Pertanyaan

Jika ( 1 − sin θ cos θ ) = a untuk θ  = 2 π , tentukan tan 2 θ .

Jika $(\frac{cos θ}{1 - sin θ}) = a$ untuk $θ \neq = \frac{π}{2}$ , tentukan $tan \frac{θ}{2}$ . $\;\;$

M. Claudia

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Nusa Cendana Kupang

Jawaban terverifikasi

Jawaban

tan 2 θ = a + 1 a − 1 .

tan \frac{θ}{2} = \frac{a - 1}{a + 1}

. $\;\;$

Pembahasan

Ingat, Sudut Rangkap (cos) cos 2 A = cos 2 A − sin 2 A Sudut Rangkap (sinus) sin 2 A = 2 sin A cos A Identitas Trigonometri sin 2 A + cos 2 A = 1 Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh sebagai berikut ( 1 − s i n θ c o s θ ) = a ↔ s i n 2 θ + c o s 2 θ − 2 s i n 2 θ c o s 2 θ c o s 2 2 θ − s i n 2 2 θ = a ↔ ( s i n 2 θ − c o s 2 θ ) 2 ( c o s 2 θ − s i n 2 θ ) ( c o s 2 θ + s i n 2 θ ) = a ↔ ( s i n 2 θ − c o s 2 θ ) ( s i n 2 θ − c o s 2 θ ) − ( s i n 2 θ − c o s 2 θ ) ( c o s 2 θ + s i n 2 θ ) = a ↔ ( s i n 2 θ − c o s 2 θ ) − ( c o s 2 θ + s i n 2 θ ) = a ↔ − sin 2 θ − cos 2 θ = asin 2 θ − acos 2 θ ↔ − asin 2 θ − sin 2 θ = − acos 2 θ + cos 2 θ ↔ sin 2 θ ( − a − 1 ) = cos 2 θ ( − a + 1 ) ↔ c o s 2 θ s i n 2 θ = ( − a − 1 ) ( − a + 1 ) ↔ tan 2 θ = − ( a + 1 ) − ( a − 1 ) ↔ tan 2 θ = a + 1 a − 1 Dengan demikian, tan 2 θ = a + 1 a − 1 .

Ingat,

Sudut Rangkap (cos)

$cos 2 A = cos^{2} A - sin^{2} A$

Sudut Rangkap (sinus)

$sin 2 A = 2 sin A cos A$

Identitas Trigonometri

$sin^{2} A + cos^{2} A = 1$

Berdasarkan rumus tersebut, diperoleh sebagai berikut

$(\frac{c o s θ}{1 - s i n θ}) = a \leftrightarrow \frac{c o s ^{2} \frac{θ}{2} - s i n ^{2} \frac{θ}{2}}{s i n ^{2} θ + c o s ^{2} θ - 2 s i n \frac{θ}{2} c o s \frac{θ}{2}} = a \leftrightarrow \frac{( c o s \frac{θ}{2} - s i n \frac{θ}{2} ) ( c o s \frac{θ}{2} + s i n \frac{θ}{2} )}{( s i n \frac{θ}{2} - c o s \frac{θ}{2} ) ^{2}} = a \leftrightarrow \frac{- ( s i n \frac{θ}{2} - c o s \frac{θ}{2} ) ( c o s \frac{θ}{2} + s i n \frac{θ}{2} )}{( s i n \frac{θ}{2} - c o s \frac{θ}{2} ) ( s i n \frac{θ}{2} - c o s \frac{θ}{2} )} = a \leftrightarrow \frac{- ( c o s \frac{θ}{2} + s i n \frac{θ}{2} )}{( s i n \frac{θ}{2} - c o s \frac{θ}{2} )} = a \leftrightarrow - sin \frac{θ}{2} - cos \frac{θ}{2} = asin \frac{θ}{2} - acos \frac{θ}{2} \leftrightarrow - asin \frac{θ}{2} - sin \frac{θ}{2} = - acos \frac{θ}{2} + cos \frac{θ}{2} \leftrightarrow sin \frac{θ}{2} (- a - 1) = cos \frac{θ}{2} (- a + 1) \leftrightarrow \frac{s i n \frac{θ}{2}}{c o s \frac{θ}{2}} = \frac{( - a + 1 )}{( - a - 1 )} \leftrightarrow tan \frac{θ}{2} = \frac{- ( a - 1 )}{- ( a + 1 )} \leftrightarrow tan \frac{θ}{2} = \frac{a - 1}{a + 1}$