Pada segitiga siku-siku ABC berlaku cos A ⋅ cos B = 3 1 ​ . Tentukan nilai dari cos 2 A .

Pembahasan

Diketahui bahwa: cos A ⋅ cos B = 3 1 ​ Karena nilai cosinus dari sudut istimewa 9 0 ∘ yaitu cos 9 0 ∘ = 0 .Maka dari persamaan tersebut, diperoleh bahwa besar sudut A dan sudutB tidak sama dengan 9 0 ∘ . Sehingga, sudut siku-siku dari segitiga siku-siku ABC merupakan sudut C. Jumlah dari sudut-sudut dalamsegitiga adalah 18 0 ∘ . Maka: A + B + C A + B + 9 0 ∘ A + B B ​ = = = = ​ 18 0 ∘ 18 0 ∘ 18 0 ∘ − 9 0 ∘ 9 0 ∘ − A ​ Jika B = 9 0 ∘ − A disubstitusi ke cos A ⋅ cos B = 3 1 ​ , maka diperoleh: cos A ⋅ cos B cos A ⋅ cos ( 9 0 ∘ − A ) ​ = = ​ 3 1 ​ 3 1 ​ ​ Ingat bahwa: cos ( 9 0 ∘ − A ) = sin A Maka, cos A ⋅ cos ( 9 0 ∘ − A ) cos A ⋅ sin A ​ = = ​ 3 1 ​ 3 1 ​ ​ Kita tahu bahwa rumus sinus sudut rangkap: sin 2 α sin α ⋅ cos α ​ = = ​ 2 ⋅ sin α ⋅ cos α 2 s i n 2 α ​ ​ Berdasarkan hal itu, diperoleh bahwa: cos A ⋅ sin A 2 s i n 2 A ​ sin 2 A ​ = = = ​ 3 1 ​ 3 1 ​ 3 2 ​ ​ Hal yang ditanyakan pada soal adalah nilai dari cos 2 A . Dari identitas trigonometri sin 2 α + cos 2 α = 1 , diperoleh persamaan berikut: sin 2 2 A + cos 2 2 A ( 3 2 ​ ) 2 + cos 2 2 A 9 4 ​ + cos 2 2 A cos 2 2 A cos 2 A ​ = = = = = = = = ​ 1 1 1 1 − 9 4 ​ ± 9 9 ​ − 9 4 ​ ​ ± 9 5 ​ ​ ± 9 ​ 5 ​ ​ ± 3 5 ​ ​ ​ Dengan demikian, nilai dari cos 2 A adalah ± 3 5 ​ ​ .