Pertanyaan

Pak Dengklek memiliki 100 buah bola yang diberi nomor 1 , 2 , 3 , ... , 100 . Lalu, Pak Dangklek akan mengambil 3 buah bola yang akan diberikan kepada Ganesh dengan syarat jumlah nomor dari ketiga bola tersebut habis dibagi . Berapa banyaknya Pak Dengklek memilih bola tersebut?

Pak Dengklek memiliki $100$ buah bola yang diberi nomor $1, 2, 3, ..., 100$ . Lalu, Pak Dangklek akan mengambil $3$ buah bola yang akan diberikan kepada Ganesh dengan syarat jumlah nomor dari ketiga bola tersebut habis dibagi . Berapa banyaknya Pak Dengklek memilih bola tersebut?

$53.921$
$53.922$
$53.923$
$53.924$
$53.925$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

S. Difhayanti

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Prof. Dr. Hamka

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat kembali konsep kombinasi dengan rumus sebagai berikut: n C k = ( n − k ) ! k ! n ! Misalkan ketiga nomor yang tertera pada bola yang terambil adalah x , y , z ∈ { 1 , 2 , 3 , ... 100 } = S . Maka habis dibagi . Berdasarkan keterbagiannya terhadap 3bilangan dapat dibagi menjadi tigahimpunan, yaitu himpunan bilangan yang habis dibagi 3 , himpunan bilangan yang apabila dibagi 3 bersisa 1 , dan bilangan yang apabila dibagi 3 bersisa 2 . Misalkan: sehingga sehingga sehingga Agar habis dibagi maka terdapat empatkemungkinan yaitu: Kemungkinan 1yaitu ketiga bilangan masing masing habis dibagi 3 atau Banyaknya cara mengambil 3 bola dari 33 bola ( n ( A ) = 33 ) adalah: 33 C 3 = = = = ( 33 − 3 ) ! 3 ! 33 ! 30 ! 3 × 2 × 1 33 × 32 × 31 × 30 ! 6 33 × 32 × 31 5.456 Kemungkinan 2yaitu ketiga bilangan apabila dibagi 3 masing-masing bersisa 1 atau Banyaknya cara mengambil 3 bola dari 34 bola( )adalah: 34 C 3 = = = = ( 34 − 3 ) ! 3 ! 34 ! 31 ! 3 × 2 × 1 34 × 33 × 32 × 31 ! 6 34 × 33 × 32 5.984 Kemungkinan 3 yaitu ketiga bilangan apabila dibagi 3 masing-masing bersisa 2 atau . Banyaknya cara mengambil 3 bola dari 33 bola ( ) adalah: 33 C 3 = = = = ( 33 − 3 ) ! 3 ! 33 ! 30 ! 3 × 2 × 1 33 × 32 × 31 × 30 ! 6 33 × 32 × 31 5.456 Kemungkinan 4yaitu salah satu bilangan habis dibagi Banyaknya cara mengambil 1 bola dari 33 bola( ), 1 bola dari 34 bola( )dan 1 bola dari 33 bola ( ) adalah: ( 33 C 1 ) ⋅ ( 34 C 1 ) ⋅ ( 33 C 1 ) = = = = ( ( 33 − 1 ) ! 1 ! 33 ! ) ⋅ ( ( 34 − 1 ) ! 1 ! 34 ! ) ⋅ ( ( 33 − 1 ) ! 1 ! 33 ! ) ( 32 ! × 1 33 × 32 ! ) ⋅ ( 33 ! × 1 34 × 33 ! ) ⋅ ( 32 ! × 1 33 × 32 ! ) 33 ⋅ 34 ⋅ 33 37.026 Dengan demikian, banyaknya kemungkinan pengambilan bola tersebut adalah jumlah dari banyaknya cara dari keempat kemungkinan yaitu 5.456 + 5.984 + 5.456 + 37.026 = 53.922 . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah B.

Ingat kembali konsep kombinasi dengan rumus sebagai berikut:

$_{n} C_{k} = \frac{n !}{( n - k ) ! k !}$

Misalkan ketiga nomor yang tertera pada bola yang terambil adalah $x, y, z \in {1, 2, 3, ... 100} = S$ . Maka habis dibagi .

Berdasarkan keterbagiannya terhadap 3 bilangan dapat dibagi menjadi tiga himpunan, yaitu himpunan bilangan yang habis dibagi 3 , himpunan bilangan yang apabila dibagi 3 bersisa 1 , dan bilangan yang apabila dibagi 3 bersisa 2 . Misalkan:

sehingga

Agar habis dibagi maka terdapat empat kemungkinan yaitu:

Kemungkinan 1 yaitu ketiga bilangan masing masing habis dibagi 3 atau
Banyaknya cara mengambil 3 bola dari 33 bola ( $n (A) = 33$ ) adalah:

$_{33} C_{3} = = = = \frac{33 !}{( 33 - 3 ) ! 3 !} \frac{33 \times 32 \times 31 \times 30 !}{30 ! 3 \times 2 \times 1} \frac{33 \times 32 \times 31}{6} 5.456$

Kemungkinan 2 yaitu ketiga bilangan apabila dibagi 3 masing-masing bersisa 1 atau
Banyaknya cara mengambil 3 bola dari 34 bola() adalah:

$_{34} C_{3} = = = = \frac{34 !}{( 34 - 3 ) ! 3 !} \frac{34 \times 33 \times 32 \times 31 !}{31 ! 3 \times 2 \times 1} \frac{34 \times 33 \times 32}{6} 5.984$

Kemungkinan 3 yaitu ketiga bilangan apabila dibagi 3 masing-masing bersisa 2 atau .
Banyaknya cara mengambil 3 bola dari 33 bola () adalah:

$_{33} C_{3} = = = = \frac{33 !}{( 33 - 3 ) ! 3 !} \frac{33 \times 32 \times 31 \times 30 !}{30 ! 3 \times 2 \times 1} \frac{33 \times 32 \times 31}{6} 5.456$

Kemungkinan 4 yaitu salah satu bilangan habis dibagi
Banyaknya cara mengambil 1 bola dari 33 bola(), 1 bola dari 34 bola() dan 1 bola dari 33 bola () adalah:

$(_{33} C_{1}) \cdot (_{34} C_{1}) \cdot (_{33} C_{1}) = = = = (\frac{33 !}{( 33 - 1 ) ! 1 !}) \cdot (\frac{34 !}{( 34 - 1 ) ! 1 !}) \cdot (\frac{33 !}{( 33 - 1 ) ! 1 !}) (\frac{33 \times 32 !}{32 ! \times 1}) \cdot (\frac{34 \times 33 !}{33 ! \times 1}) \cdot (\frac{33 \times 32 !}{32 ! \times 1}) 33 \cdot 34 \cdot 33 37.026$

Dengan demikian, banyaknya kemungkinan pengambilan bola tersebut adalah jumlah dari banyaknya cara dari keempat kemungkinan yaitu $5.456 + 5.984 + 5.456 + 37.026 = 53.922$ .

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah B.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Tunjukkan bahwa P ( n , r ) = r ! C ( n , r )

4.2

Jawaban terverifikasi

Suatu tim pemain catur terdiri dari 3 orang. Bila ada 7 calon pemain, berapa banyaknya cara untuk membentuk tim pemain catur tersebut?

3.3

Jawaban terverifikasi

Dalam kantong terdapat 6 bola merah dan 5 bola putih. Diambil 4 bola sekaligus. Tentukan banyak cara pengambilan 2 bola merah dan 2 bola putih!

3.5

Jawaban terverifikasi

"SMA Merdeka Belajar mempunyai 15 siswa laki-laki dan 10 siswa perempuan sebagai kandidat peserta Jambore Siswa Nasional. Dari kandidat yang tersedia, tentukan banyak kemungkinan susunan perwakilan ya...

2.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui P ( x ) = C ( 4 , x ) . ( 0 , 8 ) x . ( 0 , 2 ) 4 − x , untuk x = 0 , 1 , 2 , 3 , 4. Tentukan nilai dari : a. P ( 1 )

3.0

Jawaban terverifikasi