Nilai yang membuat garis a x + y = 0 menyinggung lingkaran berpusat di A ( − 1 , 3 ) dan berjari-jari 1 adalah ....

Pembahasan

Misalkan diketahui persamaan garis lurus g dan lingkaran L . Kita dapat mensubstitusikan persamaan garis g ke dalam persamaan lingkaran L sehingga diperoleh sebuah bentuk persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0 , dengan a  = 0 . Berdasarkan tinjauan nilai diskriminan persamaan kuadrat D = b 2 − 4 a c , dapat ditentukan posisi garis g terhadap lingkaran L . Jika D = 0 , maka garis g menyinggung lingkaran L . Persamaan lingkaran dengan pusat ( a , b ) danjari-jari r dapat ditentukan sebagai berikut. ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Penyelesaian soal di atas adalah sebagai berikut. Persamaan lingkaran yang berpusat di A ( − 1 , 3 ) dan berjari-jari 1 , yaitu ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( x + 1 ) 2 + ( y − 3 ) 2 ​ = = ​ r 2 1 ​ Jika garis a x + y = 0 menyinggung lingkaran ( x + 1 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = 1 , maka D = 0 . Substitusikan persamaan garis y = − a x ke dalam persamaan lingkaran ( x + 1 ) 2 + ( y − 3 ) 2 = 1 diperoleh hasil berikut. ( x + 1 ) 2 + ( y − 3 ) 2 ( x + 1 ) 2 + ( − a x − 3 ) 2 x 2 + 2 x + 1 + a 2 x 2 + 6 a x + 9 ( a 2 + 1 ) x 2 + ( 6 a + 2 ) x + 9 ​ = = = = ​ 1 1 1 0 ​ Karena garis tersebut menyinggung lingkaransehingga D = 0 . b 2 − 4 a c ( 6 a + 2 ) 2 − 4 ( a 2 + 1 ) ⋅ 9 36 a 2 + 24 a + 4 − 36 a 2 − 36 24 a − 32 a a ​ = = = = = = ​ 0 0 0 0 24 32 ​ 3 4 ​ ​ Diperoleh nilai a = 3 4 ​ Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah D.