Pertanyaan

Diketahui lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 76 = 0 dan lingkaran x 2 + y 2 − 22 x + 6 y + 94 = 0 . Tentukan luas irisan kedua lingkaran.

Diketahui lingkaran $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 76 = 0$ dan lingkaran $x^{2} + y^{2} - 22 x + 6 y + 94 = 0$ . Tentukan luas irisan kedua lingkaran.

P. Anggrayni

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

Luas irisan dua lingkaran tersebut adalah 9 , 6 .

Luas irisan dua lingkaran tersebut adalah

9, 6

Pembahasan

Ingat! Apabila persamaan lingkaran adalah x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 maka titik pusat lingkaran tersebut adalah P ( − 2 1 A , − 2 1 B ) dan jari- jari lingkaran adalah r = a 2 + b 2 − C Apabila persamaan dua buah lingkaran adalah L 1 : x 2 + y 2 + A x + B y + C = 0 L 2 : x 2 + y 2 + P x + Q y + S = 0 maka persamaan tali busurnya adalah: ( A − P ) x + ( B − Q ) y + ( C − S ) = 0 Apabila diketahui titik P ( X,Y ) dan persamaan garis a x + b y + c = 0 , maka jarak titik terhadap garisadalah: Jaraktitikkegaris = ∣ ∣ a 2 + b 2 a X 1 + b Y 1 + C ∣ ∣ Misalkan adalah sisi miring segitiga siku- siku, dan b adalah sisi tegaknya, maka berlaku rumus pitagoras c 2 = a 2 + b 2 Rumus luas segitiga Rumus Luas juring lingkaran: Rumus luas tembereng Luastembereng=Luasjuring-luassegitiga Diketahui L 1 : x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 76 = 0 maka titik pusatnya adalah P 1 ( − 2 1 A 1 , − 2 1 B 1 ) = = P 1 ( − 2 1 ( 2 ) , − 2 1 ( − 4 ) ) P 1 ( − 1 , 2 ) dan jari jarinya adalah r 1 = = = = = a 2 + b 2 − C ( − 1 ) 2 + 2 2 − 76 1 + 4 − 76 81 9 Diketahui L 2 : x 2 + y 2 − 22 x + 6 y + 94 = 0 maka titik pusatnya adalah P 2 ( − 2 1 A 1 , − 2 1 B 1 ) = = P 2 ( − 2 1 ( − 22 ) , − 2 1 ( 6 ) ) P 2 ( 11 , − 3 ) dan jari jarinya adalah r 2 = = = = = a 2 + b 2 − C 1 1 2 + ( − 3 ) 2 − 94 121 + 9 − 94 36 6 Persamaan tali busur dari lingkaran x 2 + y 2 + 2 x − 4 y − 76 = 0 dan x 2 + y 2 − 22 x + 6 y + 94 = 0 adalah: ( A − P ) x + ( B − Q ) y + ( C − S ) ( 2 − ( − 22 )) x + ( − 4 − 6 ) y + ( − 76 − 94 )) ( 2 + 22 ) x + ( − 4 − 6 ) y + ( − 76 − 94 ) 24 x − 10 y − 170 = = = = 0 0 0 0 Perhatikan gambar berikut. Garis AE adalah jarak dari titik ( − 1 , 2 ) ke garis 24 x − 10 y − 170 = 0 sehingga: Jaraktitikkegaris = = = = = ∣ ∣ a 2 + b 2 a X 1 + b Y 1 + C ∣ ∣ ∣ ∣ 2 4 2 + ( − 10 ) 2 24 ( − 1 ) + ( − 10 ) ( 2 ) − 170 ∣ ∣ ∣ ∣ 576 + 100 − 24 − 20 − 170 ∣ ∣ ∣ ∣ 676 − 214 ∣ ∣ 26 214 Selanjutnya kita akan mencari panjang DE DE = = = = = = = = AD 2 − AE 2 9 2 − ( 26 214 ) 2 81 − 767 45.796 767 54.756 − 45.796 767 8.960 767 256 ⋅ 35 26 16 35 13 8 35 Dengan demikian, panjang tali busur adalah: panjangtalibusur = = = = = CD 2 ⋅ DE 2 ⋅ 5 12 5 24 4 5 4 Untuk mencari luas tembereng CDG harus mencari luas segitiga ACD dan luas juring ACD terlebih dahulu. L △ A C D = = = = = 2 ⋅ 2 1 ⋅ AE ⋅ DE 2 ⋅ 2 1 ⋅ 26 214 ⋅ 13 8 35 26 214 ⋅ 13 8 35 ( 8 , 23 ) ( 3 , 64 ) 29 , 96 Sebelum mencari luas juring ACD harus mencari besar sudut α terlebih dahulu α = = = a cr sin AD DE a cr sin 9 13 8 35 23 , 5 8 ∘ oleh karena itu luas juring ACD adalah dan luas tembereng CDG adalah LuasTemberengCDG = = = luasjuringACD-luassegitigaACD 33.35 − 29 , 96 3.39 Perhatikan gambar berikut. Garis BE adalah jarak dari titik ( 11 , − 3 ) ke garis 24 x − 10 y − 170 = 0 sehingga: Jaraktitikkegaris = = = = = ∣ ∣ a 2 + b 2 a X 1 + b Y 1 + C ∣ ∣ ∣ ∣ 2 4 2 + ( − 10 ) 2 24 ( 11 ) + ( − 10 ) ( − 3 ) − 170 ∣ ∣ ∣ ∣ 576 + 100 264 + 30 − 170 ∣ ∣ ∣ ∣ 676 124 ∣ ∣ 26 124 Untuk mencari luas tembereng CDF harus mencari luas segitiga BCD dan luas juring BCD terlebih dahulu. L △ BC D = = = = = 2 ⋅ 2 1 ⋅ BE ⋅ DE 2 ⋅ 2 1 ⋅ 26 124 ⋅ 13 8 35 26 124 ⋅ 13 8 35 ( 4 , 77 ) ( 3 , 64 ) 17 , 36 Sebelum mencari luas juring BCD harus mencari besar sudut β terlebih dahulu β = = = a cr sin BD DE a cr sin 6 13 8 35 37 , 5 9 ∘ oleh karena itu luas juring BCD adalah dan luas tembereng BCD adalah LuasTembereng BDG = = = luasjuringACD − luassegitigaACD 23 , 62 − 17 , 36 6 , 26 Oleh karena itu luas irisan dua lingkaran adalah Luasirisan = = = LuastemberengCDG-LuastemberengBCD 6 , 26 − 3 , 39 9 , 6 Dengan demikian, Luas irisan dua lingkaran tersebut adalah 9 , 6 .

Ingat!

Apabila persamaan lingkaran adalah $x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0$ maka titik pusat lingkaran tersebut adalah $P (- \frac{1}{2} A, - \frac{1}{2} B)$ dan jari- jari lingkaran adalah $r = a^{2} + b^{2} - C$
Apabila persamaan dua buah lingkaran adalah

$L_{1} : x^{2} + y^{2} + A x + B y + C = 0 L_{2} : x^{2} + y^{2} + P x + Q y + S = 0$

maka persamaan tali busurnya adalah:

$(A - P) x + (B - Q) y + (C - S) = 0$

Apabila diketahui titik $P (X,Y)$ dan persamaan garis $a x + b y + c = 0$ , maka jarak titik terhadap garis adalah:

$Jarak titik ke garis = ∣ ∣ \frac{a X _{1} + b Y _{1} + C}{a ^{2} + b ^{2}} ∣ ∣$

Misalkan $c$ adalah sisi miring segitiga siku- siku, $a$ dan $b$ adalah sisi tegaknya, maka berlaku rumus pitagoras $c^{2} = a^{2} + b^{2}$
Rumus luas segitiga

$\text{L∆=}\frac12\text{·alas·tinggi}$

Rumus Luas juring lingkaran:

$text Luas juring lingkaran end text equals fraction numerator text besar sudut end text over denominator 360 to the power of degree end fraction cross times πr squared$

Rumus luas tembereng

$Luas tembereng=Luas juring- luas segitiga$

Diketahui $L_{1} : x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 76 = 0$ maka titik pusatnya adalah

$P_{1} (- \frac{1}{2} A_{1}, - \frac{1}{2} B_{1}) = = P_{1} (- \frac{1}{2} (2), - \frac{1}{2} (- 4)) P_{1} (- 1, 2)$

dan jari jarinya adalah

$r_{1} = = = = = a^{2} + b^{2} - C (- 1)^{2} + 2^{2} - 76 1 + 4 - 76 819$

Diketahui $L_{2} : x^{2} + y^{2} - 22 x + 6 y + 94 = 0$ maka titik pusatnya adalah

$P_{2} (- \frac{1}{2} A_{1}, - \frac{1}{2} B_{1}) = = P_{2} (- \frac{1}{2} (- 22), - \frac{1}{2} (6)) P_{2} (11, - 3)$

dan jari jarinya adalah

$r_{2} = = = = = a^{2} + b^{2} - C 1 1^{2} + (- 3)^{2} - 94 121 + 9 - 94 366$

Persamaan tali busur dari lingkaran $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y - 76 = 0$ dan $x^{2} + y^{2} - 22 x + 6 y + 94 = 0$ adalah:

$(A - P) x + (B - Q) y + (C - S) (2 - (- 22)) x + (- 4 - 6) y + (- 76 - 94)) (2 + 22) x + (- 4 - 6) y + (- 76 - 94) 24 x - 10 y - 170 = = = = 0000$

Perhatikan gambar berikut.

Garis AE adalah jarak dari titik $(- 1, 2)$ ke garis $24 x - 10 y - 170 = 0$ sehingga:

$Jarak titik ke garis = = = = = ∣ ∣ \frac{a X _{1} + b Y _{1} + C}{a ^{2} + b ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{24 ( - 1 ) + ( - 10 ) ( 2 ) - 170}{2 4 ^{2} + ( - 10 ) ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- 24 - 20 - 170}{576 + 100} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- 214}{676} ∣ ∣ \frac{214}{26}$

Selanjutnya kita akan mencari panjang $DE$

$DE = = = = = = = = AD^{2} - AE^{2} 9^{2} - (\frac{214}{26})^{2} 81 - \frac{45.796}{767} \frac{54.756 - 45.796}{767} \frac{8.960}{767} \frac{256 \cdot 35}{767} \frac{16 35}{26} \frac{8 35}{13}$

Dengan demikian, panjang tali busur adalah:

$panjang tali busur = = = = = CD 2 \cdot DE 2 \cdot \frac{12}{5} \frac{24}{5} 4 \frac{4}{5}$

Untuk mencari luas tembereng $CDG$ harus mencari luas segitiga $ACD$ dan luas juring $ACD$ terlebih dahulu.

$L △ A C D = = = = = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot AE \cdot DE 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{214}{26} \cdot \frac{8 35}{13} \frac{214}{26} \cdot \frac{8 35}{13} (8, 23) (3, 64) 29, 96$

Sebelum mencari luas juring $ACD$ harus mencari besar sudut $α$ terlebih dahulu

$α = = = a cr sin \frac{DE}{AD} a cr sin \frac{\frac{8 35}{13}}{9} 23, 5 8^{\circ}$

oleh karena itu luas juring $ACD$ adalah

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell text Luas juring lingkaran end text end cell equals cell fraction numerator text besar sudut end text over denominator 360 to the power of degree end fraction cross times πr squared end cell row blank equals cell fraction numerator 2 left parenthesis 23 comma 58 degree right parenthesis over denominator 360 degree end fraction times 22 over 7 times 9 squared end cell row blank equals cell 33 comma 35 end cell end table$

dan luas tembereng $CDG$ adalah

$Luas Tembereng CDG = = = luas juring ACD-luas segitiga ACD 33.35 - 29, 96 3.39$

Perhatikan gambar berikut.

Garis $BE$ adalah jarak dari titik $(11, - 3)$ ke garis $24 x - 10 y - 170 = 0$ sehingga:

$Jarak titik ke garis = = = = = ∣ ∣ \frac{a X _{1} + b Y _{1} + C}{a ^{2} + b ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{24 ( 11 ) + ( - 10 ) ( - 3 ) - 170}{2 4 ^{2} + ( - 10 ) ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{264 + 30 - 170}{576 + 100} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{124}{676} ∣ ∣ \frac{124}{26}$

Untuk mencari luas tembereng $CDF$ harus mencari luas segitiga $BCD$ dan luas juring $BCD$ terlebih dahulu.

$L △ BC D = = = = = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot BE \cdot DE 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{124}{26} \cdot \frac{8 35}{13} \frac{124}{26} \cdot \frac{8 35}{13} (4, 77) (3, 64) 17, 36$

Sebelum mencari luas juring $BCD$ harus mencari besar sudut $β$ terlebih dahulu

$β = = = a cr sin \frac{DE}{BD} a cr sin \frac{\frac{8 35}{13}}{6} 37, 5 9^{\circ}$

oleh karena itu luas juring $BCD$ adalah

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell text Luas juring lingkaran end text end cell equals cell fraction numerator text besar sudut end text over denominator 360 to the power of degree end fraction cross times πr squared end cell row blank equals cell fraction numerator 2 left parenthesis 37 comma 59 degree right parenthesis over denominator 360 degree end fraction times 22 over 7 times 6 squared end cell row blank equals cell 23 comma 62 end cell end table$

dan luas tembereng $BCD$ adalah

$Luas Tembereng BDG = = = luas juring ACD - luas segitiga ACD 23, 62 - 17, 36 6, 26$

Oleh karena itu luas irisan dua lingkaran adalah

$Luas irisan = = = Luas tembereng CDG- Luas tembereng BCD 6, 26 - 3, 39 9, 6$

Dengan demikian, Luas irisan dua lingkaran tersebut adalah $9, 6$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (3 rating)

marsya

Pembahasannya lengkap banget! Makasih ❤️

Hawa Dila Ananda XI MIPA 4

Pembahasan lengkap banget Bantu banget Makasih ❤️

Pertanyaan serupa

Diketahuilingkaran-lingkaran berikut: x 2 + y 2 + 4 x − 2 y − 4 = 0 , pusat A x 2 + y 2 + 6 x + 2 y − 6 = 0 , pusat B. Jarak A ke tali busur persekutuan kedua lingkaran adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Gambar berikut menunjukkan sebuah setengah lingkaran ABCD yang berpusat di D ( 6 , 0 ) . Titik P bergerak sedemikian sehingga PB = BC = BA . Tempat kedudukan titik P ialah lingkaran yang berpusat di B...

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahuilingkaran-lingkaran berikut: x 2 + y 2 + 4 x − 2 y − 4 = 0 , pusat A x 2 + y 2 + 6 x + 2 y − 6 = 0 , pusat B. Jarak A ke tali busur persekutuan kedua lingkaran adalah ...

5.0

Jawaban terverifikasi

5.0

Jawaban terverifikasi

Panjang tali busur persekutuan dari dua lingkaran ( x + 2 ) 2 + ( y − 2 ) 2 = 9 dan ( x + 5 ) 2 + ( y + 2 ) 2 = 16 adalah . . .

4.8

Jawaban terverifikasi