Buktikan bahwa garis-garis berikut menyinggung lingkaran yang diketahui: a. Lingkaran L ≡ x 2 + y 2 − 4 x + 2 y + 1 = 0 dan garis k ≡ 3 x + 4 y − 12 = 0 .

Pembahasan

Misalkan diketahui persamaan garis lurus g dan lingkaran L . Kita dapat mensubstitusikan persamaan garis g ke dalam persamaan lingkaran L sehingga diperoleh sebuah bentuk persamaan kuadrat a x 2 + b x + c = 0 , dengan a  = 0 . Berdasarkan tinjauan nilai diskriminan persamaan kuadrat D = b 2 − 4 a c , dapat ditentukan posisi garis g terhadap lingkaran L .Jika D = 0 , maka garis g menyinggung lingkaran L . Penyelesaian soal di atas adalah sebagai berikut. Substitusikan persamaan garis 3 x + 4 y − 12 = 0 ke dalam persamaan lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 2 y + 1 = 0 sebagaiberikut. 3 x + 4 y − 12 4 y y ​ = = = ​ 0 − 3 x + 12 4 − 3 x + 12 ​ ​ Diperoleh x 2 + y 2 − 4 x + 2 y + 1 x 2 + ( 4 − 3 x + 12 ​ ) 2 − 4 x + 2 ( 4 − 3 x + 12 ​ ) + 1 x 2 + 16 9 x 2 − 72 x + 144 ​ − 4 x + 2 − 3 x + 12 ​ + 1 16 x 2 + 9 x 2 − 72 x + 144 − 64 x − 24 x + 96 + 16 25 x 2 − 160 x + 256 ​ = = = = = ​ 0 0 0 0 0 ​ Nilai diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut dapat ditentukan sebagai berikut. D ​ = = = = ​ b 2 − 4 a c ( − 160 ) 2 − 4 ⋅ 25 ⋅ 256 25.600 − 25.600 0 ​ Karena nilai D = 0 sehinggagaris tersebutmenyinggung lingkaran. Dengan demikian, terbukti bahwagaris 3 x + 4 y − 12 = 0 menyinggung lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 2 y + 1 = 0 .