Pertanyaan

Jika A + B + C = π , tunjukkan bahwa ( sin A + sin B + sin C ) ( − sin A + sin B + sin C ) ( sin A − sin B + sin C ) ( sin A + sin B − sin C ) = 4 sin 2 A sin 2 B sin 2 C

Jika $A + B + C = π$ , tunjukkan bahwa

$(sin A + sin B + sin C) (- sin A + sin B + sin C) (sin A - sin B + sin C) (sin A + sin B - sin C) = 4 sin^{2} A sin^{2} B sin^{2} C$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat bahwa : Rumus jumlah dan selisih Trigonometri yaitu s in A + sin B = 2 sin 2 1 ( A + B ) cos 2 1 ( A − B ) cos A + cos B = 2 cos 2 1 ( A + B ) cos 2 1 ( A − B ) Sudut berelasi berikut sin ( 9 0 ∘ − α ) = cos α sin ( 18 0 ∘ − α ) = sin α cos ( − α ) = cos α Sudut rangkap pada sinus sin 2 A sin A = = 2 sin A cos A 2 sin 2 1 A cos 2 1 A Pada segitiga ABC, maka berlaku A + B + C A + B C sin C sin C sin ( 2 A + B ) sin ( 2 C ) = = = = = = = = = = = 18 0 ∘ 18 0 ∘ − C 18 0 ∘ − ( A + B ) sin ( 18 0 ∘ − ( A + B ) ) sin ( A + B ) sin ( 2 18 0 ∘ − C ) sin ( 9 0 ∘ − 2 C ) cos 2 C sin ( 2 18 0 ∘ − ( A + B ) ) sin ( 9 0 ∘ − ( 2 A + B ) ) cos ( 2 A + B ) Sebelumnya akan dicari nilai dari S in A + sin B + sin C = = = = = = = = sin A + sin B + sin C ( sin A + sin B ) + sin C 2 sin ( 2 A + B ) cos ( 2 A − B ) + 2 sin 2 C cos 2 C 2 cos 2 C cos ( 2 A − B ) + 2 cos ( 2 A + B ) cos 2 C 2 cos 2 C ( cos ( 2 A − B ) + cos ( 2 A + B ) ) 2 cos 2 C ( 2 cos 2 1 ( 2 A − B + A + B ) cos 2 1 ( 2 A − B − A − B ) ) 2 cos 2 C ( 2 cos 2 A cos ( − 2 B ) ) 2 cos 2 C ( 2 cos 2 A cos 2 B ) 4 cos 2 A cos 2 B cos 2 C Dengan cara yang sama maka diperoleh: sin A + sin B − sin C = 4 cos 2 C ⋅ sin 2 A ⋅ sin 2 B sin A + sin C − sin B = 4 cos 2 B ⋅ sin 2 A ⋅ sin 2 C sin B + sin C − sin A = 4 cos 2 4 ⋅ sin 2 B ⋅ sin 2 C Sehingga = = = ( sin A + sin B + sin C ) ( − sin A + sin B + sin C ) ( sin A − sin B + sin C ) ( sin A + sin B − sin C ) ( 4 cos 2 A ⋅ cos 2 B cos 2 C ) ( 4 cos 2 A ⋅ sin 2 B ⋅ sin 2 C ) ( 4 cos 2 B ⋅ sin 2 A ⋅ sin 2 C ) ( 4 cos 2 C ⋅ sin 2 A ⋅ sin 2 B ) 4 ( 2 sin 2 A cos 2 A ) 2 ( 2 sin 2 B cos 2 B ) 2 ( 2 sin 2 C cos 2 C ) 2 4 sin 2 A ⋅ sin 2 B ⋅ sin 2 C ( terbukti ) Dengan demikian benar bahwa ( sin A + sin B + sin C ) ( − sin A + sin B + sin C ) ( sin A − sin B + sin C ) ( sin A + sin B − sin C ) = 4 sin 2 A sin 2 B sin 2 C

Ingat bahwa :

Rumus jumlah dan selisih Trigonometri yaitu

$s in A + sin B = 2 sin \frac{1}{2} (A + B) cos \frac{1}{2} (A - B) cos A + cos B = 2 cos \frac{1}{2} (A + B) cos \frac{1}{2} (A - B)$

Sudut berelasi berikut

$sin (9 0^{\circ} - α) = cos α$

$sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$

$cos (- α) = cos α$

Sudut rangkap pada sinus

$sin 2 A sin A = = 2 sin A cos A 2 sin \frac{1}{2} A cos \frac{1}{2} A$

Pada segitiga ABC, maka berlaku

$A + B + C A + B C sin C sin C sin (\frac{A + B}{2}) sin (\frac{C}{2}) = = = = = = = = = = = 18 0^{\circ} 18 0^{\circ} - C 18 0^{\circ} - (A + B) sin (18 0^{\circ} - (A + B)) sin (A + B) sin (\frac{18 0 ^{\circ} - C}{2}) sin (9 0^{\circ} - \frac{C}{2}) cos \frac{C}{2} sin (\frac{18 0 ^{\circ} - ( A + B )}{2}) sin (9 0^{\circ} - (\frac{A + B}{2})) cos (\frac{A + B}{2})$

Sebelumnya akan dicari nilai dari $S in A + sin B + sin C$

$= = = = = = = = sin A + sin B + sin C (sin A + sin B) + sin C 2 sin (\frac{A + B}{2}) cos (\frac{A - B}{2}) + 2 sin \frac{C}{2} cos \frac{C}{2} 2 cos \frac{C}{2} cos (\frac{A - B}{2}) + 2 cos (\frac{A + B}{2}) cos \frac{C}{2} 2 cos \frac{C}{2} (cos (\frac{A - B}{2}) + cos (\frac{A + B}{2})) 2 cos \frac{C}{2} (2 cos \frac{1}{2} (\frac{A - B + A + B}{2}) cos \frac{1}{2} (\frac{A - B - A - B}{2})) 2 cos \frac{C}{2} (2 cos \frac{A}{2} cos (- \frac{B}{2})) 2 cos \frac{C}{2} (2 cos \frac{A}{2} cos \frac{B}{2}) 4 cos \frac{A}{2} cos \frac{B}{2} cos \frac{C}{2}$

Dengan cara yang sama maka diperoleh:

$sin A + sin B - sin C = 4 cos \frac{C}{2} \cdot sin \frac{A}{2} \cdot sin \frac{B}{2} sin A + sin C - sin B = 4 cos \frac{B}{2} \cdot sin \frac{A}{2} \cdot sin \frac{C}{2} sin B + sin C - sin A = 4 cos \frac{4}{2} \cdot sin \frac{B}{2} \cdot sin \frac{C}{2}$

Sehingga

$= = = (sin A + sin B + sin C) (- sin A + sin B + sin C) (sin A - sin B + sin C) (sin A + sin B - sin C) (4 cos \frac{A}{2} \cdot cos \frac{B}{2} cos \frac{C}{2}) (4 cos \frac{A}{2} \cdot sin \frac{B}{2} \cdot sin \frac{C}{2}) (4 cos \frac{B}{2} \cdot sin \frac{A}{2} \cdot sin \frac{C}{2}) (4 cos \frac{C}{2} \cdot sin \frac{A}{2} \cdot sin \frac{B}{2}) 4 (2 sin \frac{A}{2} cos \frac{A}{2})^{2} (2 sin \frac{B}{2} cos \frac{B}{2})^{2} (2 sin \frac{C}{2} cos \frac{C}{2})^{2} 4 sin^{2} A \cdot sin^{2} B \cdot sin^{2} C (terbukti)$

Dengan demikian benar bahwa $(sin A + sin B + sin C) (- sin A + sin B + sin C) (sin A - sin B + sin C) (sin A + sin B - sin C) = 4 sin^{2} A sin^{2} B sin^{2} C$

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

Yah, akses pembahasan gratismu habis

atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Buktikan setiap identitas berikut. sin A + sin B + sin C sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 8 sin ( 2 A ) sin ( 2 B ) sin ( 2 C )

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika A, B, dan C merupakan sudut-sudut dalam sebuah segitiga ABC dan cos θ ( sin B + sin C ) = sin A Buktikanbahwa tan 2 2 θ = tan ( 2 B ) tan ( 2 C )

5.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan setiap identitas berikut. sin A + sin B − sin C sin A + sin B + sin C = co tan ( 2 A ) co tan ( 2 B )

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika A + B + C = π , tunjukkan bahwa cos ( 2 A ) + cos ( 2 B ) + cos ( 2 C ) = 4 cos ( 4 π + A ) cos ( 4 π + B ) cos ( 4 π − C )

0.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan setiap identitas berikut. sin A + sin B + sin C sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 8 sin ( 2 A ) sin ( 2 B ) sin ( 2 C )

5.0

Jawaban terverifikasi

Tanya ke AiRIS