Pertanyaan

Buktikan bahwa bilangan U 1 , U 2 , U 3 , ... memenuhi ( U 1 2 + U 2 2 + ... + U 2 n − 1 ) ( U 2 2 + U 3 2 + ... + U 2 n ) = ( U 1 U 2 + U 2 U 3 + ... + U n − 1 U n ) Jika dan hanya jika U 1 , U 2 , U 3 , ... merupakan barisan geometri.

Buktikan bahwa bilangan $U_{1}, U_{2}, U_{3}, ...$ memenuhi

$(U_{1}^{2} + U_{2}^{2} + ... + U^{2}_{n - 1}) (U_{2}^{2} + U_{3}^{2} + ... + U^{2}_{n}) = (U_{1} U_{2} + U_{2} U_{3} + ... + U_{n - 1} U_{n})$

Jika dan hanya jika $U_{1}, U_{2}, U_{3}, ...$ merupakan barisan geometri.

L. Rante

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Makassar

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat! Jumlah n suku pertama deret geometri yaitu S n = r − 1 a ( r n − 1 ) , r < − 1 atau r > 1 S n = 1 − r a ( 1 − r n ) , − 1 < r < 1 Perhatikan pembuktianberikut! Perhatikan bentuk U 1 2 + U 2 2 + ... + U 2 n − 1 U 1 2 + U 2 2 + ... + U 2 n − 1 = = ( a ) 2 + ( a r ) 2 + ... + ( a r n − 2 ) 2 a 2 + a 2 r 2 + ... + a 2 r 2 n − 4 Deret tersebut berbentuk deret geometri dengan suku pertama a 2 dan rasio r 2 . Sehingga U 1 2 + U 2 2 + ... + U 2 n − 1 = = r 2 − 1 a 2 [ ( r 2 ) n − 1 − 1 ] r 2 − 1 a 2 ( r 2 n − 2 − 1 ) Perhatikan bentuk U 2 2 + U 3 2 + ... + U 2 n U 2 2 + U 3 2 + ... + U 2 n = = ( a r ) 2 + ( a r 2 ) 2 + ... + ( a r n − 1 ) 2 a 2 r 2 + a 2 r 4 + ... + a 2 r 2 n − 2 Deret tersebut berbentuk deret geometri dengan suku pertama a 2 r 2 dan rasio r 2 . Sehingga U 2 2 + U 3 2 + ... + U 2 n = = r 2 − 1 ( a 2 r 2 ) [ ( r 2 ) n − 1 − 1 ] r 2 − 1 ( a 2 r 2 ) ( r 2 n − 2 − 1 ) Sehingga ( U 1 2 + U 2 2 + ... + U 2 n − 1 ) ( U 2 2 + U 3 2 + ... + U 2 n ) = [ r 2 − 1 a 2 ( r 2 n − 2 − 1 ) ] ⋅ [ r 2 − 1 ( a 2 r 2 ) ( r 2 n − 2 − 1 ) ] = a 4 r 2 ( r 2 − 1 r 2 n − 2 − 1 ) 2 Selanjutnya perhatikan bentuk U 1 U 2 + U 2 U 3 + ... + U n − 1 U n U 1 U 2 + U 2 U 3 + ... + U n − 1 U n = a ⋅ a r + a r ⋅ a r 2 + ... + a r n − 2 ⋅ a r n − 1 = a 2 r + a 2 r 3 + ... + a 2 r 2 n − 3 Deret tersebut berbentuk deret geometri dengan suku pertama a 2 r , rasio r 2 dan banyak sukunya n − 1 . Sehingga ( U 1 U 2 + U 2 U 3 + ... + U n − 1 U n ) 2 = ⎩ ⎨ ⎧ ( r 2 ) − 1 ( a 2 r ) [ ( r 2 ) n − 1 − 1 ] ⎭ ⎬ ⎫ 2 = [ r 2 − 1 ( a 2 r ) ( r 2 n − 2 − 1 ) ] 2 = ( a 2 r ) 2 ( r 2 − 1 r 2 n − 2 − 1 ) 2 = a 4 r 2 ( r 2 − 1 r 2 n − 2 − 1 ) 2 Perhatikan bahwa hasil dari ( U 1 2 + U 2 2 + ... + U 2 n − 1 ) ( U 2 2 + U 3 2 + ... + U 2 n ) sama dengan hasil dari ( U 1 U 2 + U 2 U 3 + ... + U n − 1 U n ) . Pada pembuktian di atas kita menggunakan deret geometri dengan r < − 1 atau r > 1 . Pembuktian untuk kasus − 1 < r < 1 kurang lebih sama dengan cara tersebut di atas. Dengan demikian, terbukti bahwa ( U 1 2 + U 2 2 + ... + U 2 n − 1 ) ( U 2 2 + U 3 2 + ... + U 2 n ) = ( U 1 U 2 + U 2 U 3 + ... + U n − 1 U n )

Ingat!

Jumlah $n$ suku pertama deret geometri yaitu

$S_{n} = \frac{a ( r ^{n} - 1 )}{r - 1}, r < - 1 atau r > 1 S_{n} = \frac{a ( 1 - r ^{n} )}{1 - r}, - 1 < r < 1$

Perhatikan pembuktian berikut!

Perhatikan bentuk $U_{1}^{2} + U_{2}^{2} + ... + U^{2}_{n - 1}$

$U_{1}^{2} + U_{2}^{2} + ... + U^{2}_{n - 1} = = (a)^{2} + (a r)^{2} + ... + (a r^{n - 2})^{2} a^{2} + a^{2} r^{2} + ... + a^{2} r^{2 n - 4}$

Deret tersebut berbentuk deret geometri dengan suku pertama $a^{2}$ dan rasio $r^{2}$ . Sehingga

$U_{1}^{2} + U_{2}^{2} + ... + U^{2}_{n - 1} = = \frac{a ^{2} [ ( r ^{2} ) ^{n - 1} - 1 ]}{r ^{2} - 1} \frac{a ^{2} ( r ^{2 n - 2} - 1 )}{r ^{2} - 1}$

Perhatikan bentuk $U_{2}^{2} + U_{3}^{2} + ... + U^{2}_{n}$

$U_{2}^{2} + U_{3}^{2} + ... + U^{2}_{n} = = (a r)^{2} + (a r^{2})^{2} + ... + (a r^{n - 1})^{2} a^{2} r^{2} + a^{2} r^{4} + ... + a^{2} r^{2 n - 2}$

Deret tersebut berbentuk deret geometri dengan suku pertama $a^{2} r^{2}$ dan rasio $r^{2}$ . Sehingga

$U_{2}^{2} + U_{3}^{2} + ... + U^{2}_{n} = = \frac{( a ^{2} r ^{2} ) [ ( r ^{2} ) ^{n - 1} - 1 ]}{r ^{2} - 1} \frac{( a ^{2} r ^{2} ) ( r ^{2 n - 2} - 1 )}{r ^{2} - 1}$

Sehingga

$(U_{1}^{2} + U_{2}^{2} + ... + U^{2}_{n - 1}) (U_{2}^{2} + U_{3}^{2} + ... + U^{2}_{n}) = [\frac{a ^{2} ( r ^{2 n - 2} - 1 )}{r ^{2} - 1}] \cdot [\frac{( a ^{2} r ^{2} ) ( r ^{2 n - 2} - 1 )}{r ^{2} - 1}] = a^{4} r^{2} (\frac{r ^{2 n - 2} - 1}{r ^{2} - 1})^{2}$

Selanjutnya perhatikan bentuk $U_{1} U_{2} + U_{2} U_{3} + ... + U_{n - 1} U_{n}$

$U_{1} U_{2} + U_{2} U_{3} + ... + U_{n - 1} U_{n} = a \cdot a r + a r \cdot a r^{2} + ... + a r^{n - 2} \cdot a r^{n - 1} = a^{2} r + a^{2} r^{3} + ... + a^{2} r^{2 n - 3}$

Deret tersebut berbentuk deret geometri dengan suku pertama $a^{2} r$ , rasio $r^{2}$ dan banyak sukunya $n - 1$ . Sehingga

$(U_{1} U_{2} + U_{2} U_{3} + ... + U_{n - 1} U_{n})^{2} = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{( a ^{2} r ) [ ( r ^{2} ) ^{n - 1} - 1 ]}{( r ^{2} ) - 1} ⎭ ⎬ ⎫^{2} = [\frac{( a ^{2} r ) ( r ^{2 n - 2} - 1 )}{r ^{2} - 1}]^{2} = (a^{2} r)^{2} (\frac{r ^{2 n - 2} - 1}{r ^{2} - 1})^{2} = a^{4} r^{2} (\frac{r ^{2 n - 2} - 1}{r ^{2} - 1})^{2}$

Perhatikan bahwa hasil dari $(U_{1}^{2} + U_{2}^{2} + ... + U^{2}_{n - 1}) (U_{2}^{2} + U_{3}^{2} + ... + U^{2}_{n})$ sama dengan hasil dari $(U_{1} U_{2} + U_{2} U_{3} + ... + U_{n - 1} U_{n})$ .

Pada pembuktian di atas kita menggunakan deret geometri dengan $r < - 1 atau r > 1$ . Pembuktian untuk kasus $- 1 < r < 1$ kurang lebih sama dengan cara tersebut di atas.

Dengan demikian, terbukti bahwa

$(U_{1}^{2} + U_{2}^{2} + ... + U^{2}_{n - 1}) (U_{2}^{2} + U_{3}^{2} + ... + U^{2}_{n}) = (U_{1} U_{2} + U_{2} U_{3} + ... + U_{n - 1} U_{n})$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Misalkan S n merupakan suku ke- n dari suatu deret geometri (umlah n suku dari barisan geometri), buktikan bahwa: S n ( S 3 n − S 2 n ) = ( S 2 n − S n ) 2

0.0

Jawaban terverifikasi

Misalkan S n merupakan suku ke- n dari deret geometri.Buktikan bahwa: S n S 2 n = 1 + r n

0.0

Jawaban terverifikasi

Misalkan U 1 , U 2 , U 3 , ... merupakan barisan geometri dan S n menyatakan suku ke- n dari deret geometrinya. Tentukan jumlah dari S 1 + S 2 + ... + S n dinyatakan dalam U 1 , U 2 ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Dari setiap barisan geometri berikut, tentukan tiga suku pertama deret geometrinya. 1 , 2 1 , 4 1 , … 1 ; 1 , 5 ; 1 , 5 2 ; …

5.0

Jawaban terverifikasi

Misalkan S n merupakan suku ke- n dari deret geometri. Buktikan bahwa: S 2 n − S n S n = S 3 n − S 2 n S 2 n − S n

1.0

Jawaban terverifikasi