Pertanyaan

Jika pada segitiga siku-siku ABC panjang AC = x , sudut ACB = 9 0 ∘ dan sudut BAC = 6 0 ∘ . CC 1 ⊥ AB , C 2 C 1 ⊥ BC , C 2 C 3 ⊥ AB , C 3 C 4 ⊥ BC dan seterusnya. Panjang AC + CC 1 + C 1 C 2 + C 2 C 3 + C 3 C 4 + ⋯ = …

Jika pada segitiga siku-siku $ABC$ panjang $AC = x$ , sudut $ACB = 9 0^{\circ}$ dan sudut $BAC = 6 0^{\circ}$ . $CC_{1} ⊥ AB$ , $C_{2} C_{1} ⊥ BC$ , $C_{2} C_{3} ⊥ AB$ , $C_{3} C_{4} ⊥ BC$ dan seterusnya. Panjang $AC + CC_{1} + C_{1} C_{2} + C_{2} C_{3} + C_{3} C_{4} + \dots = \dots$

$\;$

$\frac{x 3}{2 + 3}$
$2 x 3$
$2 x (2 + 3)$
$\frac{2 x}{2 + 3}$
$x (3 + 23)$

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benaradalah C.

jawaban yang benar adalah C. $\;$

Pembahasan

Ingat! Jumlah sudut pada segitiga adalah 18 0 ∘ Rumus mencari panjang sisi tegak pada segitiga siku-siku yang menghadapsudut α jika diketahui panjang sisi miring adalah c ⋅ sin α Rumus mencari rasio r dari barisan geometri jika diketahui suku ke- n adalah U n dansuku ke- n + 1 adalah U n + 1 , yaitu: r = U n U n + 1 Rumus mencarijumlah dari deret geometri tak hingga ( S ∞ ) jika diketahui suku pertama adalah U 1 dan rasio adalah r , yaitu: S ∞ = 1 − r U 1 sin 6 0 ∘ = 2 1 3 Oleh karena CC 1 ⊥ AB makasudut AC 1 C = 9 0 ∘ sehingga segitiga AC 1 C merupakan segitiga siku-siku dengan sisi miring AC = x .Kemudian, karenasudut BAC = 6 0 ∘ maka sudut C 1 AC = 6 0 ∘ sehingga diperoleh panjang sisi yang menghadap sudut tersebut adalah: CC 1 = x ⋅ sin 6 0 ∘ . Lalu, karena sudut ACB = 9 0 ∘ dan sudut ACC 1 = 18 0 ∘ − 9 0 ∘ − 6 0 ∘ = 3 0 ∘ , maka sudut C 1 CC 2 = 9 0 ∘ − 3 0 ∘ = 6 0 ∘ . Dengan pola yang sama akan diperoleh sudut untuk setiap titik yang digambarkan seperti berikut: Dapat diperoleh: Pada segitiga siku-siku C 1 C 2 C dengan sisi miring CC 1 = x ⋅ sin 6 0 ∘ , panjang sisi tegak C 1 C 2 yang menghadapsudut C 1 CC 2 = 6 0 ∘ adalah C 1 C 2 = = = CC 1 ⋅ sin 6 0 ∘ x ⋅ sin 6 0 ∘ ⋅ sin 6 0 ∘ x ⋅ sin 2 6 0 ∘ Pada segitiga siku-siku C 1 C 3 C 2 dengan sisi miring C 1 C 2 = x ⋅ sin 2 6 0 ∘ , panjang sisi tegak C 2 C 3 yang menghadapsudut C 2 C 1 C 3 = 6 0 ∘ adalah C 2 C 3 = = = C 1 C 2 ⋅ sin 6 0 ∘ x ⋅ sin 2 6 0 ∘ ⋅ sin 6 0 ∘ x ⋅ sin 3 6 0 ∘ Pada segitiga siku-siku C 2 C 4 C 3 dengan sisi miring C 2 C 3 = x ⋅ sin 3 6 0 ∘ , panjang sisi tegak C 3 C 4 yang menghadapsudut C 3 C 2 C 4 = 6 0 ∘ adalah C 3 C 4 = = = C 2 C 3 ⋅ sin 6 0 ∘ x ⋅ sin 3 6 0 ∘ ⋅ sin 6 0 ∘ x ⋅ sin 4 6 0 ∘ dan seterusnya.Oleh karena itu, diperoleh panjang AC + CC 1 + C 1 C 2 + C 2 C 3 + C 3 C 4 + … = x + x ⋅ sin 6 0 ∘ + x ⋅ sin 2 6 0 ∘ + x ⋅ sin 3 6 0 ∘ + x ⋅ sin 4 6 0 ∘ + … yang merupakanderet geometri tak hingga dengan suku pertama U 1 = x danrasio r = x x ⋅ sin 6 0 ∘ = sin 6 0 ∘ sehingga dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga diperoleh panjang AC + CC 1 + C 1 C 2 + C 2 C 3 + C 3 C 4 + … = = = = = = = = 1 − s i n 6 0 ∘ x 1 − 2 1 3 x 1 − 2 1 3 x × 1 + 2 1 3 1 + 2 1 3 1 − 4 3 x ( 1 + 2 1 3 ) 4 1 x ( 1 + 2 1 3 ) x ( 1 + 2 1 3 ) × 1 4 4 x ( 1 + 2 1 3 ) 2 x ( 2 + 3 ) Dengan demikian, panjang AC + CC 1 + C 1 C 2 + C 2 C 3 + C 3 C 4 + … = 2 x ( 2 + 3 ) . Oleh karena itu, jawaban yang benaradalah C.

Ingat!

Jumlah sudut pada segitiga adalah $18 0^{\circ}$
Rumus mencari panjang sisi tegak pada segitiga siku-siku yang menghadap sudut $α$ jika diketahui panjang sisi miring $c$ adalah $c \cdot sin α$
Rumus mencari rasio $r$ dari barisan geometri jika diketahui suku ke- $n$ adalah $U_{n}$ dan suku ke- $n + 1$ adalah $U_{n + 1}$ , yaitu: $r = \frac{U _{n + 1}}{U _{n}}$
Rumus mencari jumlah dari deret geometri tak hingga $(S_{\infty})$ jika diketahui suku pertama adalah $U_{1}$ dan rasio adalah $r$ , yaitu: $S_{\infty} = \frac{U _{1}}{1 - r}$
$sin 6 0^{\circ} = \frac{1}{2} 3$

Oleh karena $CC_{1} ⊥ AB$ maka sudut $AC_{1} C = 9 0^{\circ}$ sehingga segitiga $AC_{1} C$ merupakan segitiga siku-siku dengan sisi miring $AC = x$ . Kemudian, karena sudut $BAC = 6 0^{\circ}$ maka sudut $C_{1} AC = 6 0^{\circ}$ sehingga diperoleh panjang sisi yang menghadap sudut tersebut adalah: $CC_{1} = x \cdot sin 6 0^{\circ}$ .

Lalu, karena sudut $ACB = 9 0^{\circ}$ dan sudut $ACC_{1} = 18 0^{\circ} - 9 0^{\circ} - 6 0^{\circ} = 3 0^{\circ}$ , maka sudut $C_{1} CC_{2} = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ . Dengan pola yang sama akan diperoleh sudut untuk setiap titik yang digambarkan seperti berikut:

Dapat diperoleh:

Pada segitiga siku-siku $C_{1} C_{2} C$ dengan sisi miring $CC_{1} = x \cdot sin 6 0^{\circ}$ , panjang sisi tegak $C_{1} C_{2}$ yang menghadap sudut $C_{1} CC_{2} = 6 0^{\circ}$ adalah

$C_{1} C_{2} = = = CC_{1} \cdot sin 6 0^{\circ} x \cdot sin 6 0^{\circ} \cdot sin 6 0^{\circ} x \cdot sin^{2} 6 0^{\circ}$

Pada segitiga siku-siku $C_{1} C_{3} C_{2}$ dengan sisi miring $C_{1} C_{2} = x \cdot sin^{2} 6 0^{\circ}$ , panjang sisi tegak $C_{2} C_{3}$ yang menghadap sudut $C_{2} C_{1} C_{3} = 6 0^{\circ}$ adalah

$C_{2} C_{3} = = = C_{1} C_{2} \cdot sin 6 0^{\circ} x \cdot sin^{2} 6 0^{\circ} \cdot sin 6 0^{\circ} x \cdot sin^{3} 6 0^{\circ}$

Pada segitiga siku-siku $C_{2} C_{4} C_{3}$ dengan sisi miring $C_{2} C_{3} = x \cdot sin^{3} 6 0^{\circ}$ , panjang sisi tegak $C_{3} C_{4}$ yang menghadap sudut $C_{3} C_{2} C_{4} = 6 0^{\circ}$ adalah

$C_{3} C_{4} = = = C_{2} C_{3} \cdot sin 6 0^{\circ} x \cdot sin^{3} 6 0^{\circ} \cdot sin 6 0^{\circ} x \cdot sin^{4} 6 0^{\circ}$

dan seterusnya. Oleh karena itu, diperoleh panjang

$AC + CC_{1} + C_{1} C_{2} + C_{2} C_{3} + C_{3} C_{4} + \dots = x + x \cdot sin 6 0^{\circ} + x \cdot sin^{2} 6 0^{\circ} + x \cdot sin^{3} 6 0^{\circ} + x \cdot sin^{4} 6 0^{\circ} + \dots$

yang merupakan deret geometri tak hingga dengan suku pertama $U_{1} = x$ dan rasio $r = \frac{x \cdot sin 6 0 ^{\circ}}{x} = sin 6 0^{\circ}$ sehingga dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri tak hingga diperoleh panjang

$AC + CC_{1} + C_{1} C_{2} + C_{2} C_{3} + C_{3} C_{4} + \dots = = = = = = = = \frac{x}{1 - s i n 6 0 ^{\circ}} \frac{x}{1 - \frac{1}{2} 3} \frac{x}{1 - \frac{1}{2} 3} \times \frac{1 + \frac{1}{2} 3}{1 + \frac{1}{2} 3} \frac{x ( 1 + \frac{1}{2} 3 )}{1 - \frac{3}{4}} \frac{x ( 1 + \frac{1}{2} 3 )}{\frac{1}{4}} x (1 + \frac{1}{2} 3) \times \frac{4}{1} 4 x (1 + \frac{1}{2} 3) 2 x (2 + 3)$

Dengan demikian, panjang $AC + CC_{1} + C_{1} C_{2} + C_{2} C_{3} + C_{3} C_{4} + \dots = 2 x (2 + 3)$ .

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah C. $\;$

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (4 rating)

Immanuel Fajar Wibowo

Pembahasan lengkap banget

Pertanyaan serupa

Suku ke- n deret geometri dirumus- kan dengan U n = 4 ⋅ 3 2 − n . Jumlah tak hingga suku-suku deret tersebut = …

5.0

Jawaban terverifikasi

Perhatikan gambar berikut! Diberikan lingkaran L 1 dengan jari-jari 10 cm . Di dalam L 1 , dibuat persegi P 1 dengan keempat titik sudutnya terletak pada keliling L 1 .Di dalam P 1 ...

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika ( k + 6 ) , ( k − 2 ) , dan ( k − 6 ) berturut-turut adalah suku pertama, kedua, dan ketiga suatu deret geometri tak hingga, maka jumlah deret tak hingga tersebut adalah ...

4.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan nilai dari x → ∞ lim ( 4 5 + 8 5 + 16 5 + 32 5 + … + 3 m u ) .

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika rasio suaru deret geometri tak hingga yang konvergen dan jumlah deret geometri tak hingga 3 + r 1 + ( 3 + r ) 2 1 + ( 3 + r ) 3 1 + ... ,maka memenuhi nilai ...

4.1

Jawaban terverifikasi