Pertanyaan

Jika A, B, dan C merupakan sudut-sudut dalam sebuah segitiga ABC dan cos θ ( sin B + sin C ) = sin A Buktikanbahwa tan 2 2 θ = tan ( 2 B ) tan ( 2 C )

Jika A, B, dan C merupakan sudut-sudut dalam sebuah segitiga ABC dan $cos θ (sin B + sin C) = sin A$ Buktikan bahwa

$tan^{2} \frac{θ}{2} = tan (\frac{B}{2}) tan (\frac{C}{2})$

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

S. Nur

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Pembahasan

Ingat bahwa : Sudut berelasi sin ( 9 0 ∘ − α ) sin ( 18 0 ∘ − α ) sin ( − α ) cos ( − α ) = = = = cos α sin α − sin α cos α Identitas trigonometri tan A = cos A sin A Rumus jumlah dan selisih Trigonometri yaitu sin A + sin B = 2 sin 2 1 ( A + B ) cos 2 1 ( A − B ) cos A + cos B = 2 cos 2 1 ( A + B ) cos 2 1 ( A − B ) Sudut rangkap pada sinus sin 2 A sin A = = 2 sin A cos A 2 sin 2 1 A cos 2 1 A Rumus sudutsetenga pada tangen tan 2 2 α = 1 + sin α 1 − cos α Pada segitiga ABC, maka berlaku A + B + C A + B C sin 2 C sin ( 2 A + B ) = = = = = = = = = 18 0 ∘ 18 0 ∘ − C 18 0 ∘ − ( A + B ) sin ( 2 18 0 ∘ − ( A + B ) ) sin ( 9 0 ∘ − ( 2 A + B ) ) cos ( 2 A + B ) sin ( 2 18 0 ∘ − C ) sin ( 9 0 ∘ − C ) cos 2 C Dari soal diketahui cos θ ( sin B + sin C ) cos θ = = sin A s i n B + s i n C s i n A Sebelumnya akan ditentukan terlebih dahulu hasil dari sin A + sin B + sin C = = = = = = = sin A + sin B + sin C 2 sin ( 2 A + B ) cos ( 2 A − B ) + sin C 2 cos 2 C cos ( 2 A − B ) + 2 sin 2 C cos 2 C 2 cos 2 C [ cos ( 2 A − B ) + sin 2 C ] 2 cos 2 C [ cos ( 2 A − B ) + cos ( 2 A + B ) ] 2 cos 2 C [ 2 cos 2 1 ( 2 A − B + A + B ) cos 2 1 ( 2 A − B − A − B ) ] 2 cos 2 C [ 2 cos ( 4 2 A ) cos ( 4 − 2 B ) ] 4 cos 2 A cos 2 B cos 2 C Dengan cara yang sama diperoleh sin B + sin C − sin A = 4 cos 2 A sin 2 B sin 2 C Maka tan 2 2 θ = = = = = = 1 + s i n θ 1 − c o s θ 1 + sin B + sin A 1 − sin B + sin C sin A sin B + sin C sin B + sin C + sin A sin B + sin C sin B + sin C − sin A s i n B + s i n C + s i n A s i n B + s i n C − s i n A 4 c o s 2 A co s 2 B c o s 2 C 4 c o s 2 A s i n 2 B s i n 2 C tan ( 2 B ) tan ( 2 C ) ( terbukti ) Dengan demikian terbukti bahwa tan 2 2 θ = tan ( 2 B ) tan ( 2 C )

Ingat bahwa :

Sudut berelasi

$sin (9 0^{\circ} - α) sin (18 0^{\circ} - α) sin (- α) cos (- α) = = = = cos α sin α - sin α cos α$

Identitas trigonometri

$tan A = \frac{sin A}{cos A}$

Rumus jumlah dan selisih Trigonometri yaitu

$sin A + sin B = 2 sin \frac{1}{2} (A + B) cos \frac{1}{2} (A - B) cos A + cos B = 2 cos \frac{1}{2} (A + B) cos \frac{1}{2} (A - B)$

Sudut rangkap pada sinus

$sin 2 A sin A = = 2 sin A cos A 2 sin \frac{1}{2} A cos \frac{1}{2} A$

Rumus sudut setenga pada tangen

$tan^{2} \frac{α}{2} = \frac{1 - cos α}{1 + sin α}$

Pada segitiga ABC, maka berlaku

$A + B + C A + B C sin \frac{C}{2} sin (\frac{A + B}{2}) = = = = = = = = = 18 0^{\circ} 18 0^{\circ} - C 18 0^{\circ} - (A + B) sin (\frac{18 0 ^{\circ} - ( A + B )}{2}) sin (9 0^{\circ} - (\frac{A + B}{2})) cos (\frac{A + B}{2}) sin (\frac{18 0 ^{\circ} - C}{2}) sin (9 0^{\circ} - C) cos \frac{C}{2}$

Dari soal diketahui

$cos θ (sin B + sin C) cos θ = = sin A \frac{s i n A}{s i n B + s i n C}$

Sebelumnya akan ditentukan terlebih dahulu hasil dari $sin A + sin B + sin C$

$= = = = = = = sin A + sin B + sin C 2 sin (\frac{A + B}{2}) cos (\frac{A - B}{2}) + sin C 2 cos \frac{C}{2} cos (\frac{A - B}{2}) + 2 sin \frac{C}{2} cos \frac{C}{2} 2 cos \frac{C}{2} [cos (\frac{A - B}{2}) + sin \frac{C}{2}] 2 cos \frac{C}{2} [cos (\frac{A - B}{2}) + cos (\frac{A + B}{2})] 2 cos \frac{C}{2} [2 cos \frac{1}{2} (\frac{A - B + A + B}{2}) cos \frac{1}{2} (\frac{A - B - A - B}{2})] 2 cos \frac{C}{2} [2 cos (\frac{2 A}{4}) cos (\frac{- 2 B}{4})] 4 cos \frac{A}{2} cos \frac{B}{2} cos \frac{C}{2}$

Dengan cara yang sama diperoleh

$sin B + sin C - sin A = 4 cos \frac{A}{2} sin \frac{B}{2} sin \frac{C}{2}$

Maka

$tan^{2} \frac{θ}{2} = = = = = = \frac{1 - c o s θ}{1 + s i n θ} \frac{1 - \frac{sin A}{sin B + sin C}}{1 + \frac{sin A}{sin B +}} \frac{\frac{sin B + sin C - sin A}{sin B + sin C}}{\frac{sin B + sin C + sin A}{sin B + sin C}} \frac{s i n B + s i n C - s i n A}{s i n B + s i n C + s i n A} \frac{4 c o s \frac{A}{2} s i n \frac{B}{2} s i n \frac{C}{2}}{4 c o s \frac{A}{2} co s \frac{B}{2} c o s \frac{C}{2}} tan (\frac{B}{2}) tan (\frac{C}{2}) (terbukti)$

Dengan demikian terbukti bahwa $tan^{2} \frac{θ}{2} = tan (\frac{B}{2}) tan (\frac{C}{2})$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Buktikan setiap identitas berikut. sin A + sin B + sin C sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 8 sin ( 2 A ) sin ( 2 B ) sin ( 2 C )

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika A + B + C = π , tunjukkan bahwa ( sin A + sin B + sin C ) ( − sin A + sin B + sin C ) ( sin A − sin B + sin C ) ( sin A + sin B − sin C ) = 4 sin 2 A sin 2 B sin 2 C

0.0

Jawaban terverifikasi

Jika A + B + C + D = 2 π , tunjukkan bahwa. cos A + cos B + cos C + cos D = − 4 cos ( 2 A + B ) cos ( 2 A + C ) cos ( 2 A + D )

0.0

Jawaban terverifikasi

Jika A + B + C + D = 2 π , tunjukkan bahwa. cos A − cos B + cos C − cos D = 4 sin ( 2 A + B ) sin ( 2 A + D ) cos ( 2 A + C )

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika A + B + C = π , tunjukkan bahwa cos ( 2 A ) + cos ( 2 B ) + cos ( 2 C ) = 4 cos ( 4 π + A ) cos ( 4 π + B ) cos ( 4 π − C )

0.0

Jawaban terverifikasi