Misalkan S n ​ merupakan suku ke- n dari deret geometri. Buktikan bahwa: S 2 n ​ − S n ​ S n ​ ​ = S 3 n ​ − S 2 n ​ S 2 n ​ − S n ​ ​

Pembahasan

Catatan : maksud soal S n ​ merupakan jumlah n suku pertama dari deret geometri. Ingat! Jumlah n suku pertama dari suatu deret geometri adalah S n ​ = r − 1 a ( r n − 1 ) ​ → r < − 1 atau r > 1 S n ​ = 1 − r a ( 1 − r n ) ​ → − 1 < r < 1 Perhatikan perhitungan berikut! Untuk r < − 1 atau r > 1 S 2 n ​ − S n ​ S n ​ ​ S 3 n ​ − S 2 n ​ S 2 n ​ − S n ​ ​ ​ = = = = = = = = = = ​ [ r − 1 a ( r 2 n − 1 ) ​ ] − [ r − 1 a ( r n − 1 ) ​ ] r − 1 a ( r n − 1 ) ​ ​ ( r 2 n − 1 ) − ( r n − 1 ) r n − 1 ​ r 2 n − r n r n − 1 ​ ( r n − 1 ) r n r n − 1 ​ r n 1 ​ [ r − 1 a ( r 3 n − 1 ) ​ ] − [ r − 1 a ( r 2 n − 1 ) ​ ] [ r − 1 a ( r 2 n − 1 ) ​ ] − [ r − 1 a ( r n − 1 ) ​ ] ​ ( r 3 n − 1 ) − ( r 2 n − 1 ) ( r 2 n − 1 ) − ( r n − 1 ) ​ r 3 n − r 2 n r 2 n − r n ​ ( r 2 n − r n ) r n r 2 n − r n ​ r n 1 ​ ​ Jadi, untuk r < − 1 atau r > 1 berlaku S 2 n ​ − S n ​ S n ​ ​ = S 3 n ​ − S 2 n ​ S 2 n ​ − S n ​ ​ . Untuk − 1 < r < 1 S 2 n ​ − S n ​ S n ​ ​ S 3 n ​ − S 2 n ​ S 2 n ​ − S n ​ ​ ​ = = = = = = = = = = = ​ [ 1 − r a ( 1 − r 2 n ) ​ ] − [ 1 − r a ( 1 − r n ) ​ ] 1 − r a ( 1 − r n ) ​ ​ ( 1 − r 2 n ) − ( 1 − r n ) 1 − r n ​ − r 2 n + r n 1 − r n ​ r n − r 2 n 1 − r n ​ ( 1 − r n ) r n 1 − r n ​ r n 1 ​ [ 1 − r a ( 1 − r 3 n ) ​ ] − [ 1 − r a ( 1 − r 2 n ) ​ ] [ 1 − r a ( 1 − r 2 n ) ​ ] − [ 1 − r a ( 1 − r n ) ​ ] ​ ( 1 − r 3 n ) − ( 1 − r 2 n ) ( 1 − r 2 n ) − ( 1 − r n ) ​ − r 3 n + r 2 n − r 2 n + r n ​ ( − r 2 n + r n ) r n − r 2 n + r n ​ r n 1 ​ ​ Jadi, untuk − 1 < r < 1 berlaku S 2 n ​ − S n ​ S n ​ ​ = S 3 n ​ − S 2 n ​ S 2 n ​ − S n ​ ​ Dengan demikian, terbukti bahwa S 2 n ​ − S n ​ S n ​ ​ = S 3 n ​ − S 2 n ​ S 2 n ​ − S n ​ ​ .