Pertanyaan

Penyelesaian persamaan 4 cos 2 x + ( 2 − 2 2 ) cos x − 2 = 0 pada interval 0 ∘ ≤ x ≤ 18 0 ∘ adalah ....

Penyelesaian persamaan $4 cos^{2} x + (2 - 22) cos x - 2 = 0$ pada interval $0^{\circ} \leq x \leq 18 0^{\circ}$ adalah ....

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah E.

Pembahasan

Diketahui , misalkan maka diperoleh maka Ingat kembali nilai trigonometri pada sudut istimewa seperti pada tabel di bawah ini. Berdasarkan tabel diperoleh bahwa dan menurut aturan sudut berelasi yaitu maka sehingga diperoleh sebagai berikut. k = 0 → k = 1 → cos x = 2 1 2 cos x = cos 4 5 ∘ x = 4 5 ∘ ± k ⋅ 36 0 ∘ x = 4 5 ∘ ± k ⋅ 36 0 ∘ x = 45 ± 0 ⋅ 360 x = 45 ± 0 x = 4 5 ∘ x = 4 5 ∘ ± k ⋅ 36 0 ∘ x = 45 ± 1 ⋅ 360 x = 45 ± 360 x = 45 + 360 x = 40 5 ∘ ( tidakmemenuhi ) x = 45 − 360 x = − 31 5 ∘ ( tidakmemenuhi ) Cosinus bernilai negatif terletak pada kuadran II dan III, dan terletak pada interval maka nilai cosinus negatif yang berlaku adalah cosinus yangsudutnya terletak pada kuadran II dengan rumus sudut sehingga . Oleh karena itu diperoleh sebagai berikut. k = 0 → k = 1 → cos x = − 2 1 cos x = cos ( 18 0 ∘ − 6 0 ∘ ) cos x = cos 12 0 ∘ x = 12 0 ∘ ± k ⋅ 36 0 ∘ x = 120 ± 0 ⋅ 360 x = 120 ± 0 x = 12 0 ∘ x = 12 0 ∘ ± k ⋅ 36 0 ∘ x = 120 ± 1 ⋅ 360 x = 120 ± 360 x = 120 + 360 x = 48 0 ∘ ( tidakmemenuhi ) x = 120 − 360 x = − 24 0 ∘ ( tidakmemenuhi ) Jadi himpunan penyelesaian persamaan pada interval adalah Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah E.

Diketahui 4 cos squared x plus open parentheses 2 minus 2 square root of 2 close parentheses cos space x minus square root of 2 equals 0 , misalkan p equals cos space x maka diperoleh

$begin mathsize 12px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank blank row blank blank cell table row cell 4 cos squared x plus left parenthesis 2 minus 2 square root of 2 right parenthesis cos space x minus square root of 2 equals 0 end cell blank row cell 4 left parenthesis cos space x right parenthesis squared plus left parenthesis 2 minus 2 square root of 2 right parenthesis cos space x minus square root of 2 equals 0 end cell blank row cell 4 p squared plus open parentheses 2 minus 2 square root of 2 close parentheses p minus square root of 2 equals 0 end cell blank row cell 4 p squared plus 2 p minus 2 square root of 2 p minus square root of 2 equals 0 end cell blank row cell 2 p open parentheses 2 p plus 1 close parentheses minus square root of 2 open parentheses 2 p plus 1 close parentheses equals 0 end cell blank row cell open parentheses 2 p plus 1 close parentheses open parentheses 2 p minus square root of 2 close parentheses equals 0 end cell blank row cell 2 p plus 1 equals 0 space space space logical or end cell cell space space 2 p minus square root of 2 equals 0 end cell row cell 2 p equals negative 1 end cell cell 2 p equals square root of 2 end cell row cell p equals fraction numerator negative 1 over denominator 2 end fraction end cell cell p equals fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction end cell end table end cell row blank blank blank row blank blank blank end table end style$

p equals cos space x maka

$table row cell p equals negative 1 half end cell logical or cell p equals fraction numerator square root of 2 over denominator 2 end fraction end cell row cell cos space x equals negative 1 half end cell blank cell cos space x equals 1 half square root of 2 end cell row blank blank blank end table$

Ingat kembali nilai trigonometri pada sudut istimewa seperti pada tabel di bawah ini.

Berdasarkan tabel diperoleh bahwa cos space 45 degree equals 1 half square root of 2 dan menurut aturan sudut berelasi yaitu cos open parentheses negative x close parentheses equals cos space x maka sehingga cos space x equals 1 half square root of 2 diperoleh sebagai berikut.

$k = 0 \to k = 1 \to cos x = \frac{1}{2} 2 cos x = cos 4 5^{\circ} x = 4 5^{\circ} \pm k \cdot 36 0^{\circ} x = 4 5^{\circ} \pm k \cdot 36 0^{\circ} x = 45 \pm 0 \cdot 360 x = 45 \pm 0 x = 4 5^{\circ} x = 4 5^{\circ} \pm k \cdot 36 0^{\circ} x = 45 \pm 1 \cdot 360 x = 45 \pm 360 x = 45 + 360 x = 40 5^{\circ} (tidak memenuhi) x = 45 - 360 x = - 31 5^{\circ} (tidak memenuhi)$

Cosinus bernilai negatif terletak pada kuadran II dan III, dan terletak pada interval 0 degree less or equal than x less or equal than 180 degree maka nilai cosinus negatif yang berlaku adalah cosinus yang sudutnya terletak pada kuadran II dengan rumus sudut open parentheses 180 degree minus x close parentheses sehingga cos open parentheses 180 degree minus x close parentheses equals negative cos space x . Oleh karena itu cos space x equals negative 1 half diperoleh sebagai berikut.

$k = 0 \to k = 1 \to cos x = - \frac{1}{2} cos x = cos (18 0^{\circ} - 6 0^{\circ}) cos x = cos 12 0^{\circ} x = 12 0^{\circ} \pm k \cdot 36 0^{\circ} x = 120 \pm 0 \cdot 360 x = 120 \pm 0 x = 12 0^{\circ} x = 12 0^{\circ} \pm k \cdot 36 0^{\circ} x = 120 \pm 1 \cdot 360 x = 120 \pm 360 x = 120 + 360 x = 48 0^{\circ} (tidak memenuhi) x = 120 - 360 x = - 24 0^{\circ} (tidak memenuhi)$

Jadi himpunan penyelesaian persamaan 4 cos squared x plus open parentheses 2 minus 2 square root of 2 close parentheses cos space x minus square root of 2 equals 0 pada interval 0 degree less or equal than x less or equal than 180 degree adalah text HP end text equals open curly brackets 45 degree comma space 120 degree close curly brackets

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah E.