Pertanyaan

Perhatikan gambar berikut! Diberikan lingkaran L 1 dengan jari-jari 10 cm . Di dalam L 1 , dibuat persegi P 1 dengan keempat titik sudutnya terletak pada keliling L 1 .Di dalam P 1 , dibuat lingkaran L 2 yang kelilingnya menyinggung keempat sisi persegi tersebut. Di dalam L 2 , dibuat lingkaran P 2 dengan keempat titik sudutnya terletak pada keliling L 2 .Demikian seterusnya, hingga diperoleh lingkaran L 1 , L 2 , L 3 , ...dan persegi L 1 , L 2 , L 3 , .... Tentukan jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi.

Perhatikan gambar berikut!

Diberikan lingkaran $L_{1}$ dengan jari-jari $10 cm$ . Di dalam $L_{1}$ , dibuat persegi $P_{1}$ dengan keempat titik sudutnya terletak pada keliling $L_{1}$ . Di dalam $P_{1}$ , dibuat lingkaran $L_{2}$ yang kelilingnya menyinggung keempat sisi persegi tersebut. Di dalam $L_{2}$ , dibuat lingkaran $P_{2}$ dengan keempat titik sudutnya terletak pada keliling $L_{2}$ . Demikian seterusnya, hingga diperoleh lingkaran $L_{1}$ , $L_{2}$ , $L_{3}$ , ... dan persegi $L_{1}$ , $L_{2}$ , $L_{3}$ , .... Tentukan jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi.

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

P. Tessalonika

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Medan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi adalah 856 cm 2 .

jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi adalah 856 cm².

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah856 cm 2 . Untuk menentukan panjang sisi P 1 , perhatikan gambar berikut : Diperoleh dari gambar di atas yaitu : Panjang sisi L 1 = 10 Panjang sisi P 1 = 10 2 Panjang sisi L 2 = 2 10 2 = 5 2 Panjang sisi P 2 = 5 Panjang sisi L 3 = 2 5 Panjang sisi P 3 = 2 5 2 ⋮ Luas setiap lingkaran diperoleh : Luas L 1 Luas L 2 Luas L 3 = = = = = = = = = π r 1 2 π ( 10 ) 2 100 π π r 2 2 π ( 5 2 ) 2 50 π π r 3 2 π ( 2 5 ) 2 4 25 π ⋮ Luas setiap persegi diperoleh : Luas P 1 Luas P 2 Luas P 3 = = = = = = = = = s 1 2 ( 10 2 ) 2 200 s 2 2 ( 5 ) 2 25 s 3 2 ( 2 5 2 ) 2 2 25 ⋮ Dengan demikian, jumlah luas setiap lingkaran dan persegi dapat dituliskan yaitu : Luas L ∞ = 100 π + 50 π + 4 25 π + … Luas P ∞ = 200 + 25 + 2 25 + … Bentuk di atas merupakan deret geometri tak hingga dimana : Untuk lingkaran a L = 100 π dan rasionya r L = 100 π 50 π = 2 1 Untuk persegi a P = 200 dan rasionya r P = 200 25 = 8 1 Sehingga dengan rumus jumlah deret geometri tak hingga diperoleh : Jumlah luas seluruhnya = = = = = = = = = S L ∞ + S P ∞ 1 − r L a L + 1 − r P a P 1 − 2 1 100 π + 1 − 8 1 200 2 2 − 1 100 π + 8 8 − 1 200 2 1 100 π + 8 7 200 ( 100 π × 2 ) + ( 200 × 7 8 ) 200 ( 3 , 14 ) + 200 ( 1 , 14 ) 628 + 288 856 Dengan demikian,jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi adalah 856 cm 2 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah 856 cm².

Untuk menentukan panjang sisi $P_{1}$ , perhatikan gambar berikut :

Diperoleh dari gambar di atas yaitu :

$Panjang sisi L_{1} = 10 Panjang sisi P_{1} = 102 Panjang sisi L_{2} = \frac{10 2}{2} = 52 Panjang sisi P_{2} = 5 Panjang sisi L_{3} = \frac{5}{2} Panjang sisi P_{3} = \frac{5}{2} 2 ⋮$

Luas setiap lingkaran diperoleh :

$Luas L_{1} Luas L_{2} Luas L_{3} = = = = = = = = = π r_{1}^{2} π (10)^{2} 100 π π r_{2}^{2} π (52)^{2} 50 π π r_{3}^{2} π (\frac{5}{2})^{2} \frac{25}{4} π ⋮$

Luas setiap persegi diperoleh :

$Luas P_{1} Luas P_{2} Luas P_{3} = = = = = = = = = s_{1}^{2} (102)^{2} 200 s_{2}^{2} (5)^{2} 25 s_{3}^{2} (\frac{5}{2} 2)^{2} \frac{25}{2} ⋮$

Dengan demikian, jumlah luas setiap lingkaran dan persegi dapat dituliskan yaitu :

$Luas L_{\infty} = 100 π + 50 π + \frac{25}{4} π + \dots Luas P_{\infty} = 200 + 25 + \frac{25}{2} + \dots$

Bentuk di atas merupakan deret geometri tak hingga dimana :

Untuk lingkaran $a_{L} = 100 π$ dan rasionya $r_{L} = \frac{50 π}{100 π} = \frac{1}{2}$
Untuk persegi $a_{P} = 200$ dan rasionya $r_{P} = \frac{25}{200} = \frac{1}{8}$

Sehingga dengan rumus jumlah deret geometri tak hingga diperoleh :

$Jumlah luas seluruhnya = = = = = = = = = S_{L \infty} + S_{P \infty} \frac{a _{L}}{1 - r _{L}} + \frac{a _{P}}{1 - r _{P}} \frac{100 π}{1 - \frac{1}{2}} + \frac{200}{1 - \frac{1}{8}} \frac{100 π}{\frac{2 - 1}{2}} + \frac{200}{\frac{8 - 1}{8}} \frac{100 π}{\frac{1}{2}} + \frac{200}{\frac{7}{8}} (100 π \times 2) + (200 \times \frac{8}{7}) 200 (3, 14) + 200 (1, 14) 628 + 288 856$

Dengan demikian, jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi adalah 856 cm².

Buka akses jawaban yang telah terverifikasi

Yah, akses pembahasan gratismu habis

atau

Dapatkan jawaban pertanyaanmu di AiRIS. Langsung dijawab oleh bestie pintar

Tanya Sekarang

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui segitiga sama sisi dengan panjang sisi 12 cm . Titik-titik tengah sisi-sisinya merupakan titik-titik sudut segitiga ke-2. Titik-titik tengah segitiga ke-2merupakan titik-titik sudut segitiga...

4.4

Jawaban terverifikasi

4.4

Jawaban terverifikasi

Suku ke- n deret geometri dirumus- kan dengan U n = 4 ⋅ 3 2 − n . Jumlah tak hingga suku-suku deret tersebut = …

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika ( k + 6 ) , ( k − 2 ) , dan ( k − 6 ) berturut-turut adalah suku pertama, kedua, dan ketiga suatu deret geometri tak hingga, maka jumlah deret tak hingga tersebut adalah ...

4.5

Jawaban terverifikasi

Jika pada segitiga siku-siku ABC panjang AC = x , sudut ACB = 9 0 ∘ dan sudut BAC = 6 0 ∘ . CC 1 ⊥ AB , C 2 C 1 ⊥ BC , C 2 C 3 ⊥ AB , C 3 C 4 ⊥ BC dan seterusnya. Panjang AC + CC 1 + C...

5.0

Jawaban terverifikasi

Tanya ke AiRIS

Yuk, cobain chat dan belajar bareng AiRIS, teman pintarmu!

Chat AiRIS