Pertanyaan

Misalkan a 2 , b 2 , dan c 2 membentuk barisan aritmetika. Apakah b + c 1 , c + a 1 , dan a + b 1 juga membentuk barisan aritmetika? Buktikan jawaban Anda.

Misalkan $a^{2}$ , $b^{2}$ , dan $c^{2}$ membentuk barisan aritmetika. Apakah $\frac{1}{b + c}$ , $\frac{1}{c + a}$ , dan $\frac{1}{a + b}$ juga membentuk barisan aritmetika? Buktikan jawaban Anda.

N. Putu

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Ganesha

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa b + c 1 , c + a 1 , dan a + b 1 juga membentuk barisan aritmetika.

terbukti bahwa

\frac{1}{b + c}

\frac{1}{c + a}

, dan

\frac{1}{a + b}

juga membentuk barisan aritmetika.

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah dapat dibuktikan bahwa b + c 1 , c + a 1 , dan a + b 1 juga membentuk barisan aritmetika. Diketahui pada soal bahwa a 2 , b 2 , dan c 2 membentuk barisan aritmetika. Kemudian diminta untuk membuktikan apakah b + c 1 , c + a 1 , dan a + b 1 juga membentuk barisan aritmetika. Oleh karena itu, perlu diingat bahwa beda antar suku berdekatan pada barisan aritmatika selalu sama. U 2 − U 1 = U 3 − U 2 = ... Untuk barisan aritmetika pertama: a 2 , b 2 , dan c 2 U 2 − U 1 b 2 − a 2 b 2 + b 2 2 b 2 = = = = U 3 − U 2 c 2 − b 2 c 2 + a 2 c 2 + a 2 Selanjutnya akan dibuktikan bahwa b + c 1 , c + a 1 , dan a + b 1 juga membentuk barisan aritmetika. Diasumsikan bahwa c + a 1 − b + c 1 = a + b 1 − c + a 1 benar, maka: c + a 1 − b + c 1 ( c + a ) ( b + c ) ( b + c ) − ( c + a ) ( c + a ) ( b + c ) b + c − c − a ( c + a ) ( b + c ) b − a ( b − a ) ( a + b ) ( c + a ) ( b 2 − a 2 ) ( c + a ) b 2 − a 2 b 2 + b 2 2 b 2 = = = = = = = = = a + b 1 − c + a 1 ( a + b ) ( c + a ) ( c + a ) − ( a + b ) ( a + b ) ( c + a ) c + a − a − b ( a + b ) ( c + a ) c − b ( c + a ) ( b + c ) ( c − b ) ( c + a ) ( − b 2 + c 2 ) − b 2 + c 2 c 2 + a 2 c 2 + a 2 Karena asumsi tersebut terbukti benar. Dengan demikian, terbukti bahwa b + c 1 , c + a 1 , dan a + b 1 juga membentuk barisan aritmetika.

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah dapat dibuktikan bahwa $\frac{1}{b + c}$ , $\frac{1}{c + a}$ , dan $\frac{1}{a + b}$ juga membentuk barisan aritmetika.

Diketahui pada soal bahwa $a^{2}$ , $b^{2}$ , dan $c^{2}$ membentuk barisan aritmetika. Kemudian diminta untuk membuktikan apakah $\frac{1}{b + c}$ , $\frac{1}{c + a}$ , dan $\frac{1}{a + b}$ juga membentuk barisan aritmetika. Oleh karena itu, perlu diingat bahwa beda antar suku berdekatan pada barisan aritmatika selalu sama.

$U_{2} - U_{1} = U_{3} - U_{2} = ...$

Untuk barisan aritmetika pertama: $a^{2}$ , $b^{2}$ , dan $c^{2}$

$U_{2} - U_{1} b^{2} - a^{2} b^{2} + b^{2} 2 b^{2} = = = = U_{3} - U_{2} c^{2} - b^{2} c^{2} + a^{2} c^{2} + a^{2}$

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa $\frac{1}{b + c}$ , $\frac{1}{c + a}$ , dan $\frac{1}{a + b}$ juga membentuk barisan aritmetika.

Diasumsikan bahwa $\frac{1}{c + a} - \frac{1}{b + c} = \frac{1}{a + b} - \frac{1}{c + a}$ benar, maka:

$\frac{1}{c + a} - \frac{1}{b + c} \frac{( b + c ) - ( c + a )}{( c + a ) ( b + c )} \frac{b + c - c - a}{( c + a ) ( b + c )} \frac{b - a}{( c + a ) ( b + c )} (b - a) (a + b) (c + a) (b^{2} - a^{2}) (c + a) b^{2} - a^{2} b^{2} + b^{2} 2 b^{2} = = = = = = = = = \frac{1}{a + b} - \frac{1}{c + a} \frac{( c + a ) - ( a + b )}{( a + b ) ( c + a )} \frac{c + a - a - b}{( a + b ) ( c + a )} \frac{c - b}{( a + b ) ( c + a )} (c + a) (b + c) (c - b) (c + a) (- b^{2} + c^{2}) - b^{2} + c^{2} c^{2} + a^{2} c^{2} + a^{2}$

Karena asumsi tersebut terbukti benar.
Dengan demikian, terbukti bahwa $\frac{1}{b + c}$ , $\frac{1}{c + a}$ , dan $\frac{1}{a + b}$ juga membentuk barisan aritmetika.