominator 3 end fraction minus 5 over 3 space satuan space luas end cell end table end style   

Karena daerah yang berwarna biru merupakan gabungan dari daerah P, Q, dan R, maka luas daerah yang berwarna biru merupakan penjumlahan dari luas daerah P, Q, dan R. Oleh karena itu didapat 

begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Luas space total end cell equals cell Luas space straight P plus Luas space straight Q plus Luas space straight R end cell row blank equals cell open parentheses negative 5 over 3 plus fraction numerator 4 square root of 2 over denominator 3 end fraction close parentheses plus 2 plus open parentheses fraction numerator 4 square root of 2 over denominator 3 end fraction minus 5 over 3 close parentheses end cell row blank equals cell negative 5 over 3 plus fraction numerator 4 square root of 2 over denominator 3 end fraction plus 6 over 3 plus fraction numerator 4 square root of 2 over denominator 3 end fraction minus 5 over 3 end cell row blank equals cell fraction numerator 8 square root of 2 minus 4 over denominator 3 end fraction space satuan space luas end cell end table end style  

Jadi, jawaban yang tepat adalah C. 

22

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Perhatikan gambar berikut! Daerah yang berwarna hijau merupakan daerah yang diapit oleh f(x) = 2x dan g(x)=x2 pada interval 0 ≤ x ≤ 2. Luas daerah yang berwarna hijau adalah ... satuan luas.

42

0.0

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Download di Google PlayDownload di AppstoreDownload di App Gallery

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

081578200000

Email info@ruangguru.com

info@ruangguru.com

Contact 02140008000

02140008000

Ikuti Kami

©2022 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia