Pertanyaan

Pada △ A BC selalu berlaku hubungan: a sin 2 ( 2 C ) + c sin 2 ( 2 A ) = 2 b . Buktikan bahwa a − b + c = b !

Pada $△ A BC$ selalu berlaku hubungan: $a sin^{2} (\frac{C}{2}) + c sin^{2} (\frac{A}{2}) = \frac{b}{2}$ . Buktikan bahwa $a - b + c = b$ !

I. Roy

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Surabaya

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa pada hubungan a sin 2 ( 2 C ) + c sin 2 ( 2 A ) = 2 b terbukti a − b + c = b

terbukti bahwa pada hubungan

a sin^{2} (\frac{C}{2}) + c sin^{2} (\frac{A}{2}) = \frac{b}{2}

terbukti

a - b + c = b

Pembahasan

Ingat bahwa: Identitas pada trigonometri sin 2 A + cos 2 A = 1 Besar sudut segitiga dengan aturan cosinus cos A = 2 b c b 2 + c 2 − a 2 cos C = 2 ab a 2 + b 2 − c 2 Rumus sudut rangkap pada cosinus cos 2 A 1 + cos 2 A 1 + cos A = = = 2 cos 2 A − 1 2 cos 2 A 2 cos 2 2 1 A Dari soal diketahui a sin 2 ( 2 C ) + c sin 2 ( 2 A ) = 2 b Akan dibuktikan a − b + c = b Jawab: a sin 2 ( 2 C ) + c sin 2 ( 2 A ) a ( 1 − cos 2 2 C ) + c ( 1 − cos 2 2 A ) 2 a ( 1 − cos 2 2 C ) + 2 c ( 1 − cos 2 2 A ) 2 a − 2 a cos 2 2 C + 2 c − 2 c cos 2 2 A 2 a − a ( 2 cos 2 2 C ) + 2 c − c ( cos 2 2 A ) 2 a − a ( 1 + cos C ) + 2 c − c ( 1 + cos A ) 2 a − a − a cos C + 2 c − c − c cos A a − a cos C + c − c cos A a − a ( 2 a b a 2 + b 2 − c 2 ) + c − c ( 2 b c b 2 + c 2 − a 2 ) 2 ab − a 2 − b 2 + c 2 + 2 b c − b 2 − c 2 + a 2 2 ab − 2 b 2 + 2 b c a − b + c = = = = = = = = = = = = 2 b 2 b ( Kalikan kedua ruas dengan 2 ) b b b b b b b ( kalikan kedua ruas dengan 2 b ) 2 b 2 2 b 2 ( bagi kedua ruas dengan 2 b ) b ( terbukti ) Dengan demikian terbukti bahwa pada hubungan a sin 2 ( 2 C ) + c sin 2 ( 2 A ) = 2 b terbukti a − b + c = b

Ingat bahwa:

Identitas pada trigonometri

$sin^{2} A + cos^{2} A = 1$

Besar sudut segitiga dengan aturan cosinus

$cos A = \frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c} cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$

Rumus sudut rangkap pada cosinus

$cos 2 A 1 + cos 2 A 1 + cos A = = = 2 cos^{2} A - 1 2 cos^{2} A 2 cos^{2} \frac{1}{2} A$

Dari soal diketahui

$a sin^{2} (\frac{C}{2}) + c sin^{2} (\frac{A}{2}) = \frac{b}{2}$

Akan dibuktikan $a - b + c = b$

Jawab:

$a sin^{2} (\frac{C}{2}) + c sin^{2} (\frac{A}{2}) a (1 - cos^{2} \frac{C}{2}) + c (1 - cos^{2} \frac{A}{2}) 2 a (1 - cos^{2} \frac{C}{2}) + 2 c (1 - cos^{2} \frac{A}{2}) 2 a - 2 a cos^{2} \frac{C}{2} + 2 c - 2 c cos^{2} \frac{A}{2} 2 a - a (2 cos^{2} \frac{C}{2}) + 2 c - c (cos^{2} \frac{A}{2}) 2 a - a (1 + cos C) + 2 c - c (1 + cos A) 2 a - a - a cos C + 2 c - c - c cos A a - a cos C + c - c cos A a - a (\frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 a b}) + c - c (\frac{b ^{2} + c ^{2} - a ^{2}}{2 b c}) 2 ab - a^{2} - b^{2} + c^{2} + 2 b c - b^{2} - c^{2} + a^{2} 2 ab - 2 b^{2} + 2 b c a - b + c = = = = = = = = = = = = \frac{b}{2} \frac{b}{2} (Kalikan kedua ruas dengan 2) b b b b b b b (kalikan kedua ruas dengan 2 b) 2 b^{2} 2 b^{2} (bagi kedua ruas dengan 2 b) b (terbukti)$