Pertanyaan

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat x 2 + x − c = 0 adalah α dan β , misalkan pula akar-akar persamaan kuadrat 2 x 2 − 2 x + α 3 + β 3 = 0 adalah r dan . Jika r + s = 2 rs , maka c = .... (SNMPTN 2008)

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} + x - c = 0$ adalah $α$ dan $β$ , misalkan pula akar-akar persamaan kuadrat $2 x^{2} - 2 x + α^{3} + β^{3} = 0$ adalah $r$ dan $s$ . Jika $r + s = 2 rs$ , maka $c = ....$ (SNMPTN 2008)

$6$
$- 6$
$- \frac{2}{3}$
$\frac{1}{6}$
$- \frac{1}{6}$

T. Prita

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Jember

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah C.

Pembahasan

Misalkan suatu persamaan kuadrat: a x 2 + b x + c = 0 mempunyai akar-akar x 1 dan x 2 , maka: Jumlah akar-akar: x 1 + x 2 = − a b Hasil kali akar-akar: x 1 ⋅ x 2 = a c Diketahui: Akar-akar persamaan kuadrat x 2 + x − c = 0 adalah α dan β . Akar-akarpersamaan kuadrat 2 x 2 − 2 x + α 3 + β 3 = 0 adalah r dan . Untukpersamaan kuadrat x 2 + x − c = 0 dengan akar-akar α dan β Jumlah akar-akar: α + β = − a b = − 1 1 = − 1 Hasil kali akar-akar: α ⋅ β = a c = 1 − c = − c Untuk persamaan kuadrat 2 x 2 − 2 x + α 3 + β 3 = 0 dengan akar-akar r dan . Jumlah akar-akar: r + s = − 2 ( − 2 ) = 2 2 = 1 Hasil kali akar-akar: r ⋅ s = a c = 2 α 3 + β 3 Jika r + s = 2 rs , maka didapatkan nilai sebagai berikut. r + s 1 1 = = = 2 rs 2 ( 2 α 3 + β 3 ) α 3 + β 3 Perlu diingat! ( α + β ) 3 ( α + β ) 3 ( α + β ) 3 − 3 α β ( α + β ) α 3 + β 3 = = = = α 3 + 3 α 2 β + 3 α 2 β 2 + β 3 α 3 + β 3 α 3 + β 3 ( α + β ) 3 − 3 α β ( α + β ) Substitusikan ke 1 = α 3 + β 3 . 1 1 1 1 3 c 3 c c = = = = = = = α 3 + β 3 ( α + β ) 3 − 3 α β ( α + β ) ( − 1 ) 3 − 3 ( − c ) ( − 1 ) ( − 1 ) − 3 c − 1 − 1 − 2 − 3 2 Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.

Misalkan suatu persamaan kuadrat: $a x^{2} + b x + c = 0$ mempunyai akar-akar $x_{1} dan x_{2}$ , maka:
Jumlah akar-akar: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$

Hasil kali akar-akar: $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

Diketahui:

Akar-akar persamaan kuadrat $x^{2} + x - c = 0$ adalah $α$ dan $β$ .
Akar-akar persamaan kuadrat $2 x^{2} - 2 x + α^{3} + β^{3} = 0$ adalah $r$ dan $s$ .

Untuk persamaan kuadrat $x^{2} + x - c = 0$ dengan akar-akar $α$ dan $β$

Jumlah akar-akar: $α + β = - \frac{b}{a} = - \frac{1}{1} = - 1$

Hasil kali akar-akar: $α \cdot β = \frac{c}{a} = \frac{- c}{1} = - c$

Untuk persamaan kuadrat $2 x^{2} - 2 x + α^{3} + β^{3} = 0$ dengan akar-akar $r$ dan $s$ .

Jumlah akar-akar: $r + s = - \frac{( - 2 )}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Hasil kali akar-akar: $r \cdot s = \frac{c}{a} = \frac{α ^{3} + β ^{3}}{2}$

Jika $r + s = 2 rs$ , maka didapatkan nilai $c$ sebagai berikut.

$r + s 11 = = = 2 rs 2 (\frac{α ^{3} + β ^{3}}{2}) α^{3} + β^{3}$

Perlu diingat!

$(α + β)^{3} (α + β)^{3} (α + β)^{3} - 3 α β (α + β) α^{3} + β^{3} = = = = α^{3} + 3 α^{2} β + 3 α^{2} β^{2} + β^{3} α^{3} + β^{3} α^{3} + β^{3} (α + β)^{3} - 3 α β (α + β)$

Substitusikan ke $1 = α^{3} + β^{3}$ .

$1111 3 c 3 c c = = = = = = = α^{3} + β^{3} (α + β)^{3} - 3 α β (α + β) (- 1)^{3} - 3 (- c) (- 1) (- 1) - 3 c - 1 - 1 - 2 - \frac{2}{3}$

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui persamaan x 2 + p x + q = 0 mempunyai akar-akar positif x 1 dan x 2 . Jika x 1 , 6 , x 2 adalah tiga suku pertama barisan geometri dan x 1 , x 2 , 14 tiga suku pertama barisan ar...

5.0

Jawaban terverifikasi

Persamaan x 2 − a x − ( a + 1 ) = 0 mempunyai akar-akar x 1 > 1 dan x 2 < 1 untuk ,,,,

4.7

Jawaban terverifikasi

Misalkan, dua persamaan kuadrat mempunyai satu akar yang sama, yaitu 2 dan akar-akar lainnya berkebalikan. Jika salah satu persamaan itu adalah x 2 − a x + 6 , maka persamaan kuadrat lainnya adalah …

3.6

Jawaban terverifikasi

Misalkan x 1 dan x 2 merupakan akar-akar persamaan p x 2 + q x − 1 = 0 , p  = 0 . Jika x 1 1 + x 2 1 = − 1 dan x 1 = − 2 3 x 2 , maka p + q = ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Jumlah nilai-nilai m yang mengakibatkan persamaan kuadrat m x 2 − ( 3 m + 1 ) x + ( 2 m + 2 ) = 0 mempunyai akar-akar dengan perbandingan 3 : 4 adalah ...

4.0

Jawaban terverifikasi