Pertanyaan

Luas daerah persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah yang dibatasikurva y = 3 1 x 2 dan y = 5 adalah . . . satuan luas.

Luas daerah persegi panjang terbesar yang dapat dibuat dalam daerah yang dibatasi kurva $y = \frac{1}{3} x^{2}$ dan $y = 5$ adalah . . . satuan luas.

$\frac{16}{3} 5$
$\frac{17}{3} 5$
$65$
$\frac{19}{3} 5$
$\frac{20}{3} 5$

N. Puspita

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah E.

Pembahasan

1. Buat sketsa kurva y = 3 1 x 2 dan y = 5 y = 3 1 x 2 - Koefisien dari x 2 adalah 3 1 > 0 maka kurva akan menghadap ke atas. - Titik potong terhadap sumbu- Y Substitusi x = 0 y = 3 1 x 2 y = 3 1 ( 0 ) 2 y = 0 ( 0 , 0 ) - Titik potong terhadap sumbu-X Substitusi y = 0 y = 3 1 x 2 0 = 3 1 x 2 0 = x ( 0 , 0 ) Sehingga titik potong terhadap sumbu- X dan Y adalah ( 0 , 0 ) - Koordinat titik balik P = = = ( − 2 a b , − 4 a b 2 − 4 a c ) ⎝ ⎛ − 2 3 1 0 , − 4 ⋅ 3 1 0 2 − 4 ⋅ 3 1 ⋅ 0 ⎠ ⎞ ( 0 , 0 ) - Titik lain yang mewakili x = − 3 y = 3 1 x 2 y = 3 1 ( − 3 ) 2 y = 3 1 ⋅ 9 y = 3 ( − 3 , 3 ) x = 3 y = 3 1 x 2 y = 3 1 ( 3 ) 2 y = 3 1 ⋅ 9 y = 3 ( 3 , 3 ) Sehingga akan diperoleh sketsa seperti berikut. Buat sebuah persegi panjang (sebagai pemisalan) yang dibatasi y = 3 1 x 2 dan y = 5 . 2. Cari fungsi luas persegi panjang Karena kurva meleati titik ( a , b ) , maka: y = 3 1 x 2 b = 3 1 a 2 Misalkan panjang persegi panjang adala BC dan lebarnya adalah AB, maka diperoleh: p = BC = 2 a l = A B = 5 − b = 5 − 3 1 a 2 L = = = p × l 2 a × ( 5 − 3 1 a 2 ) 10 a − 3 2 a 3 Untuk mencari nilai maksimum, turunkan fungsi dan sama dengankan dengan nol. L L ′ 0 2 a 2 a = = = = = 10 a − 3 2 a 3 10 − 2 a 2 10 − 2 a 2 10 ± 5 Karena panjang tidak mungkin bernilai negatif, maka diperoleh nilai a = 5 . Sehingga, luas masimum persegi panjang tersebut: L = = = = = 10 a − 3 2 a 3 10 5 − 3 2 5 3 10 5 − 3 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ( 3 30 − 10 ) 5 3 20 5 Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah E.

1. Buat sketsa kurva $y = \frac{1}{3} x^{2}$ dan $y = 5$

$y = \frac{1}{3} x^{2}$

- Koefisien dari $x^{2}$ adalah $\frac{1}{3} > 0$ maka kurva akan menghadap ke atas.

- Titik potong terhadap sumbu- Y

$Substitusi x = 0 y = \frac{1}{3} x^{2} y = \frac{1}{3} (0)^{2} y = 0 (0, 0)$

- Titik potong terhadap sumbu- X

$Substitusi y = 0 y = \frac{1}{3} x^{2} 0 = \frac{1}{3} x^{2} 0 = x (0, 0)$

Sehingga titik potong terhadap sumbu- X dan Y adalah $(0, 0)$

- Koordinat titik balik

$P = = = (- \frac{b}{2 a}, - \frac{b ^{2} - 4 a c}{4 a}) ⎝ ⎛ - \frac{0}{2 \frac{1}{3}}, - \frac{0 ^{2} - 4 \cdot \frac{1}{3} \cdot 0}{4 \cdot \frac{1}{3}} ⎠ ⎞ (0, 0)$

- Titik lain yang mewakili

$x = - 3 y = \frac{1}{3} x^{2} y = \frac{1}{3} (- 3)^{2} y = \frac{1}{3} \cdot 9 y = 3 (- 3, 3)$

$x = 3 y = \frac{1}{3} x^{2} y = \frac{1}{3} (3)^{2} y = \frac{1}{3} \cdot 9 y = 3 (3, 3)$

Sehingga akan diperoleh sketsa seperti berikut.

Buat sebuah persegi panjang (sebagai pemisalan) yang dibatasi $y = \frac{1}{3} x^{2}$ dan $y = 5$ .

2. Cari fungsi luas persegi panjang

Karena kurva meleati titik $(a, b)$ , maka:

$y = \frac{1}{3} x^{2} b = \frac{1}{3} a^{2}$

Misalkan panjang persegi panjang adala BC dan lebarnya adalah AB, maka diperoleh:

$p = BC = 2 a l = A B = 5 - b = 5 - \frac{1}{3} a^{2}$

$L = = = p \times l 2 a \times (5 - \frac{1}{3} a^{2}) 10 a - \frac{2}{3} a^{3}$

Untuk mencari nilai maksimum, turunkan fungsi dan sama dengankan dengan nol.

$L L^{'} 0 2 a^{2} a = = = = = 10 a - \frac{2}{3} a^{3} 10 - 2 a^{2} 10 - 2 a^{2} 10 \pm 5$

Karena panjang tidak mungkin bernilai negatif, maka diperoleh nilai $a = 5$ .

Sehingga, luas masimum persegi panjang tersebut:

$L = = = = = 10 a - \frac{2}{3} a^{3} 105 - \frac{2}{3} 5^{3} 105 - \frac{2}{3} \cdot 5 \cdot 5 (\frac{30 - 10}{3}) 5 \frac{20}{3} 5$

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah E.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.4 (7 rating)

Aliya F

Pembahasan lengkap banget Bantu banget Makasih ❤️ Ini yang aku cari! Mudah dimengerti

Pertanyaan serupa

Kolam renang berbentuk gabungan persegi panjang dan setengah lingkaran seperti gambar berikut. Keliling kolam renang sama dengan satuan panjang. Agar luas kolam renang maksimum maka x = ... satuan pan...

4.0

Jawaban terverifikasi

Laju pertumbuhan penduduk suatu kota untuk t tahun yang akan datang dinyatakan sebagai berikut: N ( t ) = 400 t + 600 t , 0 ≤ t ≤ 9 Jika penduduk saat ini adalah 5.000 jiwa, maka banyaknya pendud...

119

4.8

Jawaban terverifikasi

Dua bilangan bulat m dan n memenuhi hubungan 3 m − n = 60 . Nilai minimum dari p = m 2 + n 2 adalah ...

0.0

Jawaban terverifikasi

Seorang anak berjalan dengan persamaan gerak yang dinyatakan oleh s ( t ) = 3 1 t 3 − 2 7 t 2 + 12 t + 2 dengan satuan jarak s ( t ) adalah meter dan satuan waktu t adalah detik. Pada saat percepa...

3.0

Jawaban terverifikasi

Suatu benda bergerak dengan persamaan gerak yang dinyatakan oleh s ( t ) = 3 1 t 3 − 2 t 2 + 6 t + 3 satuan jarak s ( t ) dinyatakan dalam meter dan satuan waktu t dinyatakan dalam detik. Apabila pa...

3.8

Jawaban terverifikasi