Luas daerah persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah yang dibatasi kurva y=31x2 dan y = 5 adalah . . . satuan luas.

Pertanyaan

Luas daerah persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah yang dibatasi kurva $y=\frac13x^2$ dan $y\;=\;5$ adalah . . . satuan luas.

$\frac{16}3\sqrt5$
$\frac{17}3\sqrt5$
$6\sqrt5$
$\frac{19}3\sqrt5$
$\frac{20}3\sqrt5$

N. Puspita

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah E.

Pembahasan

1. Buat sketsa kurva $y=\frac13x^2$ dan $y=5$

$y=\frac13x^2$

- Koefisien dari $x^2$ adalah $\frac13>0$ maka kurva akan menghadap ke atas.

- Titik potong terhadap sumbu- Y

$\mathrm{Substitusi}\;x=0\\y=\frac13x^2\\y=\frac13\left(0\right)^2\\y=0\\\left(0,0\right)$

- Titik potong terhadap sumbu- X

$\mathrm{Substitusi}\;y=0\\y=\frac13x^2\\0=\frac13x^2\\0=x\\\left(0,0\right)$

Sehingga titik potong terhadap sumbu- X dan Y adalah $\left(0,\;0\right)$

- Koordinat titik balik

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row P equals cell open parentheses negative fraction numerator b over denominator 2 a end fraction comma negative fraction numerator b squared minus 4 a c over denominator 4 a end fraction close parentheses end cell row blank equals cell open parentheses negative fraction numerator 0 over denominator begin display style 2 1 third end style end fraction comma negative fraction numerator 0 squared minus 4 times begin display style 1 third end style times 0 over denominator 4 times begin display style 1 third end style end fraction close parentheses end cell row blank equals cell open parentheses 0 comma 0 close parentheses end cell end table$

- Titik lain yang mewakili

$x=-3\\y=\frac13x^2\\y=\frac13\left(-3\right)^2\\y=\frac13\cdot9\\y=3\\\left(-3,\;3\right)$

$x=3\\y=\frac13x^2\\y=\frac13\left(3\right)^2\\y=\frac13\cdot9\\y=3\\\left(3,\;3\right)$

Sehingga akan diperoleh sketsa seperti berikut.

Buat sebuah persegi panjang (sebagai pemisalan) yang dibatasi $y=\frac13x^2$ dan $y=5$ .

2. Cari fungsi luas persegi panjang

Karena kurva meleati titik $\left(a,b\right)$ , maka:

$y=\frac13x^2\\b=\frac13a^2$

Misalkan panjang persegi panjang adala BC dan lebarnya adalah AB, maka diperoleh:

$p=BC=2a\\l=AB=5-b=5-\frac13a^2\\$

$\begin{array}{rcl}L&=&p\times l\\&=&{2a\times(5-\frac13a^2)}\\&=&10a-\frac23a^3\end{array}$

Untuk mencari nilai maksimum, turunkan fungsi dan sama dengankan dengan nol.

$\begin{array}{rcl}L&=&10a-\frac23a^3\\L^'&=&10-2a^2\\0&=&10-2a^2\\2a^2&=&10\\a&=&\pm\sqrt5\\&&\\&&\end{array}$

Karena panjang tidak mungkin bernilai negatif, maka diperoleh nilai $a=\sqrt5$ .

Sehingga, luas masimum persegi panjang tersebut:

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row L equals cell 10 a minus 2 over 3 a cubed end cell row blank equals cell 10 square root of 5 minus 2 over 3 square root of 5 cubed end cell row blank equals cell 10 square root of 5 minus 2 over 3 times 5 times square root of 5 end cell row blank equals cell open parentheses fraction numerator 30 minus 10 over denominator 3 end fraction close parentheses square root of 5 end cell row blank equals cell 20 over 3 square root of 5 end cell end table$

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah E.

1rb+

5.0 (6 rating)

Aliya F

Pembahasan lengkap banget Bantu banget Makasih ❤️ Ini yang aku cari! Mudah dimengerti

Pertanyaan serupa

Sebuah taman berbentuk gabungan persegi panjang dan setengah lingkaran seperti pada gambar berikut ini. Diketahui keliling taman tersebut adalah K satuan panjang. Agar luas taman mencapai maksimum,...

1.0

Jawaban terverifikasi

Dua bilangan bulat m dan n memenuhi hubungan 3m−n=60. Nilai minimum dari p=m2+n2 adalah ...

0.0

Jawaban terverifikasi

Suatu benda bergerak dengan persamaan gerak yang dinyatakan oleh s(t)=31t3−2t2+6t+3 satuan jarak s(t) dinyatakan dalam meter dan satuan waktu t dinyatakan dalam detik. Apabila pada saat percepatan me...

1rb+

5.0

Jawaban terverifikasi

Seorang anak berjalan dengan persamaan gerak yang dinyatakan oleh s(t)=31t3−27t2+12t+2 dengan satuan jarak s(t) adalah meter dan satuan waktu t adalah detik. Pada saat percepatan menjadi 3 m/detik2,...

3.0

Jawaban terverifikasi

Laju pertumbuhan penduduk suatu kota untuk t tahun yang akan datang dinyatakan sebagai berikut: N(t)=400t+600t, 0≤t≤9 Jika penduduk saat ini adalah 5.000 jiwa, maka banyaknya penduduk 9 tahun yang ak...

3rb+

4.0

Jawaban terverifikasi