Pertanyaan

Jika A + B + C = π , tunjukkan bahwa cos ( 2 A ) + cos ( 2 B ) + cos ( 2 C ) = 4 cos ( 4 π + A ) cos ( 4 π + B ) cos ( 4 π − C )

Jika $A + B + C = π$ , tunjukkan bahwa

$cos (\frac{A}{2}) + cos (\frac{B}{2}) + cos (\frac{C}{2}) = 4 cos (\frac{π + A}{4}) cos (\frac{π + B}{4}) cos (\frac{π - C}{4})$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat bahwa : Rumus jumlah Trigonometri yaitu cos A + cos B = 2 cos 2 1 ( A + B ) cos 2 1 ( A − B ) Sudut relasi di kuadran I pada sinus dan cosinus sin ( 9 0 ∘ − α ) cos ( − a ) = = cos α cos α Nilai cos di kuadran II dan kuadran III adalah sama cos ( π − A ) = cos ( π + A ) Sudut rangkap pada sinus sin 2 A sin A = = 2 sin A cos A 2 sin 2 1 A cos 2 1 A Pada segitiga ABC, maka berlaku A + B + C A + B C cos 2 C = = = = = = π π − C 18 0 ∘ − ( A + B ) cos 2 1 ( 18 0 ∘ − ( A + B ) ) cos ( 2 π − 2 ( A + B ) ) sin ( 2 A + B ) Sehingga cos ( 2 A ) + cos ( 2 B ) + cos ( 2 C ) = ( cos ( 2 A ) + cos ( 2 B ) ) + cos ( 2 C ) = ( 2 cos 2 1 ( 2 A + 2 B ) cos 2 1 ( 2 A − 2 B ) ) + sin ( 2 A + B ) = ( 2 cos ( 4 A + B ) cos ( 4 A − B ) ) + 2 sin ( 4 A + B ) cos ( 4 A + B ) = 2 cos ( 4 A + B ) [ cos ( 4 A − B ) + sin ( 4 A + B ) ] = 2 cos ( 4 π − C ) [ cos ( 4 A − B ) + cos ( 2 π − 4 A + B ) ] = 2 cos ( 4 π − C ) [ cos ( 4 A − B ) + cos ( 4 2 π − 4 ( A + B ) ) ] = 2 cos ( 4 π − C ) [ 2 cos 2 1 ( 4 A − B + 4 ( 2 π − A − B ) ) cos 2 1 ( 4 A − B − 4 ( 2 π − A − B ) ) ] = 2 cos ( 4 π − C ) [ 2 cos 2 1 ( 4 2 π − 2 B ) cos 2 1 ( 4 2 A − 2 π ) ] = 2 cos ( 4 π − C ) [ 2 cos ( 4 π − B ) cos ( 4 A − π ) ] = 2 cos ( 4 π − C ) [ 2 cos ( 4 π − B ) cos − ( 4 π − A ) ] = 2 cos ( 4 π − C ) [ 2 cos ( 4 π − B ) cos ( 4 π − A ) ] = 4 cos ( 4 π + A ) cos ( 4 π + B ) cos ( 4 π − C ) ( terbukti ) Dengan demikian benar bahwa cos ( 2 A ) + cos ( 2 B ) + cos ( 2 C ) = 4 cos ( 4 π + A ) cos ( 4 π + B ) cos ( 4 π − C )

Ingat bahwa :

Rumus jumlah Trigonometri yaitu

$cos A + cos B = 2 cos \frac{1}{2} (A + B) cos \frac{1}{2} (A - B)$

Sudut relasi di kuadran I pada sinus dan cosinus

$sin (9 0^{\circ} - α) cos (- a) = = cos α cos α$

Nilai cos di kuadran II dan kuadran III adalah sama

$cos (π - A) = cos (π + A)$

Sudut rangkap pada sinus

$sin 2 A sin A = = 2 sin A cos A 2 sin \frac{1}{2} A cos \frac{1}{2} A$

Pada segitiga ABC, maka berlaku

$A + B + C A + B C cos \frac{C}{2} = = = = = = π π - C 18 0^{\circ} - (A + B) cos \frac{1}{2} (18 0^{\circ} - (A + B)) cos (\frac{π}{2} - \frac{( A + B )}{2}) sin (\frac{A + B}{2})$

Sehingga

$cos (\frac{A}{2}) + cos (\frac{B}{2}) + cos (\frac{C}{2}) = (cos (\frac{A}{2}) + cos (\frac{B}{2})) + cos (\frac{C}{2}) = (2 cos \frac{1}{2} (\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) cos \frac{1}{2} (\frac{A}{2} - \frac{B}{2})) + sin (\frac{A + B}{2}) = (2 cos (\frac{A + B}{4}) cos (\frac{A - B}{4})) + 2 sin (\frac{A + B}{4}) cos (\frac{A + B}{4}) = 2 cos (\frac{A + B}{4}) [cos (\frac{A - B}{4}) + sin (\frac{A + B}{4})] = 2 cos (\frac{π - C}{4}) [cos (\frac{A - B}{4}) + cos (\frac{π}{2} - \frac{A + B}{4})] = 2 cos (\frac{π - C}{4}) [cos (\frac{A - B}{4}) + cos (\frac{2 π}{4} - \frac{( A + B )}{4})] = 2 cos (\frac{π - C}{4}) [2 cos \frac{1}{2} (\frac{A - B}{4} + \frac{( 2 π - A - B )}{4}) cos \frac{1}{2} (\frac{A - B}{4} - \frac{( 2 π - A - B )}{4})] = 2 cos (\frac{π - C}{4}) [2 cos \frac{1}{2} (\frac{2 π - 2 B}{4}) cos \frac{1}{2} (\frac{2 A - 2 π}{4})] = 2 cos (\frac{π - C}{4}) [2 cos (\frac{π - B}{4}) cos (\frac{A - π}{4})] = 2 cos (\frac{π - C}{4}) [2 cos (\frac{π - B}{4}) cos - (\frac{π - A}{4})] = 2 cos (\frac{π - C}{4}) [2 cos (\frac{π - B}{4}) cos (\frac{π - A}{4})] = 4 cos (\frac{π + A}{4}) cos (\frac{π + B}{4}) cos (\frac{π - C}{4}) (terbukti)$

Dengan demikian benar bahwa $cos (\frac{A}{2}) + cos (\frac{B}{2}) + cos (\frac{C}{2}) = 4 cos (\frac{π + A}{4}) cos (\frac{π + B}{4}) cos (\frac{π - C}{4})$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Jika A, B, dan C merupakan sudut-sudut dalam sebuah segitiga ABC dan cos θ ( sin B + sin C ) = sin A Buktikanbahwa tan 2 2 θ = tan ( 2 B ) tan ( 2 C )

5.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan setiap identitas berikut. sin A + sin B + sin C sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 8 sin ( 2 A ) sin ( 2 B ) sin ( 2 C )

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika A + B + C = π , tunjukkan bahwa ( sin A + sin B + sin C ) ( − sin A + sin B + sin C ) ( sin A − sin B + sin C ) ( sin A + sin B − sin C ) = 4 sin 2 A sin 2 B sin 2 C

0.0

Jawaban terverifikasi

Jika A + B + C + D = 2 π , tunjukkan bahwa. cos A + cos B + cos C + cos D = − 4 cos ( 2 A + B ) cos ( 2 A + C ) cos ( 2 A + D )

0.0

Jawaban terverifikasi

Jika A + B + C = π , tunjukkan bahwa cos ( 2 A ) + cos ( 2 B ) + cos ( 2 C ) = 4 cos ( 4 B + C ) cos ( 4 A + C ) cos ( 4 A + B )

4.0

Jawaban terverifikasi