Pertanyaan

Pada sebuah lingkaran terdapat sebuah tali busur AB yang panjangnya adalah 48 cm . Tali busur AB dan sebuah titik C pada lingkaran membentuk △ ABC yang luasnya maksimum. Jika luas △ ABC maksimum sebesar 768 cm 2 , hitunglah jari-jari lingkaran tersebut.

Pada sebuah lingkaran terdapat sebuah tali busur $AB$ yang panjangnya adalah $48 cm$ . Tali busur $AB$ dan sebuah titik $C$ pada lingkaran membentuk $△ ABC$ yang luasnya maksimum. Jika luas $△ ABC$ maksimum sebesar $768 cm^{2}$ , hitunglah jari-jari lingkaran tersebut.

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

I. Sutiawan

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pasundan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

, jari-jari lingkaran tersebut adalah 25 cm .

, jari-jari lingkaran tersebut adalah

25 cm

Pembahasan

Ingat! L △ = 2 1 × a × t Rumus cosinus suatu segitiga: a 2 = b 2 + c 2 − 2 b c cos A cos 2 θ = 2 cos 2 θ − 1 Perhatikan gambar berikut: Agar luas segitiga maksimum, maka tinggi segitiga haruslah maksimal dan terletak di tengah dari tali busur, sehingga: L ABC 768 768 t t = = = = = 2 1 × a × t 2 1 × 48 × t 24 t 24 768 32 cm Pada segitiga ABC berlaku: tan α = = 32 24 4 3 Sehingga dengan tripel Pythagoras 3 , 4 , x maka haruslah x atau sisi miringnya adalah 5 , maka: cos α = 5 4 Pada gambar, nilai dari θ = 18 0 ∘ − 2 α . Sehingga: AC 2 ( CC ′2 + AC ′2 ) 3 2 2 + 2 4 2 1.024 + 576 1.600 1.600 1.600 1.600 r 2 r = = = = = = = = = = AO 2 + CO 2 − 2 AO . CO . cos θ r 2 + r 2 − 2 r . r . cos ( 18 0 ∘ − 2 α ) 2 r 2 − 2 r 2 ( − cos 2 α ) 2 r 2 + 2 r 2 cos 2 α 2 r 2 + 2 r 2 ( 2 cos 2 α − 1 ) 2 r 2 + 2 r 2 ( 2 ( 5 4 ) 2 − 1 ) 2 r 2 + 25 14 r 2 64 r 2 625 ± 25 cm Karena ukuran panjang tidak mungkin negatif, maka yang memenuhi adalah r = 25 cm . Dengan demikian , jari-jari lingkaran tersebut adalah 25 cm .

Ingat!

$L_{△} = \frac{1}{2} \times a \times t$
Rumus cosinus suatu segitiga:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos A$

$cos^{2} θ = 2 cos^{2} θ - 1$

Perhatikan gambar berikut:

Agar luas segitiga maksimum, maka tinggi segitiga haruslah maksimal dan terletak di tengah dari tali busur, sehingga:

$L_{ABC} 768768 t t = = = = = \frac{1}{2} \times a \times t \frac{1}{2} \times 48 \times t 24 t \frac{768}{24} 32 cm$

Pada segitiga $ABC$ berlaku:

$tan α = = \frac{24}{32} \frac{3}{4}$

Sehingga dengan tripel Pythagoras $3, 4, x$ maka haruslah $x$ atau sisi miringnya adalah $5$ , maka:

$cos α = \frac{4}{5}$

Pada gambar, nilai dari $θ = 18 0^{\circ} - 2 α$ .

Sehingga:

$AC^{2} (CC^{'2} + AC^{'2}) 3 2^{2} + 2 4^{2} 1.024 + 576 1.600 1.600 1.600 1.600 r^{2} r = = = = = = = = = = AO^{2} + CO^{2} - 2 AO . CO . cos θ r^{2} + r^{2} - 2 r . r . cos (18 0^{\circ} - 2 α) 2 r^{2} - 2 r^{2} (- cos 2 α) 2 r^{2} + 2 r^{2} cos 2 α 2 r^{2} + 2 r^{2} (2 cos^{2} α - 1) 2 r^{2} + 2 r^{2} (2 (\frac{4}{5})^{2} - 1) 2 r^{2} + \frac{14}{25} r^{2} 64 r^{2} 625 \pm 25 cm$