Pertanyaan

Jika A + B + C = π , tunjukkan bahwa cos ( 2 A ) + cos ( 2 B ) + cos ( 2 C ) = 4 cos ( 4 B + C ) cos ( 4 A + C ) cos ( 4 A + B )

Jika $A + B + C = π$ , tunjukkan bahwa

$cos (\frac{A}{2}) + cos (\frac{B}{2}) + cos (\frac{C}{2}) = 4 cos (\frac{B + C}{4}) cos (\frac{A + C}{4}) cos (\frac{A + B}{4})$

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat bahwa : Sudut rangkap pada sinus sin 2 A = 2 sin A cos A Sudut relasi di kuadran I pada sinus sin ( 9 0 ∘ − α ) = cos α cos ( 9 0 ∘ − α ) = sin α sudut relasi I cos ( − x ) = cos x Rumus penjumlahan cosinus cos α + cos β = 2 cos 2 1 ( α + β ) cos 2 1 ( α − β ) Dari soal diketahui A + B + C A + B 2 A + B sin ( 2 A + B ) cos ( 2 A + B ) = = = = = = = π π − C 2 π − 2 C sin ( 2 π − 2 C ) cos ( 2 C ) cos ( 2 π − 2 C ) sin ( 2 C ) Sehingga = = = = = = = = = = = = cos ( 2 A ) + cos ( 2 B ) + cos ( 2 C ) ( cos ( 2 A ) + cos ( 2 B ) ) + cos ( 2 C ) ( 2 cos 2 1 ( 2 A + 2 B ) cos 2 1 ( 2 A − 2 B ) ) + sin ( 2 A + B ) 2 cos ( 4 A + B ) cos ( 4 A − B ) + 2 sin ( 4 A + B ) cos ( 4 A + B ) 2 cos ( 4 A + B ) [ cos ( 4 A − B ) + sin ( 4 A + B ) ] 2 cos ( 4 A + B ) [ cos ( 4 A − B ) + cos ( 2 π − ( 4 A + B ) ) ] 2 cos ( 4 A + B ) [ cos ( 4 A − B ) + cos ( 4 2 π − ( A + B ) ) ] 2 cos ( 4 A + B ) [ 2 cos 2 1 ( 4 A − B + 4 2 π − A − B ) cos 2 1 ( 4 A − B − 4 ( 2 π − A − B ) ) ] 2 cos ( 4 A + B ) [ 2 cos 2 1 ( 4 2 π − 2 B ) cos 2 1 ( 4 2 A − 2 π ) ] 2 cos ( 4 A + B ) [ 2 cos ( 4 π − B ) cos ( 4 A − π ) ] 4 cos ( 4 A + B ) cos ( 4 π − B ) cos ( 4 π − A ) 4 cos ( 4 A + B ) cos ( 4 A + C ) cos ( 4 B + C ) 4 cos ( 4 B + C ) cos ( 4 A + C ) cos ( 4 A + B ) ( terbukti ) Dengan demikian benar bahwa cos ( 2 A ) + cos ( 2 B ) + cos ( 2 C ) = 4 cos ( 4 B + C ) cos ( 4 A + C ) cos ( 4 A + B )

Ingat bahwa :

Sudut rangkap pada sinus

$sin 2 A = 2 sin A cos A$

Sudut relasi di kuadran I pada sinus

$sin (9 0^{\circ} - α) = cos α cos (9 0^{\circ} - α) = sin α$

sudut relasi I

$cos (- x) = cos x$

Rumus penjumlahan cosinus

$cos α + cos β = 2 cos \frac{1}{2} (α + β) cos \frac{1}{2} (α - β)$

Dari soal diketahui

$A + B + C A + B \frac{A + B}{2} sin (\frac{A + B}{2}) cos (\frac{A + B}{2}) = = = = = = = π π - C \frac{π}{2} - \frac{C}{2} sin (\frac{π}{2} - \frac{C}{2}) cos (\frac{C}{2}) cos (\frac{π}{2} - \frac{C}{2}) sin (\frac{C}{2})$

Sehingga

$= = = = = = = = = = = = cos (\frac{A}{2}) + cos (\frac{B}{2}) + cos (\frac{C}{2}) (cos (\frac{A}{2}) + cos (\frac{B}{2})) + cos (\frac{C}{2}) (2 cos \frac{1}{2} (\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) cos \frac{1}{2} (\frac{A}{2} - \frac{B}{2})) + sin (\frac{A + B}{2}) 2 cos (\frac{A + B}{4}) cos (\frac{A - B}{4}) + 2 sin (\frac{A + B}{4}) cos (\frac{A + B}{4}) 2 cos (\frac{A + B}{4}) [cos (\frac{A - B}{4}) + sin (\frac{A + B}{4})] 2 cos (\frac{A + B}{4}) [cos (\frac{A - B}{4}) + cos (\frac{π}{2} - (\frac{A + B}{4}))] 2 cos (\frac{A + B}{4}) [cos (\frac{A - B}{4}) + cos (\frac{2 π - ( A + B )}{4})] 2 cos (\frac{A + B}{4}) [2 cos \frac{1}{2} (\frac{A - B}{4} + \frac{2 π - A - B}{4}) cos \frac{1}{2} (\frac{A - B}{4} - \frac{( 2 π - A - B )}{4})] 2 cos (\frac{A + B}{4}) [2 cos \frac{1}{2} (\frac{2 π - 2 B}{4}) cos \frac{1}{2} (\frac{2 A - 2 π}{4})] 2 cos (\frac{A + B}{4}) [2 cos (\frac{π - B}{4}) cos (\frac{A - π}{4})] 4 cos (\frac{A + B}{4}) cos (\frac{π - B}{4}) cos (\frac{π - A}{4}) 4 cos (\frac{A + B}{4}) cos (\frac{A + C}{4}) cos (\frac{B + C}{4}) 4 cos (\frac{B + C}{4}) cos (\frac{A + C}{4}) cos (\frac{A + B}{4}) (terbukti)$

Dengan demikian benar bahwa $cos (\frac{A}{2}) + cos (\frac{B}{2}) + cos (\frac{C}{2}) = 4 cos (\frac{B + C}{4}) cos (\frac{A + C}{4}) cos (\frac{A + B}{4})$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.0 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Buktikan setiap identitas berikut. sin A + sin B + sin C sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 8 sin ( 2 A ) sin ( 2 B ) sin ( 2 C )

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika A + B + C = π , tunjukkan bahwa cos ( 2 A ) + cos ( 2 B ) + cos ( 2 C ) = 4 cos ( 4 π + A ) cos ( 4 π + B ) cos ( 4 π − C )

0.0

Jawaban terverifikasi

Jika A, B, dan C merupakan sudut-sudut dalam sebuah segitiga ABC dan cos θ ( sin B + sin C ) = sin A Buktikanbahwa tan 2 2 θ = tan ( 2 B ) tan ( 2 C )

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika A + B + C = π , tunjukkan bahwa ( sin A + sin B + sin C ) ( − sin A + sin B + sin C ) ( sin A − sin B + sin C ) ( sin A + sin B − sin C ) = 4 sin 2 A sin 2 B sin 2 C

0.0

Jawaban terverifikasi

Jika A + B + C + D = 2 π , tunjukkan bahwa. cos A + cos B + cos C + cos D = − 4 cos ( 2 A + B ) cos ( 2 A + C ) cos ( 2 A + D )

0.0

Jawaban terverifikasi