Pertanyaan

Misalkan U 1 , U 2 , U 3 , ... merupakan barisan geometri dan S n menyatakan suku ke- n dari deret geometrinya. Tentukan jumlah dari S 1 + S 2 + ... + S n dinyatakan dalam U 1 , U 2 , U 3 , ... dan pengali r .

Misalkan $U_{1}, U_{2}, U_{3}, ...$ merupakan barisan geometri dan $S_{n}$ menyatakan suku ke- $n$ dari deret geometrinya. Tentukan jumlah dari $S_{1} + S_{2} + ... + S_{n}$ dinyatakan dalam $U_{1}, U_{2}, U_{3}, ...$ dan pengali $r$ .

L. Rante

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Makassar

Jawaban terverifikasi

Jawaban

S 1 + S 2 + ... + S n = r − 1 1 [ r ( U 1 + U 2 + U 3 + ... + U n ) − n U 1 ]

S_{1} + S_{2} + ... + S_{n} = \frac{1}{r - 1} [r (U_{1} + U_{2} + U_{3} + ... + U_{n}) - n U_{1}]

Pembahasan

Jawaban yang tepat untuk pertanyaan tersebut adalah r − 1 1 [ r ( U 1 + U 2 + U 3 + ... + U n ) − n U 1 ] . Ingat! Jumlah n suku pertama deret geometri yaitu S n = r − 1 a ( r n − 1 ) , r < − 1 atau r > 1 S n = 1 − r a ( 1 − r n ) , − 1 < r < 1 Suku ke- n barisan geometri yaitu U n = a r n − 1 Perhatikan perhitungan berikut! Untuk r < − 1 atau r > 1 S 1 S 2 S 3 S 4 S n = = = = = a r − 1 a ( r 2 − 1 ) r − 1 a ( r 3 − 1 ) r − 1 a ( r 4 − 1 ) r − 1 a ( r n − 1 ) Sehingga S 1 + S 2 + S 3 ... + S n = a + r − 1 a ( r 2 − 1 ) + r − 1 a ( r 3 − 1 ) + ... + r − 1 a ( r n − 1 ) = r − 1 a ( r − 1 ) + r − 1 a ( r 2 − 1 ) + r − 1 a ( r 3 − 1 ) + ... + r − 1 a ( r n − 1 ) = r − 1 a [ ( r − 1 ) + ( r 2 − 1 ) + ( r 3 − 1 ) + ... ( r n − 1 ) ] = r − 1 a [ ( r + r 2 + r 3 + ... + r n ) + n ( − 1 ) ] = r − 1 a [ ( r + r 2 + r 3 + ... + r n ) − n ] = r − 1 1 [ ( a r + a r 2 + a r 3 + ... + a r n ) − na ] = r − 1 1 [ r ( a + a r 1 + a r 2 + ... + a r n − 1 ) − na ] = r − 1 1 [ r ( U 1 + U 2 + U 3 + ... + U n ) − n U 1 ] Pada penjabarandi atas kita menggunakan deret geometri dengan r < − 1 atau r > 1 . Untuk kasus − 1 < r < 1 kurang lebih sama dengan cara tersebut di atas. Dengan demikian, S 1 + S 2 + ... + S n = r − 1 1 [ r ( U 1 + U 2 + U 3 + ... + U n ) − n U 1 ]

Jawaban yang tepat untuk pertanyaan tersebut adalah $\frac{1}{r - 1} [r (U_{1} + U_{2} + U_{3} + ... + U_{n}) - n U_{1}]$ .

Ingat!

Jumlah $n$ suku pertama deret geometri yaitu

$S_{n} = \frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}, r < - 1 atau r > 1 S_{n} = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}, - 1 < r < 1$

Suku ke- $n$ barisan geometri yaitu

$U_{n} = a r^{n - 1}$

Perhatikan perhitungan berikut!

Untuk $r < - 1 atau r > 1$

$S_{1} S_{2} S_{3} S_{4} S_{n} = = = = = a \frac{a ( r ^{2} - 1 )}{r - 1} \frac{a ( r ^{3} - 1 )}{r - 1} \frac{a ( r ^{4} - 1 )}{r - 1} \frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}$

Sehingga

$S_{1} + S_{2} + S_{3} ... + S_{n} = a + \frac{a ( r ^{2} - 1 )}{r - 1} + \frac{a ( r ^{3} - 1 )}{r - 1} + ... + \frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1} = \frac{a ( r - 1 )}{r - 1} + \frac{a ( r ^{2} - 1 )}{r - 1} + \frac{a ( r ^{3} - 1 )}{r - 1} + ... + \frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1} = \frac{a}{r - 1} [(r - 1) + (r^{2} - 1) + (r^{3} - 1) + ... (r^{n} - 1)] = \frac{a}{r - 1} [(r + r^{2} + r^{3} + ... + r^{n}) + n (- 1)] = \frac{a}{r - 1} [(r + r^{2} + r^{3} + ... + r^{n}) - n] = \frac{1}{r - 1} [(a r + a r^{2} + a r^{3} + ... + a r^{n}) - na] = \frac{1}{r - 1} [r (a + a r^{1} + a r^{2} + ... + a r^{n - 1}) - na] = \frac{1}{r - 1} [r (U_{1} + U_{2} + U_{3} + ... + U_{n}) - n U_{1}]$

Pada penjabaran di atas kita menggunakan deret geometri dengan $r < - 1 atau r > 1$ . Untuk kasus $- 1 < r < 1$ kurang lebih sama dengan cara tersebut di atas.

Dengan demikian, $S_{1} + S_{2} + ... + S_{n} = \frac{1}{r - 1} [r (U_{1} + U_{2} + U_{3} + ... + U_{n}) - n U_{1}]$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Buktikan bahwa bilangan U 1 , U 2 , U 3 , ... memenuhi ( U 1 2 + U 2 2 + ... + U 2 n − 1 ) ( U 2 2 + U 3 2 + ... + U 2 n ) = ( U 1 U 2 + U 2 U 3 + ... + U n − 1 U n ) ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Misalkan S n merupakan suku ke- n dari suatu deret geometri (umlah n suku dari barisan geometri), buktikan bahwa: S n ( S 3 n − S 2 n ) = ( S 2 n − S n ) 2

0.0

Jawaban terverifikasi

Dari setiap barisan geometri berikut, tentukan tiga suku pertama deret geometrinya. 2 , 2 2 , 2 4 , … 1 , − 2 1 , 4 1 , − 8 1 , …

5.0

Jawaban terverifikasi

Misalkan S n merupakan suku ke- n dari deret geometri. Buktikan bahwa: S 2 n − S n S n = S 3 n − S 2 n S 2 n − S n

1.0

Jawaban terverifikasi

Misalkan S n merupakan suku ke- n dari deret geometri.Buktikan bahwa: S n S 2 n = 1 + r n

0.0

Jawaban terverifikasi