Pertanyaan

Melalui titik P ( 2 , 4 ) dibuat garis yang menyinggung lingkaran x 2 + y 2 + 8 x − 2 y − 8 = 0 . Jarak titik P ke titik singgung tersebut adalah ...

Melalui titik $P (2, 4)$ dibuat garis yang menyinggung lingkaran $x^{2} + y^{2} + 8 x - 2 y - 8 = 0$ . Jarak titik $P$ ke titik singgung tersebut adalah ...

$20$
$45$
$50$
$60$
$70$

8 dari 10 siswa nilainya naik

dengan paket belajar pilihan

Habis dalam

Klaim

A. Acfreelance

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah A

Pembahasan

Diketahui persamaan lingkaran x 2 + y 2 + 8 x − 2 y − 8 = 0 dengan A = 8 , B = − 2 , C = − 8 Pusat r = = = = = = = ( − 2 A , − 2 B ) ( − 2 8 , − 2 ( − 2 ) ) ( − 4 , 1 ) ( − 4 ) 2 + 1 2 + 8 16 + 1 + 8 25 5 Ingat persamaan garis polar! ( x − a ) ( x 1 − a ) + ( y − b ) ( y 1 − b ) = r 2 maka persamaan garis polarnya adalah; ( x + 4 ) ( 2 + 4 ) + ( y − 1 ) ( 4 − 1 ) 6 x + 24 + 3 y − 3 6 x + 3 y + 21 6 x + 3 y 6 x + 3 y 3 y y = = = = = = = 25 25 25 25 − 21 4 − 6 x + 4 3 − 6 x + 4 substitusikan persamaan garis polar tersebut ke persamaan lingkaran, sebagai berikut, x 2 + y 2 + 8 x − 2 y − 8 x 2 + ( 3 − 6 x + 4 ) 2 + 8 x − 2 ( 3 − 6 x + 4 ) − 8 x 2 + 9 36 x 2 − 48 x + 16 + 8 x + 3 12 x − 3 8 − 8 x 2 + 4 x 2 − 3 16 x + 9 16 + 8 x + 4 x − 3 8 − 8 ( 1 + 4 ) x 2 + ( − 3 16 + 8 + 4 ) x + ( 9 16 − 3 8 − 8 ) 5 x 2 + 3 20 x − 9 80 45 x 2 + 60 x − 80 9 x 2 + 12 x − 16 = = = = = = = = 0 0 0 0 0 0 0 0 Ingat rumus ABC! x 1 , 2 = 2 a − b ± b 2 − 4 a c Selesaikan persamaan 9 x 2 + 12 x − 16 = 0 dengan menggunakan rumus ABC, diperoleh: x 1 , 2 x 1 x 2 = = = = = = = = 2 ( 9 ) − 12 ± 1 2 2 − 4 × 9 × ( − 16 ) 18 − 12 ± 144 + 576 18 − 12 ± 720 18 − 12 ± 144 × 5 18 − 12 ± 12 5 3 − 2 ± 2 5 3 − 2 + 2 5 3 − 2 − 2 5 Untuk x 1 = 3 − 2 + 2 5 maka y = = = 3 − 6 ( 3 − 2 + 2 5 ) + 4 3 4 − 4 5 + 4 3 8 − 4 5 Untuk x 2 = 3 − 2 − 2 5 maka y = = = 3 − 6 ( 3 − 2 − 2 5 ) + 4 3 4 + 4 5 + 4 3 8 + 4 5 Sehingga diperoleh titik singgungnya ( 3 − 2 + 2 5 , 3 8 − 4 5 ) dan ( 3 − 2 − 2 5 , 3 8 + 4 5 ) Ingat rumus mencari jarak: d = ( x 2 − x 1 ) 2 + ( y 2 − y 1 ) 2 diperoleh jaraknya adalah, d = = = = = = ( 3 − 2 + 2 5 − 2 ) 2 + ( 3 8 − 4 5 − 4 ) 2 ( 3 − 2 + 2 5 − 6 ) 2 + ( 3 8 − 4 5 − 12 ) 2 ( 3 − 8 + 2 5 ) 2 + ( 3 − 4 − 4 5 ) 2 9 64 − 32 5 + 20 + 16 + 32 5 + 80 9 180 20 Jadi, melalui titik P ( 2 , 4 ) dibuat garis yang menyinggung lingkaran x 2 + y 2 + 8 x − 2 y − 8 = 0 . Jarak titik P ke titik singgung tersebut adalah 20 satuan . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A

Diketahui persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} + 8 x - 2 y - 8 = 0$ dengan $A = 8, B = - 2, C = - 8$

$Pusat r = = = = = = = (- \frac{A}{2}, - \frac{B}{2}) (- \frac{8}{2}, - \frac{( - 2 )}{2}) (- 4, 1) (- 4)^{2} + 1^{2} + 8 16 + 1 + 8 255$

Ingat persamaan garis polar!

$(x - a) (x_{1} - a) + (y - b) (y_{1} - b) = r^{2}$

maka persamaan garis polarnya adalah;

$(x + 4) (2 + 4) + (y - 1) (4 - 1) 6 x + 24 + 3 y - 3 6 x + 3 y + 21 6 x + 3 y 6 x + 3 y 3 y y = = = = = = = 252525 25 - 21 4 - 6 x + 4 \frac{- 6 x + 4}{3}$

substitusikan persamaan garis polar tersebut ke persamaan lingkaran, sebagai berikut,

$x^{2} + y^{2} + 8 x - 2 y - 8 x^{2} + (\frac{- 6 x + 4}{3})^{2} + 8 x - 2 (\frac{- 6 x + 4}{3}) - 8 x^{2} + \frac{36 x ^{2} - 48 x + 16}{9} + 8 x + \frac{12}{3} x - \frac{8}{3} - 8 x^{2} + 4 x^{2} - \frac{16}{3} x + \frac{16}{9} + 8 x + 4 x - \frac{8}{3} - 8 (1 + 4) x^{2} + (- \frac{16}{3} + 8 + 4) x + (\frac{16}{9} - \frac{8}{3} - 8) 5 x^{2} + \frac{20}{3} x - \frac{80}{9} 45 x^{2} + 60 x - 80 9 x^{2} + 12 x - 16 = = = = = = = = 00000000$

Ingat rumus ABC!

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$

Selesaikan persamaan $9 x^{2} + 12 x - 16 = 0$ dengan menggunakan rumus ABC, diperoleh:

$x_{1, 2} x_{1} x_{2} = = = = = = = = \frac{- 12 \pm 1 2 ^{2} - 4 \times 9 \times ( - 16 )}{2 ( 9 )} \frac{- 12 \pm 144 + 576}{18} \frac{- 12 \pm 720}{18} \frac{- 12 \pm 144 \times 5}{18} \frac{- 12 \pm 12 5}{18} \frac{- 2 \pm 2 5}{3} \frac{- 2 + 2 5}{3} \frac{- 2 - 2 5}{3}$

Untuk $x_{1} = \frac{- 2 + 2 5}{3}$ maka

$y = = = \frac{- 6 ( \frac{- 2 + 2 5}{3} ) + 4}{3} \frac{4 - 4 5 + 4}{3} \frac{8 - 4 5}{3}$

Untuk $x_{2} = \frac{- 2 - 2 5}{3}$ maka

$y = = = \frac{- 6 ( \frac{- 2 - 2 5}{3} ) + 4}{3} \frac{4 + 4 5 + 4}{3} \frac{8 + 4 5}{3}$

Sehingga diperoleh titik singgungnya $(\frac{- 2 + 2 5}{3}, \frac{8 - 4 5}{3}) dan (\frac{- 2 - 2 5}{3}, \frac{8 + 4 5}{3})$

Ingat rumus mencari jarak:

$d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}$

diperoleh jaraknya adalah,

$d = = = = = = (\frac{- 2 + 2 5}{3} - 2)^{2} + (\frac{8 - 4 5}{3} - 4)^{2} (\frac{- 2 + 2 5 - 6}{3})^{2} + (\frac{8 - 4 5 - 12}{3})^{2} (\frac{- 8 + 2 5}{3})^{2} + (\frac{- 4 - 4 5}{3})^{2} \frac{64 - 32 5 + 20 + 16 + 32 5 + 80}{9} \frac{180}{9} 20$

Jadi, melalui titik $P (2, 4)$ dibuat garis yang menyinggung lingkaran $x^{2} + y^{2} + 8 x - 2 y - 8 = 0$ . Jarak titik $P$ ke titik singgung tersebut adalah $20 satuan$ .

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah A

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.5 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Diberikan lingkaran dengan persamaan ( x − 5 ) 2 + ( y − 12 ) 2 = 1 4 2 . Jarak minimum titik pada lingkaran tersebut ke titik asal sama dengan ... satuan jarak.

4.4

Jawaban terverifikasi

Diketahui sebuah lingkaran L ≡ x 2 + y 2 + 2 y − 24 = 0 Jika melalui titik P ( 1 , 6 ) dibuat garis singgung pada L , jarak titik P ke titik singgung tersebut sama dengan ...

4.6

Jawaban terverifikasi

Panjang garis singgung dari titik A ( 5 , 1 ) terhadap lingkaran L ≡ x 2 + y 2 + 6 x − 4 y − 3 = 0

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui garis g : x − 2 y = 5 memotong lingkaran x 2 + y 2 − 4 x + 8 y + 10 = 0 di titik A dan B . Luas daerah segitiga yang terbentuk dari titik A , titik B , dan titik pusat lingkaran adalah.... s...

4.4

Jawaban terverifikasi

Tentukan persamaan garis singgunglingkaran x 2 + y 2 − 2 x + 4 y − 4 = 0 yang tegak lurus garis 5 x − 12 y + 15 = 0 !

4.7

Jawaban terverifikasi