Nilai maksimum dari , yang memenuhi system pertidaksamaan adalah ….

Pertanyaan

Nilai maksimum dari $2 x plus 3 y comma space x comma y € C$ , yang memenuhi system pertidaksamaan $x plus y less or equal than 3 semicolon space x plus 2 y less or equal than 4 semicolon space x greater or equal than 0 semicolon space y greater or equal than 0$ adalah ….

Pembahasan Soal:

Pertama tentukan daerah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan $x plus y less or equal than 3 semicolon space x plus 2 y less or equal than 4 semicolon space x greater or equal than 0 semicolon space y greater or equal than 0$ dengan mencari titik potong setiap garis dengan sumbu-sumbu koordinat, yaitu:

Titik potong garis $x + y = 3$ ,

Saat $x = 0$ ,

$0 + y y = = 33$

Saat $y = 0$ ,

$x + 0 x = = 33$

Diperoleh titik $(3, 0) dan (0, 3)$ .

Titik potong garis $x + 2 y = 4$ ,

Saat $x = 0$ ,

$0 + 2 y y = = 4 \frac{4}{2} = 2$

Saat $y = 0$ ,

$x + 2 (0) x = = 44$

Diperoleh titik $(4, 0) dan (0, 2)$ .

Titik potong antara garis adalah

$x + y = 3 \underline{x + 2 y = 4_{-}} - y = - 1 y = 1$

Substitusikan $y = 1$ ke $x + y = 3$ ,

$x + 1 x = = 32$

Sehingga diperoleh titik potong $(2, 1)$ .

Gambar daerah hasil penyelesaiannya adalah

Dengan uji titik pojok DHP, nilai maksimum $2 x plus 3 y comma space x comma y € C$ adalah

$(0, 0) \to 2 (0) + 3 (0) = 0 (0, 2) \to 2 (0) + 3 (2) = 6 (3, 0) \to 2 (3) + 3 (0) = 6 (2, 1) \to 2 (2) + 3 (1) = 7$

Jadi, nilai maksimum $2 x plus 3 y comma space x comma y € C$ yang memenuhi sistem pertidaksamaan $x plus y less or equal than 3 semicolon space x plus 2 y less or equal than 4 semicolon space x greater or equal than 0 semicolon space y greater or equal than 0$ adalah 7.

Pembahasan terverifikasi oleh Roboguru

Dijawab oleh:

A. Acfreelance

Terakhir diupdate 13 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan yang serupa

Nilai minimum fungsi objektif dari daerah yang diarsir pada gambar adalah ....

Pembahasan Soal:

Menentukan titik B.
Eliminasi dan subtitusi $begin mathsize 14px style 2 x plus y equals 6 space dan space x plus y equals 5 end style$

$begin mathsize 14px style table row cell 2 x plus y equals 6 end cell row cell x plus y equals 5 end cell row cell x equals 1 end cell end table minus end style$

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 open parentheses 1 close parentheses plus y end cell equals cell 6 space open parentheses subt. space x equals 1 close parentheses end cell row y equals 4 row blank blank blank end table end style$

Sehingga titik $begin mathsize 14px style straight B open parentheses 1 comma 4 close parentheses end style$ .

Dari, grafik diketahui titik $begin mathsize 14px style straight C open parentheses 3 comma 0 close parentheses end style$ dan titik $begin mathsize 14px style straight A open parentheses 0 comma 5 close parentheses end style$ .

Subtitusikan titik A, B, C ke fungsi objektif.

$begin mathsize 14px style f left parenthesis x comma y right parenthesis equals 3 x plus 2 y straight A rightwards arrow f open parentheses 0 comma 5 close parentheses equals 3 times 0 plus 2 times 5 equals 10 straight B rightwards arrow f left parenthesis 1 comma 4 right parenthesis equals 3 times 1 plus 2 times 4 equals 11 straight C rightwards arrow f left parenthesis 3 comma 0 right parenthesis equals 3 times 3 plus 2 times 0 equals 9 end style$

Maka, nilai minimumnya adalah $begin mathsize 14px style 9 end style$ .

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah C.

Roboguru

Agar dapat berproduksi dengan optimal, sebatang pohon jeruk harus diberi pupuk yang mengandung minimal 12 unit zat N dan 12 unit zat P. Di pasaran tersedia dua jenis pupuk untuk pohon jeruk yaitu pupu...

Pembahasan Soal:

Misalkan:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row x equals cell pupuk space straight A end cell row y equals cell pupuk space straight B end cell end table end style$

Dari soal tersebut dapat disimpulkan:

$begin mathsize 14px style table row blank cell Zat space straight N end cell cell Zat space straight P end cell blank row cell Pupuk space straight A end cell 1 3 cell 2.500 end cell row cell Pupuk space straight B end cell 3 1 cell 3.000 end cell row cell total space pupuk end cell 12 12 blank end table end style$

Sehingga dapat model matematika dari soal tersebut adalah

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus 3 y end cell greater or equal than 12 row cell 3 x plus y end cell greater or equal than 12 end table end style$

Tentukan titik potong sumbu X dan sumbu Y dari kedua pertidaksamaan tersebut:

$begin mathsize 14px style table row cell x plus 3 y greater or equal than 12 end cell blank blank row cell x equals 0 end cell rightwards arrow cell y equals 4 end cell row cell y equals 0 end cell rightwards arrow cell x equals 12 end cell row cell 3 x plus y greater or equal than 12 end cell blank blank row cell x equals 0 end cell rightwards arrow cell y equals 12 end cell row cell y equals 0 end cell rightwards arrow cell x equals 4 end cell end table end style$

Sehingga diperoleh titik potong sumbu X dan sumbu Y $begin mathsize 14px style open parentheses 0 comma space 4 close parentheses end style$ , $begin mathsize 14px style open parentheses 12 comma space 0 close parentheses end style$ , $undefined$ , $begin mathsize 14px style open parentheses 4 comma space 0 close parentheses end style$ .

Kemudian gunakan metode eliminasi untuk menentukan titik potong dari kedua garis:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row blank blank cell right enclose table row cell x plus 3 y equals 12 end cell row cell 3 x plus y equals 12 end cell end table end enclose table row cell cross times 3 end cell row cell cross times 1 end cell end table end cell row blank blank cell table row blank row cell 3 x plus 9 y equals 36 end cell row cell 3 x plus y equals 12 end cell row cell 8 y equals 24 end cell row cell y equals 3 end cell end table space minus end cell end table end style$

kemudian gunakan metode substitusi sehingga diperoleh:

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus 3 y end cell equals 12 row cell x plus 3 open parentheses 3 close parentheses end cell equals 12 row cell x plus 9 end cell equals 12 row x equals 3 end table end style$

Sehingga diperoleh titik potong $begin mathsize 14px style open parentheses 3 comma space 3 close parentheses end style$ .

Selanjutkan gambarlah grafik dari pertidaksamaan tersebut, oleh karena tanda dari pertidaksamaan adalah $begin mathsize 14px style greater or equal than end style$ maka arsiran ke atas atau menjauhi nol seperti gambar berikut:

Dari gambar tersebut diperoleh tiga titik minimum yaitu $begin mathsize 14px style open parentheses 12 comma space 0 close parentheses end style$ , $undefined$ dan $begin mathsize 14px style open parentheses 3 comma space 3 close parentheses end style$ , substitusikan ketiga titik tersebut ke dalam fungsi objektif $begin mathsize 14px style f open parentheses x close parentheses equals 2.500 x plus 3.000 y end style$ :

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell f open parentheses x comma space y close parentheses end cell equals cell 2.500 x plus 3.000 y end cell row cell f open parentheses 12 comma space 0 close parentheses end cell equals cell 2.500 open parentheses 12 close parentheses plus 3.000 open parentheses 0 close parentheses end cell row blank equals cell 30.000 end cell row cell f open parentheses 0 comma space 12 close parentheses end cell equals cell 2.500 open parentheses 0 close parentheses plus 3.000 open parentheses 12 close parentheses end cell row blank equals cell 36.000 end cell row cell f open parentheses 3 comma space 3 close parentheses end cell equals cell 2.500 open parentheses 3 close parentheses plus 3.000 open parentheses 3 close parentheses end cell row blank equals cell 16.500 end cell end table end style$

Jadi biaya minimum yang harus dikeluarkan adalah Rp16.500 dengan 3 pupuk A dan 3 pupuk B untuk 1 pohon jeruk. Oleh karena petani memiliki 1000 pohon maka biaya minimunya adalah

$begin mathsize 14px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Biaya space 1000 space pohon end cell equals cell 1000 cross times 16.500 end cell row blank equals cell Rp 16.500.000 end cell end table end style$

Oleh karena itu jawaban yang benar adalah E.

Roboguru

Diketahui sistem pertidaksamaan . Nilai maksimum untuk fungsi objektif dari sistem pertidaksamaan tersebut adalah ...

Pembahasan Soal:

Untuk menjawab soal di atas, langkah awal yaitu membuat grafik untuk daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan $3 x plus y less or equal than 72 semicolon space x plus y less or equal than 48 semicolon space x greater or equal than 0 semicolon space dan space y greater or equal than 0$ .

titik potong garis $3 x plus y equals 72$ dengan sumbu koordinat adalah $open parentheses 0 comma 72 close parentheses space dan space open parentheses 24 comma 0 close parentheses$ . Substitusikan titik uji $straight O open parentheses 0 comma 0 close parentheses$ pada $3 x plus y less or equal than 72$ . Diperoleh $0 plus 0 equals 0 less or equal than 72$ (benar). Sehingga daerah yang memuat titik $straight O open parentheses 0 comma 0 close parentheses$ merupakan himpunan penyelesaian (daerah yang diraster).
titik potong garis $x plus y equals 48$ dengan sumbu koordinat adalah $open parentheses 0 comma 48 close parentheses space dan space open parentheses 48 comma 0 close parentheses$ . Substitusikan titik uji $straight O open parentheses 0 comma 0 close parentheses$ pada $x plus y less or equal than 48$ . Diperoleh $0 plus 0 equals 0 less or equal than 48$ (benar). Sehingga daerah yang memuat titik $straight O open parentheses 0 comma 0 close parentheses$ merupakan himpunan penyelesaian (daerah yang diraster).
Daerah penyelesaian $x greater or equal than 0$ terletak di sebelah kanan sumbu Y (daeah yang diraster di sebelah kanan sumbu Y).
Daerah penyelesaian $y greater or equal than 0$ terletak di atas sumbu X (daerah yang diraster di sebelah atas sumbu X).

Sehingga, daerah yang diraster pada gambar di bawah ini merupakan himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan $3 x plus y less or equal than 72 semicolon space x plus y less or equal than 48 semicolon space x greater or equal than 0 semicolon space dan space y greater or equal than 0$ adalah

Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan tersebut berupa segi empat dengan titik pojok $straight O comma space straight A comma space straight B comma space dan space straight C$ . Koordinat titik $straight O open parentheses 0 comma 0 close parentheses comma space straight A open parentheses 24 comma 0 close parentheses space dan space straight C open parentheses 0 comma 48 close parentheses$ serta titik $straight B open parentheses 12 comma 36 close parentheses$ merupakan perpotongan dua garis yang dapat dicari dengan cara eliminasi dan substitusi dari persamaan $3 x plus y equals 72$ dan $x plus y equals 48$ .

$table attributes rowalign baseline baseline baseline baseline end attributes row cell 3 x plus end cell cell y equals end cell 72 row cell space space x plus end cell cell y equals end cell cell 48 space space minus end cell row cell 2 x end cell cell space space space space equals end cell 24 row x equals cell 24 over 2 end cell row x cell space space space space equals end cell 12 end table$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus y end cell equals 48 row cell 12 plus y end cell equals 48 row y equals cell 48 minus 12 end cell row y equals 36 row blank blank blank end table$

Uji titik-titik pojoknya seperti ditunjukkan pada tabel berikut.

Dengan demikian, nilai maksimum untuk fungsi objektif $f open parentheses x comma y close parentheses equals 3 x plus 2 y$ dari sistem pertidaksamaan tersebut adalah $108$ .

Jadi, pilihan jawaban yang tepat adalah C.

Roboguru

Nilai minimum dari yang memenuhi adalah ...

Pembahasan Soal:

Perhatikan bahwa

$2 y minus x less or equal than y plus x less or equal than 3 y left right double arrow 2 y minus x less or equal than y plus x space space dan space straight y plus straight x less or equal than 3 straight y space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space space left right double arrow space space space space space space space y less or equal than 2 x space space space space space space space space space space space space space space space space space x less or equal than 2 y$

Selanjutnya

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell 2 y plus x minus 20 end cell less or equal than cell 0 space left right double arrow x plus 2 y less or equal than 20 end cell row blank blank blank row cell 9 minus y minus x end cell less or equal than cell 0 space left right double arrow space x plus y greater or equal than 9 space end cell end table$

Menentukan titik potong garis dengan sumbu koordinat

Uji titik $open parentheses 0 comma space 0 close parentheses$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus 2 y end cell less or equal than 20 row cell open parentheses 0 close parentheses plus 2 open parentheses 0 close parentheses end cell less or equal than 20 row 0 less or equal than 20 row blank blank cell memenuhi space end cell row blank blank blank row cell straight x plus straight y end cell greater or equal than 9 row cell open parentheses 0 close parentheses plus open parentheses 0 close parentheses end cell greater or equal than 9 row 0 greater or equal than 9 row blank blank cell tidak space memenuhi end cell end table$

Grafik

Titik potong garis

titik A, perpotongan $y equals 2 x space dan space x plus y equals 9$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus y end cell equals 9 row cell x plus 2 x end cell equals 9 row cell 3 x end cell equals 9 row x equals 3 row blank blank blank row y equals cell 2 x end cell row blank equals cell 2 open parentheses 3 close parentheses end cell row blank equals 6 end table$

Jadi $A open parentheses 3 comma space 6 close parentheses$ .

Titik B, perpotongan $x equals 2 y space dan space x plus y equals 9$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus y end cell equals 9 row cell 2 y plus y end cell equals 9 row cell 3 y end cell equals 9 row y equals 3 row blank blank blank row x equals cell 2 y end cell row blank equals cell 2 open parentheses 3 close parentheses end cell row blank equals 6 end table$

Jadi, $B open parentheses 6 comma space 3 close parentheses$ .

Titik C, perpotongan $x equals 2 y space dan space x plus 2 y equals 20$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus 2 y end cell equals 20 row cell 2 y plus 2 y end cell equals 20 row cell 4 y end cell equals 20 row y equals 5 row blank blank blank row x equals cell 2 y end cell row blank equals cell 2 open parentheses 5 close parentheses end cell row blank equals 10 end table$

Jadi, $C open parentheses 10 comma space 5 close parentheses$ .

Titik D, perpotongan $y equals 2 x space dan space x plus 2 y equals 20$

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x plus 2 y end cell equals 20 row cell x plus 2 open parentheses 2 x close parentheses end cell equals 20 row cell 5 x end cell equals 20 row x equals 4 row blank blank blank row y equals cell 2 x end cell row blank equals cell 2 open parentheses 4 close parentheses end cell row blank equals 8 end table$

Jadi, $D open parentheses 4 comma space 8 close parentheses$

Uji titik pojok

$f open parentheses x comma space y close parentheses equals negative x minus 3 y A open parentheses 3 comma space 6 close parentheses equals negative 3 minus 3 open parentheses 6 close parentheses equals negative 21 B open parentheses 6 comma space 3 close parentheses equals negative 6 minus 3 open parentheses 3 close parentheses equals negative 15 C open parentheses 10 comma space 5 close parentheses equals negative 10 minus 3 open parentheses 5 close parentheses equals negative 25 D open parentheses 4 comma space 8 close parentheses equals negative 4 minus 3 open parentheses 8 close parentheses equals negative 28$

Jadi, nilai minimum dari $negative x minus 3 y$ adalah $negative 28$ .

Dengan demikian, jawaban yang tepat adalah B.

Roboguru

Tentukan nilai maksimum dan minimum dari fungsi objektif dari daerah penyelesaian pada gambar.

Pembahasan Soal:

Ingat kembali,

Menentukan nilai optimum metode titik pojok dengan cara mensubstitusi titik pojok pada fungsi sasaran kemudian dicari nilai yang paling maksimum atau minimum

Berdasarkan penjelasan tersebut, diperoleh sebagai berikut

Titik-titik pojok dari daerah penyelesaian yaitu $open parentheses 2.0 close parentheses comma space open parentheses 5 comma 0 close parentheses comma space open parentheses 7 comma 3 close parentheses comma space open parentheses 3 comma 5 close parentheses comma space open parentheses 0 comma 3 close parentheses$

Substitusi titik pojok pada fungsi sasaran

$f open parentheses x comma y close parentheses equals 2 x plus 3 y left parenthesis 2 comma 0 right parenthesis rightwards arrow f open parentheses 2 comma 0 close parentheses equals 2 times 2 plus 3 times 0 equals 4 left parenthesis 5 comma 0 right parenthesis rightwards arrow f open parentheses 5 comma 0 close parentheses equals 2 times 5 plus 3 times 0 equals 10 left parenthesis 7 comma 3 right parenthesis rightwards arrow f open parentheses 7 comma 3 close parentheses equals 2 times 7 plus 3 times 3 equals 23 left parenthesis 3 comma 5 right parenthesis rightwards arrow f open parentheses 3 comma 5 close parentheses equals 2 times 3 plus 3 times 5 equals 21 left parenthesis 0 comma 3 right parenthesis rightwards arrow f open parentheses 0 comma 0 close parentheses equals 2 times 0 plus 3 times 3 equals 9$

Dengan demikian, nilai maksimum adalah $23$ dan nilai minimum adalah $4$ . $space space$

Roboguru