Lukislah daerah himpunan penyelesaian (DHP) dari setiap sistem pertidaksamaan kuadrat berikut. 2. ⎩⎨⎧y2−x2≥9y−x=0y≥x2x2+y2≤25

Pertanyaan

Lukislah daerah himpunan penyelesaian (DHP) dari setiap sistem pertidaksamaan kuadrat berikut.

2. $\left\{\begin{array}{l}y^2-x^2\geq9\\y-x=0\\y\geq x^2\\x^2+y^2\leq25\end{array}\right.$

D. Rajib

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Muhammadiyah Malang

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Cari DHP dari y squared minus x squared greater or equal than 9

Kurva pembatas dari y squared minus x squared greater or equal than 9 adalah y squared minus x squared equals 9

Ubah bentuk persamaan tersebut menjadi seperti berikut

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell y squared minus x squared end cell equals 9 row cell fraction numerator y squared minus x squared over denominator 9 end fraction end cell equals 1 row cell y squared over 9 minus x squared over 9 end cell equals 1 row cell y squared over 3 squared minus x squared over 3 squared end cell equals 1 end table$

y squared over a squared minus x squared over b squared equals 1 merupakan bentuk persamaan hiperbola dengan titik pusat left parenthesis 0 comma space 0 right parenthesis dan , sebagai titik puncak. Maka dari persamaan y squared over 3 squared minus x squared over 3 squared equals 1 diketahui bahwa titik pusatnya adalah dan a equals 3 sehingga titik puncaknya adalah dan .

Cari letak DHP dengan uji titik left parenthesis 0 comma space 0 right parenthesis

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell y squared minus x squared end cell greater or equal than 9 row cell 0 squared minus 0 squared end cell greater or equal than 9 row 0 greater or equal than cell 9 space left parenthesis salah right parenthesis end cell end table

karena titik left parenthesis 0 comma space 0 right parenthesis salah maka daerah yang terdapat titik bukan merupakan DHP dari y squared minus x squared greater or equal than 9 .

Selanjutnya cari DHP dari y minus x greater than 0

Garis pembatas dari y minus x greater than 0 adalah y equals x

Cari titik pembentuk garis y equals x

untuk x equals 2 maka y equals 2 comma space left parenthesis x comma space y right parenthesis equals left parenthesis 2 comma space 2 right parenthesis
untuk x equals negative 2 maka y equals negative 2 comma space left parenthesis x comma space y right parenthesis equals left parenthesis negative 2 comma space minus 2 right parenthesis

Cari letak DHP dengan uji titik left parenthesis 0 comma space 1 right parenthesis

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell y minus x end cell greater than 0 row cell 1 minus 0 end cell greater than 0 row 1 greater than cell 0 space left parenthesis benar right parenthesis end cell end table

karena titik left parenthesis 0 comma space 1 right parenthesis benar maka daerah yang terdapat titik merupakan DHP dari y minus x greater than 0 .

Cari DHP dari y greater or equal than x squared

Kurva pembatas dari y greater or equal than x squared adalah y equals x squared

Berdasarkan bentuk umum fungsi kuadrat y equals a x squared plus b x plus c maka diketahui

a equals 1 b equals 0 c equals 0

Cari titik puncak pada bentuk persamaan y equals a x squared plus b x plus c seperti berikut

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell left parenthesis x subscript p comma space y subscript p right parenthesis end cell equals cell left parenthesis negative fraction numerator b over denominator 2 a end fraction comma space minus fraction numerator b squared minus 4 a c over denominator 4 a end fraction right parenthesis end cell row blank equals cell left parenthesis negative fraction numerator 0 over denominator 2 left parenthesis 1 right parenthesis end fraction comma space minus fraction numerator 0 squared minus 4 left parenthesis 1 right parenthesis left parenthesis 0 right parenthesis over denominator 4 left parenthesis 1 right parenthesis end fraction right parenthesis end cell row blank equals cell left parenthesis 0 comma space minus 0 over 4 right parenthesis end cell row blank equals cell left parenthesis 0 comma space 0 right parenthesis end cell end table$

Cari titik-titik pembentuk kurva tersebut

Untuk x equals 2

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell x squared end cell row y equals cell 2 squared end cell row y equals 4 row cell left parenthesis x comma space y right parenthesis end cell equals cell left parenthesis 2 comma space 4 right parenthesis end cell end table

Untuk x equals negative 2

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row y equals cell x squared end cell row y equals cell left parenthesis negative 2 right parenthesis squared space end cell row y equals 4 row cell left parenthesis x comma space y right parenthesis end cell equals cell left parenthesis negative 2 comma space 4 right parenthesis end cell end table

Untuk mengetahui DHP lakukan uji titik

Untuk left parenthesis 0 comma space 1 right parenthesis

y greater or equal than x squared 1 greater or equal than 0 squared 1 greater or equal than 0 space left parenthesis benar right parenthesis

Karena titik left parenthesis 0 comma space 1 right parenthesis benar maka daerah yang terdapat titik merupakan DHP dari y greater or equal than x squared .

Selanjutnya cari DHP dari x squared plus y squared less or equal than 25

Kurva pembatas dari x squared plus y squared less or equal than 25 adalah x squared plus y squared equals 25

Ubah bentuk persamaan tersebut menjadi seperti berikut.

x squared plus y squared equals 25 x squared plus y squared equals 5 squared

x squared plus y squared equals r squared adalah bentuk persamaan lingkaran yang berpusat di left parenthesis 0 comma space 0 right parenthesis dengan adalah jarak antara titik pusat dan kurva pembatas. Jadi dari persamaan diketahui bahwa titik pusat adalah dan r equals 5 .

Cari letak DHP dengan uji titik left parenthesis 0 comma space 0 right parenthesis

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell x squared plus y squared end cell less or equal than 25 row cell 0 squared plus 0 squared end cell less or equal than 25 row 0 less or equal than cell 25 space left parenthesis benar right parenthesis end cell end table

karena titik left parenthesis 0 comma space 0 right parenthesis benar maka daerah yang terdapat titik merupakan DHP dari x squared plus y squared less or equal than 25 .

DHP dari open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell y squared minus x squared greater or equal than 9 end cell row cell y minus x equals 0 end cell row cell y greater or equal than x squared end cell row cell x squared plus y squared less or equal than 25 end cell end table close merupakan irisan dari keempat pertidaksamaan tersebut.

Jadi, DHP dari open curly brackets table attributes columnalign left end attributes row cell y squared minus x squared greater or equal than 9 end cell row cell y minus x equals 0 end cell row cell y greater or equal than x squared end cell row cell x squared plus y squared less or equal than 25 end cell end table close yaitu