Pertanyaan

Misalkan S n merupakan suku ke- n dari suatu deret geometri (umlah n suku dari barisan geometri), buktikan bahwa: S n ( S 3 n − S 2 n ) = ( S 2 n − S n ) 2

Misalkan $S_{n}$ merupakan suku ke- $n$ dari suatu deret geometri (umlah $n$ suku dari barisan geometri), buktikan bahwa:

$S_{n} (S_{3 n} - S_{2 n}) = (S_{2 n} - S_{n})^{2}$

L. Rante

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Makassar

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa S n ( S 3 n − S 2 n ) = ( S 2 n − S n ) 2 .

terbukti bahwa

S_{n} (S_{3 n} - S_{2 n}) = (S_{2 n} - S_{n})^{2}

Pembahasan

Ingat! Jumlah n suku pertama deret geometri yaitu S n = r − 1 a ( r n − 1 ) , r < − 1 atau r > 1 S n = 1 − r a ( 1 − r n ) , − 1 < r < 1 Perhatikan pembuktianberikut! Untuk r < − 1 atau r > 1 Berdasarkan rumus S n = r − 1 a ( r n − 1 ) , maka S 2 n S 3 n = = r − 1 a ( r 2 n − 1 ) r − 1 a ( r 3 n − 1 ) Sehingga S n ( S 3 n − S 2 n ) = = = = = = r − 1 a ( r n − 1 ) [ r − 1 a ( r 3 n − 1 ) − r − 1 a ( r 2 n − 1 ) ] [ r − 1 a ( r n − 1 ) ] ( r − 1 a ) [ ( r 3 n − 1 ) − ( r 2 n − 1 ) ] [ ( r − 1 ) 2 a 2 ( r n − 1 ) ] ( r 3 n − r 2 n ) [ ( r − 1 ) 2 a 2 ( r n − 1 ) ] ( r n − 1 ) r 2 n [ ( r − 1 ) 2 a 2 ] ( r n − 1 ) 2 r 2 n ( r − 1 a ) 2 ( r n − 1 ) 2 r 2 n Dan ( S 2 n − S n ) 2 = = = = = [ r − 1 a ( r 2 n − 1 ) − r − 1 a ( r n − 1 ) 2 ] ( r − 1 a ) 2 [ ( r 2 n − 1 ) − ( r n − 1 ) ] 2 ( r − 1 a ) 2 ( r 2 n − r n ) 2 ( r − 1 a ) 2 ( r n − 1 ) 2 ( r n ) 2 ( r − 1 a ) 2 ( r n − 1 ) 2 r 2 n Jadi, untuk r < − 1 atau r > 1 berlaku S n ( S 3 n − S 2 n ) = ( S 2 n − S n ) 2 Untuk − 1 < r < 1 Berdasarkan rumus S n = 1 − r a ( 1 − r n ) , maka S 2 n S 3 n = = 1 − r a ( 1 − r 2 n ) 1 − r a ( 1 − r 3 n ) Sehingga S n ( S 3 n − S 2 n ) = = = = = = 1 − r a ( 1 − r n ) [ 1 − r a ( 1 − r 3 n ) − 1 − r a ( 1 − r 2 n ) ] [ 1 − r a ( r n − 1 ) ] ( 1 − r a ) [ ( 1 − r 3 n ) − ( 1 − r 2 n ) ] [ ( 1 − r ) 2 a 2 ( r n − 1 ) ] ( − r 3 n + r 2 n ) [ ( 1 − r ) 2 a 2 ( r n − 1 ) ] ( − r n + 1 ) r 2 n [ ( 1 − r ) 2 a 2 ] ( − r n + 1 ) 2 r 2 n ( 1 − r a ) 2 ( − r n + 1 ) 2 r 2 n Dan ( S 2 n − S n ) 2 = = = = = [ 1 − r a ( 1 − r 2 n ) − 1 − r a ( 1 − r n ) 2 ] ( 1 − r a ) 2 [ ( 1 − r 2 n ) − ( 1 − r n ) ] 2 ( 1 − r a ) 2 ( − r 2 n + r n ) 2 ( 1 − r a ) 2 ( − r n + 1 ) 2 ( r n ) 2 ( 1 − r a ) 2 ( − r n + 1 ) 2 r 2 n Jadi, untuk − 1 < r < 1 berlaku S n ( S 3 n − S 2 n ) = ( S 2 n − S n ) 2 Dengan demikian, terbukti bahwa S n ( S 3 n − S 2 n ) = ( S 2 n − S n ) 2 .

Ingat!

Jumlah $n$ suku pertama deret geometri yaitu

$S_{n} = \frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}, r < - 1 atau r > 1 S_{n} = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}, - 1 < r < 1$

Perhatikan pembuktian berikut!

Untuk $r < - 1 atau r > 1$

Berdasarkan rumus $S_{n} = \frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$ , maka

$S_{2 n} S_{3 n} = = \frac{a ( r ^{2 n} - 1 )}{r - 1} \frac{a ( r ^{3 n} - 1 )}{r - 1}$

Sehingga

$S_{n} (S_{3 n} - S_{2 n}) = = = = = = \frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1} [\frac{a ( r ^{3 n} - 1 )}{r - 1} - \frac{a ( r ^{2 n} - 1 )}{r - 1}] [\frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}] (\frac{a}{r - 1}) [(r^{3 n} - 1) - (r^{2 n} - 1)] [\frac{a ^{2} ( r ^{n} - 1 )}{( r - 1 ) ^{2}}] (r^{3 n} - r^{2 n}) [\frac{a ^{2} ( r ^{n} - 1 )}{( r - 1 ) ^{2}}] (r^{n} - 1) r^{2 n} [\frac{a ^{2}}{( r - 1 ) ^{2}}] (r^{n} - 1)^{2} r^{2 n} (\frac{a}{r - 1})^{2} (r^{n} - 1)^{2} r^{2 n}$

Dan

$(S_{2 n} - S_{n})^{2} = = = = = [\frac{a ( r ^{2 n} - 1 )}{r - 1} - \frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}^{2}] (\frac{a}{r - 1})^{2} [(r^{2 n} - 1) - (r^{n} - 1)]^{2} (\frac{a}{r - 1})^{2} (r^{2 n} - r^{n})^{2} (\frac{a}{r - 1})^{2} (r^{n} - 1)^{2} (r^{n})^{2} (\frac{a}{r - 1})^{2} (r^{n} - 1)^{2} r^{2 n}$

Jadi, untuk $r < - 1 atau r > 1$ berlaku $S_{n} (S_{3 n} - S_{2 n}) = (S_{2 n} - S_{n})^{2}$

Untuk $- 1 < r < 1$

Berdasarkan rumus $S_{n} = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}$ , maka

$S_{2 n} S_{3 n} = = \frac{a ( 1 - r ^{2 n} )}{1 - r} \frac{a ( 1 - r ^{3 n} )}{1 - r}$

Sehingga

$S_{n} (S_{3 n} - S_{2 n}) = = = = = = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r} [\frac{a ( 1 - r ^{3 n} )}{1 - r} - \frac{a ( 1 - r ^{2 n} )}{1 - r}] [\frac{a ( r ^{n} - 1 )}{1 - r}] (\frac{a}{1 - r}) [(1 - r^{3 n}) - (1 - r^{2 n})] [\frac{a ^{2} ( r ^{n} - 1 )}{( 1 - r ) ^{2}}] (- r^{3 n} + r^{2 n}) [\frac{a ^{2} ( r ^{n} - 1 )}{( 1 - r ) ^{2}}] (- r^{n} + 1) r^{2 n} [\frac{a ^{2}}{( 1 - r ) ^{2}}] (- r^{n} + 1)^{2} r^{2 n} (\frac{a}{1 - r})^{2} (- r^{n} + 1)^{2} r^{2 n}$

Dan

$(S_{2 n} - S_{n})^{2} = = = = = [\frac{a ( 1 - r ^{2 n} )}{1 - r} - \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}^{2}] (\frac{a}{1 - r})^{2} [(1 - r^{2 n}) - (1 - r^{n})]^{2} (\frac{a}{1 - r})^{2} (- r^{2 n} + r^{n})^{2} (\frac{a}{1 - r})^{2} (- r^{n} + 1)^{2} (r^{n})^{2} (\frac{a}{1 - r})^{2} (- r^{n} + 1)^{2} r^{2 n}$

Jadi, untuk $- 1 < r < 1$ berlaku $S_{n} (S_{3 n} - S_{2 n}) = (S_{2 n} - S_{n})^{2}$

Dengan demikian, terbukti bahwa $S_{n} (S_{3 n} - S_{2 n}) = (S_{2 n} - S_{n})^{2}$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Misalkan S n merupakan suku ke- n dari deret geometri.Buktikan bahwa: S n S 2 n = 1 + r n

0.0

Jawaban terverifikasi

Dari setiap barisan geometri berikut, tentukan tiga suku pertama deret geometrinya. 1 , 2 1 , 4 1 , … 1 ; 1 , 5 ; 1 , 5 2 ; …

5.0

Jawaban terverifikasi

Misalkan S n merupakan suku ke- n dari deret geometri. Buktikan bahwa: S 2 n − S n S n = S 3 n − S 2 n S 2 n − S n

1.0

Jawaban terverifikasi

Misalkan U 1 , U 2 , U 3 , ... merupakan barisan geometri dan S n menyatakan suku ke- n dari deret geometrinya. Tentukan jumlah dari S 1 + S 2 + ... + S n dinyatakan dalam U 1 , U 2 ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Dari setiap barisan geometri berikut, tentukan tiga suku pertama deret geometrinya. 2 , 2 2 , 2 4 , … 1 , − 2 1 , 4 1 , − 8 1 , …

5.0

Jawaban terverifikasi