Iklan

Iklan

Pertanyaan

Perhatikan gambar berikut! Diberikan lingkaran L 1 ​ dengan jari-jari 10 cm . Di dalam L 1 ​ , dibuat persegi P 1 ​ dengan keempat titik sudutnya terletak pada keliling L 1 ​ .Di dalam P 1 ​ , dibuat lingkaran L 2 ​ yang kelilingnya menyinggung keempat sisi persegi tersebut. Di dalam L 2 ​ , dibuat lingkaran P 2 ​ dengan keempat titik sudutnya terletak pada keliling L 2 ​ .Demikian seterusnya, hingga diperoleh lingkaran L 1 ​ , L 2 ​ , L 3 ​ , ...dan persegi L 1 ​ , L 2 ​ , L 3 ​ , .... Tentukan jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi.

Perhatikan gambar berikut!
 


 

Diberikan lingkaran  dengan jari-jari . Di dalam , dibuat persegi  dengan keempat titik sudutnya terletak pada keliling . Di dalam , dibuat lingkaran  yang kelilingnya menyinggung keempat sisi persegi tersebut. Di dalam , dibuat lingkaran dengan keempat titik sudutnya terletak pada keliling . Demikian seterusnya, hingga diperoleh lingkaran , ... dan persegi , .... Tentukan jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi.

Iklan

P. Tessalonika

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Medan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi adalah 856 cm 2 .

 jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi adalah 856 cm2.

Iklan

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah856 cm 2 . Untuk menentukan panjang sisi P 1 ​ , perhatikan gambar berikut : Diperoleh dari gambar di atas yaitu : Panjang sisi L 1 ​ = 10 Panjang sisi P 1 ​ = 10 2 ​ Panjang sisi L 2 ​ = 2 10 2 ​ ​ = 5 2 ​ Panjang sisi P 2 ​ = 5 Panjang sisi L 3 ​ = 2 5 ​ Panjang sisi P 3 ​ = 2 5 ​ 2 ​ ⋮ Luas setiap lingkaran diperoleh : Luas L 1 ​ Luas L 2 ​ Luas L 3 ​ ​ = = = = = = = = = ​ π r 1 2 ​ π ( 10 ) 2 100 π π r 2 2 ​ π ( 5 2 ​ ) 2 50 π π r 3 2 ​ π ( 2 5 ​ ) 2 4 25 ​ π ⋮ ​ Luas setiap persegi diperoleh : Luas P 1 ​ Luas P 2 ​ Luas P 3 ​ ​ = = = = = = = = = ​ s 1 2 ​ ( 10 2 ​ ) 2 200 s 2 2 ​ ( 5 ) 2 25 s 3 2 ​ ( 2 5 ​ 2 ​ ) 2 2 25 ​ ⋮ ​ Dengan demikian, jumlah luas setiap lingkaran dan persegi dapat dituliskan yaitu : Luas L ∞ ​ = 100 π + 50 π + 4 25 ​ π + … Luas P ∞ ​ = 200 + 25 + 2 25 ​ + … Bentuk di atas merupakan deret geometri tak hingga dimana : Untuk lingkaran a L ​ = 100 π dan rasionya r L ​ = 100 π 50 π ​ = 2 1 ​ Untuk persegi a P ​ = 200 dan rasionya r P ​ = 200 25 ​ = 8 1 ​ Sehingga dengan rumus jumlah deret geometri tak hingga diperoleh : Jumlah luas seluruhnya ​ = = = = = = = = = ​ S L ∞ ​ + S P ∞ ​ 1 − r L ​ a L ​ ​ + 1 − r P ​ a P ​ ​ 1 − 2 1 ​ 100 π ​ + 1 − 8 1 ​ 200 ​ 2 2 − 1 ​ 100 π ​ + 8 8 − 1 ​ 200 ​ 2 1 ​ 100 π ​ + 8 7 ​ 200 ​ ( 100 π × 2 ) + ( 200 × 7 8 ​ ) 200 ( 3 , 14 ) + 200 ( 1 , 14 ) 628 + 288 856 ​ Dengan demikian,jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi adalah 856 cm 2 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah 856 cm2.

Untuk menentukan panjang sisi  , perhatikan gambar berikut :



Diperoleh dari gambar di atas yaitu :

 

Luas setiap lingkaran diperoleh :

 

Luas setiap persegi diperoleh :

 

Dengan demikian, jumlah luas setiap lingkaran dan persegi dapat dituliskan yaitu :

 

Bentuk di atas merupakan deret geometri tak hingga dimana :

  • Untuk lingkaran  dan rasionya  
  • Untuk persegi  dan rasionya  

Sehingga dengan rumus jumlah deret geometri tak hingga diperoleh :

 

Dengan demikian, jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi adalah 856 cm2.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

13

Iklan

Iklan

Pertanyaan serupa

Diketahui segitiga sama sisi dengan panjang sisi 12 cm . Titik-titik tengah sisi-sisinya merupakan titik-titik sudut segitiga ke-2. Titik-titik tengah segitiga ke-2merupakan titik-titik sudut segitiga...

9

4.4

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Download di Google PlayDownload di AppstoreDownload di App Gallery

Produk Ruangguru

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

+62 815-7441-0000

Email info@ruangguru.com

info@ruangguru.com

Contact 02140008000

02140008000

Ikuti Kami

©2024 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia