Pertanyaan

Tanpa menggunakan tabel matematika matematika maupun kalkulator, tentukan nilai dari: i. sin 3 6 ∘

Tanpa menggunakan tabel matematika matematika maupun kalkulator, tentukan nilai dari:

i. $sin 3 6^{\circ}$

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

nilai sin 3 6 ∘ adalah 4 10 − 2 5

nilai

sin 3 6^{\circ}

adalah

\frac{10 - 2 5}{4}

Pembahasan

Ingat kembali rumus: sin ( 90 − a ) = cos a sin 2 A = 2 sin A ⋅ cos A cos 3 A = 4 cos 3 − 3 cos A cos 2 A = 1 − sin 2 A cos 2 A = 1 − 2 sin 2 A Ingat kembali rumus ABC, x 1 , 2 = 2 a − b ± b 2 − 4 a c Sehingga diperoleh perhitungan: Ingat bahwa sin A sin 36 sin 36 sin 36 sin 2 ⋅ 18 sin 2 A 2 sin A ⋅ cos A 2 sin A ⋅ cos A 2 sin A 2 sin A 2 sin A 2 sin A 4 sin 2 + 2 sin A + 3 4 x 2 + 2 x + 3 = = = = = = = = = = = = = = cos ( 90 − A ) cos ( 90 − 36 ) cos 54 cos 3 ⋅ 18 cos 3 ⋅ 18 ( misal A = 18 ) sin 3 A 4 cos 3 A − 3 cos A ( 4 cos 2 A − 3 ) cos A 4 cos 2 A − 3 4 ( 1 − sin 2 A ) − 3 4 ( 1 − sin 2 A ) − 3 4 − 4 sin 2 A − 3 0 ( misalkan x = sin A ) 0 , a = 4 , b = 2 , c = 3 Dengan menggunakan rumus ABC, maka: x 1 , 2 = = = = = 2 a − b ± b 2 − 4 a c 2 ⋅ 4 − 2 ± 2 2 − 4 ( 4 ) ( − 1 ) 8 − 2 ± 20 8 − 2 ± 2 5 4 − 1 ± 5 Sehingga, kita peroleh nilai x = 4 − 1 ± 5 sehingga, sin A = sin 1 8 ∘ = 4 − 1 ± 5 , karena 1 8 ∘ berada di kuadran I, maka bernilai positi, sehingga sin 1 8 ∘ = 4 − 1 + 5 . Kemudian, cos 2 A cos 2 ⋅ 18 cos 3 6 ∘ = = = = = = = 1 − 2 sin 2 A 1 − 2 ( 4 − 1 + 5 ) 2 1 − 2 ( 16 6 − 2 5 ) 1 − 8 6 − 2 5 1 − 4 3 − 5 4 4 − 3 − 5 4 1 − 5 Selanjunya, dengan menggunakan rumus identitas: sin 2 A sin 36 = = = = = = = 1 − cos 2 A 1 − cos 36 1 − ( 4 1 − 5 ) 2 1 − 16 6 + 2 5 16 16 − ( 6 + 2 5 ) 16 10 − 2 5 4 10 − 2 5 Dengan demikian, nilai sin 3 6 ∘ adalah 4 10 − 2 5

Ingat kembali rumus:

$sin (90 - a) = cos a$

$sin 2 A = 2 sin A \cdot cos A$

$cos^{3} A = 4 cos^{3} - 3 cos A$

$cos^{2} A = 1 - sin^{2} A$

$cos 2 A = 1 - 2 sin^{2} A$

Ingat kembali rumus ABC,

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}$

Sehingga diperoleh perhitungan:

Ingat bahwa

$sin A sin 36 sin 36 sin 36 sin 2 \cdot 18 sin 2 A 2 sin A \cdot cos A 2 sin A \cdot cos A 2 sin A 2 sin A 2 sin A 2 sin A 4 sin^{2} + 2 sin A + 3 4 x^{2} + 2 x + 3 = = = = = = = = = = = = = = cos (90 - A) cos (90 - 36) cos 54 cos 3 \cdot 18 cos 3 \cdot 18 (misal A = 18) sin 3 A 4 cos^{3} A - 3 cos A (4 cos^{2} A - 3) cos A 4 cos^{2} A - 3 4 (1 - sin^{2} A) - 3 4 (1 - sin^{2} A) - 3 4 - 4 sin^{2} A - 3 0 (misalkan x = sin A) 0, a = 4, b = 2, c = 3$

Dengan menggunakan rumus ABC, maka:

$x_{1, 2} = = = = = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a} \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 ( 4 ) ( - 1 )}{2 \cdot 4} \frac{- 2 \pm 20}{8} \frac{- 2 \pm 2 5}{8} \frac{- 1 \pm 5}{4}$

Sehingga, kita peroleh nilai $x = \frac{- 1 \pm 5}{4}$ sehingga, $sin A = sin 1 8^{\circ} = \frac{- 1 \pm 5}{4}$ , karena $1 8^{\circ}$ berada di kuadran I, maka bernilai positi, sehingga $sin 1 8^{\circ} = \frac{- 1 + 5}{4}$ .

Kemudian,

$cos 2 A cos 2 \cdot 18 cos 3 6^{\circ} = = = = = = = 1 - 2 sin^{2} A 1 - 2 (\frac{- 1 + 5}{4})^{2} 1 - 2 (\frac{6 - 2 5}{16}) 1 - \frac{6 - 2 5}{8} 1 - \frac{3 - 5}{4} \frac{4 - 3 - 5}{4} \frac{1 - 5}{4}$

Selanjunya, dengan menggunakan rumus identitas:

$sin^{2} A sin 36 = = = = = = = 1 - cos^{2} A 1 - cos 36 1 - (\frac{1 - 5}{4})^{2} 1 - \frac{6 + 2 5}{16} \frac{16 - ( 6 + 2 5 )}{16} \frac{10 - 2 5}{16} \frac{10 - 2 5}{4}$