Pertanyaan

Luas daerah yang dibatasi oleh parabola y = x + 1 dan garis-garis singgungnya melalui titik ( 0 , 2 3 ) adalah .... satuan luas (UM UNDIP 2016)

Luas daerah yang dibatasi oleh parabola $y = x + 1$ dan garis-garis singgungnya melalui titik $(0, \frac{3}{2})$ adalah .... satuan luas (UM UNDIP 2016)

$\frac{2}{3} 2$
$\frac{2}{3}$
$\frac{2}{3} 3$
$\frac{1}{12}$
$\frac{1}{3} 2$

F. Kurnia

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Jember

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah D.

Pembahasan

Diketahui parabola y = x + 1 , dan titik singgungnya ( 0 , 2 3 ) . Misalkan garis singgung y = m x + c melalui titik ( 0 , 2 3 ) . Substitusikan titik pada persamaan garis singgung sebagai berikut y 2 3 c = = = m x + c m ( 0 ) + c 2 3 Persamaan garis singgungnya adalah y = m x + c . Substitusikan nilai y = m x + 2 3 ⇒ x = m ( y − 2 3 ) Fungsi parabola dapat diubah bentuknya sebagai berikut. y = x + 1 ⇒ x = y − 1 ⇒ x = ( y − 1 ) 2 Kemudian substitusi persamaan garis ke dalam fungsi parabola. x m ( y − 2 3 ) m ( y − 2 3 ) y − 2 3 y − 2 3 = = = = = ( y − 1 ) 2 ( y − 1 ) 2 y 2 − 2 y + 1 m ( y 2 − 2 y + 1 ) m y 2 − 2 m y + m Substitusi persamaan garis ke dalam fungsi parabola sebagai berikut x m ( y − 2 3 ) m ( y − 2 3 ) y − 2 3 2 y − 3 0 = = = = = = ( y − 1 ) 2 ( y − 1 ) 2 y 2 − 2 y + 1 m y 2 − 2 m y + m 2 m y 2 − 4 m y + 2 m 2 m y 2 − ( 4 m + 2 ) y + 2 m + 3 Syarat bersinggungan adalah D = 0 , maka b 2 − 4 a c [ − ( 4 m + 2 ) 2 − 4 ( 2 m ) ( 2 m + 3 ) ] 16 m 2 + 16 m + 4 − 16 m 2 − 24 m − 8 m + 4 − 8 m m = = = = = = 0 0 0 0 − 4 2 1 Didapatkan persamaan garis singgung sebagai berikut y = m x + 2 3 ⇒ y = 2 1 x + 2 3 Ingat bahwa, y 1 = y 2 , maka titik potong garis dan parabola adalah y 1 2 1 x + 2 3 x + 3 ( x + 1 ) 2 x 2 + 2 x + 1 x 2 + 2 x − 4 x + 1 x 2 − 2 x + 1 ( x − 1 ) 2 x = = = = = = = = = y 2 x + 1 2 x + 2 ( 2 x ) 2 4 x 0 0 0 1 Luas daerah arsiran yang dibatasi parabola dan garis singgung tersebut sebagai berikut. L = = = = = = = ∫ 0 1 ( 2 1 x + 2 3 ) − ( x + 1 ) d x ∫ 0 1 2 1 x − x + 2 1 d x [ 4 1 x 2 − 3 2 x 2 3 + 2 1 x ] 0 1 [ 4 1 ( 1 ) 2 − 3 2 ( 1 ) 2 3 + 2 1 ( 1 ) ] − [ 0 ] 4 1 − 3 2 + 2 1 12 3 − 8 + 6 12 1 Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.

Diketahui parabola $y = x + 1$ , dan titik singgungnya $(0, \frac{3}{2})$ .

Misalkan garis singgung $y = m x + c$ melalui titik $(0, \frac{3}{2})$ . Substitusikan titik pada persamaan garis singgung sebagai berikut

$y \frac{3}{2} c = = = m x + c m (0) + c \frac{3}{2}$

Persamaan garis singgungnya adalah $y = m x + c$ . Substitusikan nilai $c$

$y = m x + \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{( y - \frac{3}{2} )}{m}$

Fungsi parabola dapat diubah bentuknya sebagai berikut.

$y = x + 1 \Rightarrow x = y - 1 \Rightarrow x = (y - 1)^{2}$

Kemudian substitusi persamaan garis ke dalam fungsi parabola.

$x \frac{( y - \frac{3}{2} )}{m} \frac{( y - \frac{3}{2} )}{m} y - \frac{3}{2} y - \frac{3}{2} = = = = = (y - 1)^{2} (y - 1)^{2} y^{2} - 2 y + 1 m (y^{2} - 2 y + 1) m y^{2} - 2 m y + m$

Substitusi persamaan garis ke dalam fungsi parabola sebagai berikut

$x \frac{( y - \frac{3}{2} )}{m} \frac{( y - \frac{3}{2} )}{m} y - \frac{3}{2} 2 y - 3 0 = = = = = = (y - 1)^{2} (y - 1)^{2} y^{2} - 2 y + 1 m y^{2} - 2 m y + m 2 m y^{2} - 4 m y + 2 m 2 m y^{2} - (4 m + 2) y + 2 m + 3$

Syarat bersinggungan adalah $D = 0$ , maka

$b^{2} - 4 a c [- (4 m + 2)^{2} - 4 (2 m) (2 m + 3)] 16 m^{2} + 16 m + 4 - 16 m^{2} - 24 m - 8 m + 4 - 8 m m = = = = = = 0000 - 4 \frac{1}{2}$

Didapatkan persamaan garis singgung sebagai berikut

$y = m x + \frac{3}{2} \Rightarrow y = \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$

Ingat bahwa, $y_{1} = y_{2}$ , maka titik potong garis dan parabola adalah

$y_{1} \frac{1}{2} x + \frac{3}{2} x + 3 (x + 1)^{2} x^{2} + 2 x + 1 x^{2} + 2 x - 4 x + 1 x^{2} - 2 x + 1 (x - 1)^{2} x = = = = = = = = = y_{2} x + 1 2 x + 2 (2 x)^{2} 4 x 0001$

Luas daerah arsiran yang dibatasi parabola dan garis singgung tersebut sebagai berikut.

$L = = = = = = = \int_{0}^{1} (\frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) - (x + 1) d x \int_{0}^{1} \frac{1}{2} x - x + \frac{1}{2} d x [\frac{1}{4} x^{2} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} x]_{0}^{1} [\frac{1}{4} (1)^{2} - \frac{2}{3} (1)^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2} (1)] - [0] \frac{1}{4} - \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \frac{3 - 8 + 6}{12} \frac{1}{12}$