Nilai minimum fungsi objektif pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan dan adalah

Pertanyaan

Nilai minimum fungsi objektif $f open parentheses x comma y close parentheses equals 2 x plus 5 y space$ pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan $x plus y less or equal than 12 comma$ $x plus 2 y less or equal than 16 comma$ $x greater or equal than 0 comma$ dan $y greater or equal than 0$ adalah $....$

$52 space$
$40 space$
$36 space$
$12 space$
$24 space$

Pembahasan Soal:

Diketahui nilai minimum fungsi objektif $f open parentheses x comma y close parentheses equals 2 x plus 5 y space$ pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan $x plus y less or equal than 12 comma$ $x plus 2 y less or equal than 16 comma$ $x greater or equal than 0 comma$ dan $y greater or equal than 0$ .

Titik potong garis $x plus y less or equal than 12$ terhadap $text sumbu end text minus x space text dan sumbu end text minus y$ yaitu

Saat $x = 0$ maka

$0 + y y = = 1212$

Saat $y = 0$ maka

$x + 0 x = = 1212$

Diperoleh titik $(0, 12) dan (12, 0)$ .

Titik potong garis $x plus 2 y less or equal than 16$ terhadap $text sumbu end text minus x space text dan sumbu end text minus y$ yaitu

Saat $x = 0$ maka

$0 + 2 y y = = 16 \frac{16}{2} = 8$

Saat $y = 0$ maka

$x + 2 (0) x = = 1616$

Diperoleh titik $(0, 8) dan (16, 0)$ .

Garis $x plus y less or equal than 12$ maka $x plus y equals 12$ sehingga $x equals 12 minus y.$ Titik potong kedua garis yaitu

$x + 2 y 12 + y y y = = = = 1616 16 - 12 4$

$x equals 12 minus y$ dan $table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell 4 comma end cell end table$ maka $x equals 12 minus y equals 12 minus 4 equals 8.$

Diperoleh titik potong $(8, 4)$ .

Maka grafik penyelesaian dari pertidaksamaannya yaitu

Nilai minimum fungsi objektif $f open parentheses x comma y close parentheses equals 2 x plus 5 y space$ dari himpunan penyelesaiannya dapat ditentukan dengan metode titik sudut dimana titik-titik sudutnya yaitu $(0, 0), (0, 8), (8, 4), (12, 0)$ sehingga diperoleh

$f (x, y) f (0, 0) f (0, 8) f (8, 4) f (12, 0) = = = = = 2 x + 5 y 2 (0) + 5 (0) = 0 2 (0) + 5 (8) = 40 2 (8) + 5 (4) = 16 + 20 = 36 2 (12) + 5 (0) = 24$

Oleh karena itu, nilai minimumnya adalah 0 dan tidak ada jawaban yang tepat pada opsi pilihan.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

A. Acfreelance

Terakhir diupdate 13 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Nilai maksimum dari fungsi objektif pada himpunan daerah penyelesaian yang dibatasi sistem pertidaksamaan: ; ; , adalah ...

Pembahasan Soal:

Ingat materi program linear untuk menyelesaikan soal.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 x plus 3 y end cell less or equal than cell 30 horizontal ellipsis open parentheses 1 close parentheses end cell row cell x minus 3 y end cell greater or equal than cell negative 12 horizontal ellipsis left parenthesis 2 right parenthesis end cell end table$

Membuat sketsa grafik dari persamaan (1) dan (2) dengan mencari titik potong-titik potongnya dengan mengubah pertidaksamaan yang ada menjadi sebuah persamaan.

Persamaan (1)

$5 x plus 3 y equals 30$ titik potong sumbu $X$ , $y equals 0$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 x plus 3 y end cell equals 30 row cell 5 x plus 3 left parenthesis 0 right parenthesis end cell equals 30 row cell 5 x end cell equals 30 row x equals cell 30 over 5 end cell row x equals 6 end table$

.Didapat titik potong (6,0)

$5 x plus 3 y equals 30$ titik potong sumbu $Y$ , $x equals 0$ .

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 x plus 3 y end cell equals 30 row cell 5 left parenthesis 0 right parenthesis plus 3 y end cell equals 30 row cell 3 y end cell equals 30 row y equals cell 30 over 3 end cell row y equals 10 end table$

Didapat titik potong (0,10)

Persamaan (2)

$x minus 3 y equals negative 12$ titik potong sumbu $X$ , $y equals 0$ .

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x minus 3 y end cell equals cell negative 12 end cell row cell x minus 3 left parenthesis 0 right parenthesis end cell equals cell negative 12 end cell row x equals cell negative 12 end cell end table$

Didapat titik potong (-12,0)

$x minus 3 y equals negative 12$ titik potong sumbu $Y$ , $x equals 0$ .

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x minus 3 y end cell equals cell negative 12 end cell row cell left parenthesis 0 right parenthesis minus 3 y end cell equals cell negative 12 end cell row cell negative 3 y end cell equals cell negative 12 end cell row y equals cell fraction numerator negative 12 over denominator negative 3 end fraction end cell row y equals 4 end table$

Didapat titik potong (0,4)

Persamaan (1) dan (2)

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x minus 3 y end cell equals cell negative 12 end cell row x equals cell 3 y minus 12 horizontal ellipsis left parenthesis 3 right parenthesis end cell end table$

Substitusi persamaan (3) ke (1)

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 5 x plus 3 y end cell equals 30 row cell 5 left parenthesis 3 y minus 12 right parenthesis plus 3 y end cell equals 30 row cell 15 y minus 60 plus 3 y end cell equals 30 row cell 15 y plus 3 y end cell equals cell 30 plus 60 end cell row cell 18 y end cell equals 90 row y equals cell 90 over 18 end cell row y equals cell 5 horizontal ellipsis open parentheses 4 close parentheses end cell end table$

Substitusi (4) ke (3)

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell 3 y minus 12 end cell row blank equals cell 3 left parenthesis 5 right parenthesis minus 12 end cell row blank equals cell 15 minus 12 end cell row blank equals 3 end table$

Didapat titik potong (3,5)

Berikut lukisan atau sketsa kedua garis dan titik potongnya beserta titik-titik kritisnya.

Selanjutnya uji titik untuk mendapatkan fungsi objektif maksimumnya berdasarkan titik yang didapat pada gambar.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses x comma y close parentheses end cell equals cell 4 x plus 5 y end cell row cell f open parentheses 0 , 10 close parentheses end cell equals cell 4 open parentheses 0 close parentheses plus 5 open parentheses 10 close parentheses equals 0 plus 50 equals 50 end cell row cell f open parentheses 0 , 4 close parentheses end cell equals cell 4 open parentheses 0 close parentheses plus 5 open parentheses 4 close parentheses equals 0 plus 20 equals 20 end cell row cell f open parentheses 3 , 5 close parentheses end cell equals cell 4 open parentheses 3 close parentheses plus 5 open parentheses 5 close parentheses equals 12 plus 25 equals 37 end cell end table$

Dari perhitungan di atas didapatkan bahwa fungsi objektif bernilai maksimum pada titik (0,10) dengan hasil 50.

Oleh karena itu, jawaban yang benar tidak ada.

Roboguru

Nilai maksimum dari fungsi objektif pada himpunan daerah penyelesaian yang dibatasi sistem pertidaksamaan: adalah

Pembahasan Soal:

Menentukan titik pojok menggunakan grafik sebagai berikut:

diperoleh titik pojoknya adalah $A open parentheses 0 comma space 0 close parentheses comma space B open parentheses 0 comma space 4 close parentheses comma space C open parentheses 3 comma space 5 close parentheses comma D open parentheses 6 comma space 0 close parentheses$ .

Sedemikian sehingga: dipeorleh nilai dari fungsi objektif:

Titik Pojok	Nilai $f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 4 x plus 5 y$
$A left parenthesis 0 comma space 0 right parenthesis$	$f left parenthesis 0 comma 0 right parenthesis equals 4 left parenthesis 0 right parenthesis plus 5 left parenthesis 0 right parenthesis equals 0$
$B left parenthesis 0 comma 4 right parenthesis$	$f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 4 left parenthesis 0 right parenthesis plus 5 left parenthesis 4 right parenthesis equals 20$
$C left parenthesis 3 comma 5 right parenthesis$	$f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 4 left parenthesis 3 right parenthesis plus 5 left parenthesis 5 right parenthesis equals 12 plus 25 equals 37$
$D left parenthesis 6 comma 0 right parenthesis$	$f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 4 left parenthesis 6 right parenthesis plus 5 left parenthesis 0 right parenthesis equals 24$

Diperoleh nilai maksimumnya adalah 37.

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.

Roboguru

Nilai maksimum yang memenuhi syarat: dan adalah ...

Pembahasan Soal:

Diketahui:

$x plus 2 y less or equal than 10 x plus y less or equal than 6 x greater or equal than 0 y greater or equal than 0$

Titik potong sumbu dari dua pertidaksamaan $x plus 2 y less or equal than 10 space dan space x plus y less or equal than 6$ .

$x plus 2 y less or equal than 10$

$x equals 0 rightwards arrow 0 plus 2 y equals 10 comma space y equals 5 rightwards arrow open parentheses 0 comma 5 close parentheses y equals 0 rightwards arrow x plus 2 open parentheses 0 close parentheses equals 10 comma space x equals 10 rightwards arrow open parentheses 10 comma 0 close parentheses$

$x plus y less or equal than 6$

$x equals 0 rightwards arrow 0 plus y equals 6 comma space y equals 6 rightwards arrow open parentheses 0 comma 6 close parentheses y equals 0 rightwards arrow x plus 0 equals 6 comma space x equals 6 rightwards arrow open parentheses 6 comma 0 close parentheses$

Titik potong garis $x plus 2 y equals 10 space dan space x plus y equals 6$ .

Eliminasi persamaan $x plus 2 y equals 10 space dan space x plus y equals 6$ .

$x plus 2 y equals 10 bottom enclose space space x plus y equals 6 space space end enclose space minus space space space space space space space y equals 4$

Substitusi nilai $y equals 4$ ke persamaan $x plus y equals 6$ .

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus y end cell equals 6 row cell x plus 4 end cell equals 6 row x equals cell 6 minus 4 end cell row x equals 2 end table$

Maka titik potong garis $x plus 2 y equals 10 space dan space x plus y equals 6$ adalah $open parentheses 2 comma 4 close parentheses$ .

Titik pojok dari pertidaksamaan $x plus 2 y less or equal than 10 space dan space x plus y less or equal than 6$ adalah $open parentheses 6 comma 0 close parentheses comma space open parentheses 0 comma 5 close parentheses space dan space open parentheses 2 comma 4 close parentheses$ .

Nilai maksimum $z equals 3 x plus 5 y$ :

$open parentheses 6 comma 0 close parentheses equals 3 open parentheses 6 close parentheses plus 5 open parentheses 0 close parentheses equals 18 open parentheses 0 comma 5 close parentheses equals 3 open parentheses 0 close parentheses plus 5 open parentheses 5 close parentheses equals 25 open parentheses 2 comma 4 close parentheses equals 3 open parentheses 2 close parentheses plus 5 open parentheses 4 close parentheses equals 6 plus 20 equals 26$

Sehingga, nilai maksimum dari $z equals 3 x plus 5 y$ adalah $26$ .

Jadi, jawaban yang tepat adalah C.

Roboguru

Sebuah industri rumah tangga dalam sehari memproduksi dua macam kue, yaitu kue jenis I dan kue jenis II. Kue jenis I terbuat dari tepung dan mentega. Kue jenis II terbuat dari tepung dan mentega. ...

Pembahasan Soal:

Langkah-langkah optimasi dengan program linear, yaitu:

1. Buat sistem pertidaksamaan linear dari masalah yang ada.

2. Selesaikan sistem pertidaksamaan linear tersebut.

3. Lakukan uji titik yang sesuai di penyelesaian sistem pertidaksamaan yang dihasilkan.

Model matematika dari permasalahan di atas adalah sebagai berikut.

Misal $x$ banyak kue jenis I dan $y$ banyak kue jenis II.

Dapat ditentukan pertidaksamaan atau fungsi kendala berikut.

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 comma 5 x plus 2 comma 5 y end cell less or equal than 150 row cell x plus y end cell less or equal than 60 end table$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 comma 5 x plus 5 y end cell less or equal than 250 row cell x plus 2 y end cell less or equal than 100 end table$

$x greater or equal than 0 comma space y greater or equal than 0$

Asumsi soal: Laba untuk kue jenis II adalah $text Rp6.000,00 end text$ /buah.

Fungsi tujuan: $f open parentheses x comma space y close parentheses equals 2.000 x plus 6.000 y$

Grafik dari sistem pertidaksamaan tersebut adalah sebagai berikut.

Grafik:

Titik potong kedua garis tersebut dapat ditentukan sebagai berikut.

$table row cell x plus y end cell equals cell 60 space space end cell row cell x plus 2 y end cell equals cell 100 space minus end cell row cell negative y end cell equals cell negative 40 end cell row y equals 40 end table$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus y end cell equals 60 row cell x plus 40 end cell equals 60 row x equals 20 end table$

Diperoleh titik potong $open parentheses 20 comma space 40 close parentheses$

Penentuan nilai maksimum dengan titik pojok adalah sebagai berikut.

Laba maksimum diperoleh apabila memproduksi 50 kue jenis II saja.

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah D.

Roboguru

Nilai maksimum dari fungsi objektif pada himpunan daerah penyelesaian yang dibatasi sistem pertidaksamaan: adalah

Pembahasan Soal:

Menentukan daerah penyelesaian dan titik pojok.

diperoleh:

$A left parenthesis 0 comma 0 right parenthesis space B left parenthesis 0 comma 4 right parenthesis D left parenthesis 6 comma 0 right parenthesis$

Menentukan titik $C$ :

Eliminasi garis yang berpotongan:

$stack attributes charalign center stackalign right end attributes row x minus 3 y equals negative 12 none end row row 5 x plus 3 y equals 30 none minus end row horizontal line row 6 x equals 18 none none end row row x equals 3 none none none end row end stack space$

Subtitusi $x equals 3$ ke persamaan $x minus 3 y equals negative 12$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x minus 3 y end cell equals cell negative 12 end cell row cell 3 minus 3 y end cell equals cell negative 12 end cell row cell negative 3 y end cell equals cell negative 15 end cell row y equals 5 end table$

diperoleh titik $D left parenthesis 3 comma 5 right parenthesis$

Menentukan nilai maksimum dari fungsi objektif $f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 4 x plus 5 y$

Titik Pojok	$f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 4 x plus 5 y$
$A left parenthesis 0 comma 0 right parenthesis$	$f left parenthesis 0 comma 0 right parenthesis equals 4 left parenthesis 0 right parenthesis plus 5 left parenthesis 0 right parenthesis equals 0$
$B left parenthesis 0 comma 4 right parenthesis$	$f left parenthesis 0 comma 4 right parenthesis equals 4 left parenthesis 0 right parenthesis plus 5 left parenthesis 4 right parenthesis equals 20$
$C left parenthesis 6 comma 0 right parenthesis$	$f left parenthesis 6 comma 0 right parenthesis equals 4 left parenthesis 6 right parenthesis plus 5 left parenthesis 0 right parenthesis equals 24$
$D left parenthesis 3 comma 5 right parenthesis$	$f left parenthesis 3 comma 5 right parenthesis equals 4 left parenthesis 3 right parenthesis plus 5 left parenthesis 5 right parenthesis equals 12 plus 25 equals 37$