Pertanyaan

Perhatikan gambar berikut! Diberikan lingkaran L 1 dengan jari-jari 10 cm . Di dalam L 1 , dibuat persegi P 1 dengan keempat titik sudutnya terletak pada keliling L 1 .Di dalam P 1 , dibuat lingkaran L 2 yang kelilingnya menyinggung keempat sisi persegi tersebut. Di dalam L 2 , dibuat lingkaran P 2 dengan keempat titik sudutnya terletak pada keliling L 2 .Demikian seterusnya, hingga diperoleh lingkaran L 1 , L 2 , L 3 , ...dan persegi L 1 , L 2 , L 3 , .... Tentukan jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi.

Perhatikan gambar berikut!

Diberikan lingkaran $L_{1}$ dengan jari-jari $10 cm$ . Di dalam $L_{1}$ , dibuat persegi $P_{1}$ dengan keempat titik sudutnya terletak pada keliling $L_{1}$ . Di dalam $P_{1}$ , dibuat lingkaran $L_{2}$ yang kelilingnya menyinggung keempat sisi persegi tersebut. Di dalam $L_{2}$ , dibuat lingkaran $P_{2}$ dengan keempat titik sudutnya terletak pada keliling $L_{2}$ . Demikian seterusnya, hingga diperoleh lingkaran $L_{1}$ , $L_{2}$ , $L_{3}$ , ... dan persegi $L_{1}$ , $L_{2}$ , $L_{3}$ , .... Tentukan jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi.

Ikuti Tryout SNBT & Menangkan E-Wallet 100rb

Habis dalam

Klaim

P. Tessalonika

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Medan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi adalah 856 cm 2 .

jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi adalah 856 cm².

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah856 cm 2 . Untuk menentukan panjang sisi P 1 , perhatikan gambar berikut : Diperoleh dari gambar di atas yaitu : Panjang sisi L 1 = 10 Panjang sisi P 1 = 10 2 Panjang sisi L 2 = 2 10 2 = 5 2 Panjang sisi P 2 = 5 Panjang sisi L 3 = 2 5 Panjang sisi P 3 = 2 5 2 ⋮ Luas setiap lingkaran diperoleh : Luas L 1 Luas L 2 Luas L 3 = = = = = = = = = π r 1 2 π ( 10 ) 2 100 π π r 2 2 π ( 5 2 ) 2 50 π π r 3 2 π ( 2 5 ) 2 4 25 π ⋮ Luas setiap persegi diperoleh : Luas P 1 Luas P 2 Luas P 3 = = = = = = = = = s 1 2 ( 10 2 ) 2 200 s 2 2 ( 5 ) 2 25 s 3 2 ( 2 5 2 ) 2 2 25 ⋮ Dengan demikian, jumlah luas setiap lingkaran dan persegi dapat dituliskan yaitu : Luas L ∞ = 100 π + 50 π + 4 25 π + … Luas P ∞ = 200 + 25 + 2 25 + … Bentuk di atas merupakan deret geometri tak hingga dimana : Untuk lingkaran a L = 100 π dan rasionya r L = 100 π 50 π = 2 1 Untuk persegi a P = 200 dan rasionya r P = 200 25 = 8 1 Sehingga dengan rumus jumlah deret geometri tak hingga diperoleh : Jumlah luas seluruhnya = = = = = = = = = S L ∞ + S P ∞ 1 − r L a L + 1 − r P a P 1 − 2 1 100 π + 1 − 8 1 200 2 2 − 1 100 π + 8 8 − 1 200 2 1 100 π + 8 7 200 ( 100 π × 2 ) + ( 200 × 7 8 ) 200 ( 3 , 14 ) + 200 ( 1 , 14 ) 628 + 288 856 Dengan demikian,jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi adalah 856 cm 2 .

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah 856 cm².

Untuk menentukan panjang sisi $P_{1}$ , perhatikan gambar berikut :

Diperoleh dari gambar di atas yaitu :

$Panjang sisi L_{1} = 10 Panjang sisi P_{1} = 102 Panjang sisi L_{2} = \frac{10 2}{2} = 52 Panjang sisi P_{2} = 5 Panjang sisi L_{3} = \frac{5}{2} Panjang sisi P_{3} = \frac{5}{2} 2 ⋮$

Luas setiap lingkaran diperoleh :

$Luas L_{1} Luas L_{2} Luas L_{3} = = = = = = = = = π r_{1}^{2} π (10)^{2} 100 π π r_{2}^{2} π (52)^{2} 50 π π r_{3}^{2} π (\frac{5}{2})^{2} \frac{25}{4} π ⋮$

Luas setiap persegi diperoleh :

$Luas P_{1} Luas P_{2} Luas P_{3} = = = = = = = = = s_{1}^{2} (102)^{2} 200 s_{2}^{2} (5)^{2} 25 s_{3}^{2} (\frac{5}{2} 2)^{2} \frac{25}{2} ⋮$

Dengan demikian, jumlah luas setiap lingkaran dan persegi dapat dituliskan yaitu :

$Luas L_{\infty} = 100 π + 50 π + \frac{25}{4} π + \dots Luas P_{\infty} = 200 + 25 + \frac{25}{2} + \dots$

Bentuk di atas merupakan deret geometri tak hingga dimana :

Untuk lingkaran $a_{L} = 100 π$ dan rasionya $r_{L} = \frac{50 π}{100 π} = \frac{1}{2}$
Untuk persegi $a_{P} = 200$ dan rasionya $r_{P} = \frac{25}{200} = \frac{1}{8}$

Sehingga dengan rumus jumlah deret geometri tak hingga diperoleh :

$Jumlah luas seluruhnya = = = = = = = = = S_{L \infty} + S_{P \infty} \frac{a _{L}}{1 - r _{L}} + \frac{a _{P}}{1 - r _{P}} \frac{100 π}{1 - \frac{1}{2}} + \frac{200}{1 - \frac{1}{8}} \frac{100 π}{\frac{2 - 1}{2}} + \frac{200}{\frac{8 - 1}{8}} \frac{100 π}{\frac{1}{2}} + \frac{200}{\frac{7}{8}} (100 π \times 2) + (200 \times \frac{8}{7}) 200 (3, 14) + 200 (1, 14) 628 + 288 856$

Dengan demikian, jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi adalah 856 cm².

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui segitiga sama sisi dengan panjang sisi 12 cm . Titik-titik tengah sisi-sisinya merupakan titik-titik sudut segitiga ke-2. Titik-titik tengah segitiga ke-2merupakan titik-titik sudut segitiga...

4.4

Jawaban terverifikasi

4.4

Jawaban terverifikasi

Suku ke- n deret geometri dirumus- kan dengan U n = 4 ⋅ 3 2 − n . Jumlah tak hingga suku-suku deret tersebut = …

5.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan nilai dari x → ∞ lim ( 9 + 6 + 4 + 3 8 + … + 3 m u ) .

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui deret geometri dengan suku kedua adalah 120 dan suku keempat adalah 30 . Tentukan: a.Jumlah untuk banyak suku tak hingga

3.0