Pertanyaan

Jika A + B + C = π , tunjukkan bahwa ( sin A + sin B + sin C ) ( − sin A + sin B + sin C ) ( sin A − sin B + sin C ) ( sin A + sin B − sin C ) = 4 sin 2 A sin 2 B sin 2 C

Jika $A + B + C = π$ , tunjukkan bahwa

$(sin A + sin B + sin C) (- sin A + sin B + sin C) (sin A - sin B + sin C) (sin A + sin B - sin C) = 4 sin^{2} A sin^{2} B sin^{2} C$

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat bahwa : Rumus jumlah dan selisih Trigonometri yaitu s in A + sin B = 2 sin 2 1 ( A + B ) cos 2 1 ( A − B ) cos A + cos B = 2 cos 2 1 ( A + B ) cos 2 1 ( A − B ) Sudut berelasi berikut sin ( 9 0 ∘ − α ) = cos α sin ( 18 0 ∘ − α ) = sin α cos ( − α ) = cos α Sudut rangkap pada sinus sin 2 A sin A = = 2 sin A cos A 2 sin 2 1 A cos 2 1 A Pada segitiga ABC, maka berlaku A + B + C A + B C sin C sin C sin ( 2 A + B ) sin ( 2 C ) = = = = = = = = = = = 18 0 ∘ 18 0 ∘ − C 18 0 ∘ − ( A + B ) sin ( 18 0 ∘ − ( A + B ) ) sin ( A + B ) sin ( 2 18 0 ∘ − C ) sin ( 9 0 ∘ − 2 C ) cos 2 C sin ( 2 18 0 ∘ − ( A + B ) ) sin ( 9 0 ∘ − ( 2 A + B ) ) cos ( 2 A + B ) Sebelumnya akan dicari nilai dari S in A + sin B + sin C = = = = = = = = sin A + sin B + sin C ( sin A + sin B ) + sin C 2 sin ( 2 A + B ) cos ( 2 A − B ) + 2 sin 2 C cos 2 C 2 cos 2 C cos ( 2 A − B ) + 2 cos ( 2 A + B ) cos 2 C 2 cos 2 C ( cos ( 2 A − B ) + cos ( 2 A + B ) ) 2 cos 2 C ( 2 cos 2 1 ( 2 A − B + A + B ) cos 2 1 ( 2 A − B − A − B ) ) 2 cos 2 C ( 2 cos 2 A cos ( − 2 B ) ) 2 cos 2 C ( 2 cos 2 A cos 2 B ) 4 cos 2 A cos 2 B cos 2 C Dengan cara yang sama maka diperoleh: sin A + sin B − sin C = 4 cos 2 C ⋅ sin 2 A ⋅ sin 2 B sin A + sin C − sin B = 4 cos 2 B ⋅ sin 2 A ⋅ sin 2 C sin B + sin C − sin A = 4 cos 2 4 ⋅ sin 2 B ⋅ sin 2 C Sehingga = = = ( sin A + sin B + sin C ) ( − sin A + sin B + sin C ) ( sin A − sin B + sin C ) ( sin A + sin B − sin C ) ( 4 cos 2 A ⋅ cos 2 B cos 2 C ) ( 4 cos 2 A ⋅ sin 2 B ⋅ sin 2 C ) ( 4 cos 2 B ⋅ sin 2 A ⋅ sin 2 C ) ( 4 cos 2 C ⋅ sin 2 A ⋅ sin 2 B ) 4 ( 2 sin 2 A cos 2 A ) 2 ( 2 sin 2 B cos 2 B ) 2 ( 2 sin 2 C cos 2 C ) 2 4 sin 2 A ⋅ sin 2 B ⋅ sin 2 C ( terbukti ) Dengan demikian benar bahwa ( sin A + sin B + sin C ) ( − sin A + sin B + sin C ) ( sin A − sin B + sin C ) ( sin A + sin B − sin C ) = 4 sin 2 A sin 2 B sin 2 C

Ingat bahwa :

Rumus jumlah dan selisih Trigonometri yaitu

$s in A + sin B = 2 sin \frac{1}{2} (A + B) cos \frac{1}{2} (A - B) cos A + cos B = 2 cos \frac{1}{2} (A + B) cos \frac{1}{2} (A - B)$

Sudut berelasi berikut

$sin (9 0^{\circ} - α) = cos α$

$sin (18 0^{\circ} - α) = sin α$

$cos (- α) = cos α$

Sudut rangkap pada sinus

$sin 2 A sin A = = 2 sin A cos A 2 sin \frac{1}{2} A cos \frac{1}{2} A$

Pada segitiga ABC, maka berlaku

$A + B + C A + B C sin C sin C sin (\frac{A + B}{2}) sin (\frac{C}{2}) = = = = = = = = = = = 18 0^{\circ} 18 0^{\circ} - C 18 0^{\circ} - (A + B) sin (18 0^{\circ} - (A + B)) sin (A + B) sin (\frac{18 0 ^{\circ} - C}{2}) sin (9 0^{\circ} - \frac{C}{2}) cos \frac{C}{2} sin (\frac{18 0 ^{\circ} - ( A + B )}{2}) sin (9 0^{\circ} - (\frac{A + B}{2})) cos (\frac{A + B}{2})$

Sebelumnya akan dicari nilai dari $S in A + sin B + sin C$

$= = = = = = = = sin A + sin B + sin C (sin A + sin B) + sin C 2 sin (\frac{A + B}{2}) cos (\frac{A - B}{2}) + 2 sin \frac{C}{2} cos \frac{C}{2} 2 cos \frac{C}{2} cos (\frac{A - B}{2}) + 2 cos (\frac{A + B}{2}) cos \frac{C}{2} 2 cos \frac{C}{2} (cos (\frac{A - B}{2}) + cos (\frac{A + B}{2})) 2 cos \frac{C}{2} (2 cos \frac{1}{2} (\frac{A - B + A + B}{2}) cos \frac{1}{2} (\frac{A - B - A - B}{2})) 2 cos \frac{C}{2} (2 cos \frac{A}{2} cos (- \frac{B}{2})) 2 cos \frac{C}{2} (2 cos \frac{A}{2} cos \frac{B}{2}) 4 cos \frac{A}{2} cos \frac{B}{2} cos \frac{C}{2}$

Dengan cara yang sama maka diperoleh:

$sin A + sin B - sin C = 4 cos \frac{C}{2} \cdot sin \frac{A}{2} \cdot sin \frac{B}{2} sin A + sin C - sin B = 4 cos \frac{B}{2} \cdot sin \frac{A}{2} \cdot sin \frac{C}{2} sin B + sin C - sin A = 4 cos \frac{4}{2} \cdot sin \frac{B}{2} \cdot sin \frac{C}{2}$

Sehingga

$= = = (sin A + sin B + sin C) (- sin A + sin B + sin C) (sin A - sin B + sin C) (sin A + sin B - sin C) (4 cos \frac{A}{2} \cdot cos \frac{B}{2} cos \frac{C}{2}) (4 cos \frac{A}{2} \cdot sin \frac{B}{2} \cdot sin \frac{C}{2}) (4 cos \frac{B}{2} \cdot sin \frac{A}{2} \cdot sin \frac{C}{2}) (4 cos \frac{C}{2} \cdot sin \frac{A}{2} \cdot sin \frac{B}{2}) 4 (2 sin \frac{A}{2} cos \frac{A}{2})^{2} (2 sin \frac{B}{2} cos \frac{B}{2})^{2} (2 sin \frac{C}{2} cos \frac{C}{2})^{2} 4 sin^{2} A \cdot sin^{2} B \cdot sin^{2} C (terbukti)$

Dengan demikian benar bahwa $(sin A + sin B + sin C) (- sin A + sin B + sin C) (sin A - sin B + sin C) (sin A + sin B - sin C) = 4 sin^{2} A sin^{2} B sin^{2} C$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Buktikan setiap identitas berikut. sin A + sin B + sin C sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 8 sin ( 2 A ) sin ( 2 B ) sin ( 2 C )

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika A, B, dan C merupakan sudut-sudut dalam sebuah segitiga ABC dan cos θ ( sin B + sin C ) = sin A Buktikanbahwa tan 2 2 θ = tan ( 2 B ) tan ( 2 C )

5.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan setiap identitas berikut. sin A + sin B − sin C sin A + sin B + sin C = co tan ( 2 A ) co tan ( 2 B )

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika A + B + C = π , tunjukkan bahwa cos ( 2 A ) + cos ( 2 B ) + cos ( 2 C ) = 4 cos ( 4 π + A ) cos ( 4 π + B ) cos ( 4 π − C )

0.0

Jawaban terverifikasi

Buktikan setiap identitas berikut. sin A + sin B + sin C sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 8 sin ( 2 A ) sin ( 2 B ) sin ( 2 C )

5.0

Jawaban terverifikasi