Perhatikan gambar berikut! Diberikan lingkaran L1 dengan jari-jari 10 cm. Di dalam L1, dibuat persegi P1 dengan keempat titik sudutnya terletak pada keliling L1. Di dalam P1, dibuat lingkaran L2 yang kelilingnya menyinggung keempat sisi persegi tersebut. Di dalam L2, dibuat lingkaran P2dengan keempat titik sudutnya terletak pada keliling L2. Demikian seterusnya, hingga diperoleh lingkaran L1, L2, L3, ... dan persegi L1, L2, L3, .... Tentukan jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi.

Pertanyaan

Perhatikan gambar berikut!

Diberikan lingkaran $L_1$ dengan jari-jari $10\;\mathrm{cm}$ . Di dalam $L_1$ , dibuat persegi $P_1$ dengan keempat titik sudutnya terletak pada keliling $L_1$ . Di dalam $P_1$ , dibuat lingkaran $L_2$ yang kelilingnya menyinggung keempat sisi persegi tersebut. Di dalam $L_2$ , dibuat lingkaran $P_2$ dengan keempat titik sudutnya terletak pada keliling $L_2$ . Demikian seterusnya, hingga diperoleh lingkaran $L_1$ , $L_2$ , $L_3$ , ... dan persegi $L_1$ , $L_2$ , $L_3$ , .... Tentukan jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi.

P. Tessalonika

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Medan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi adalah 856 cm².

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah 856 cm².

Untuk menentukan panjang sisi $P_1$ , perhatikan gambar berikut :

Diperoleh dari gambar di atas yaitu :

$Panjang space sisi space straight L subscript 1 equals 10 Panjang space sisi space straight P subscript 1 equals 10 square root of 2 Panjang space sisi space straight L subscript 2 equals fraction numerator 10 square root of 2 over denominator 2 end fraction equals 5 square root of 2 Panjang space sisi space straight P subscript 2 equals 5 Panjang space sisi space straight L subscript 3 equals 5 over 2 Panjang space sisi space straight P subscript 3 equals 5 over 2 square root of 2 vertical ellipsis$

Luas setiap lingkaran diperoleh :

$\begin{array}{rcl}\text{Luas}\;{\text{L}}_1&=&\mathrm\pi r_1^2\\&=&\mathrm\pi\left(10\right)^2\\&=&100\mathrm\pi\\\mathrm{Luas}\;{\mathrm L}_2&=&\mathrm\pi r_2^2\\&=&\mathrm\pi\left(5\sqrt2\right)^2\\&=&50\mathrm\pi\\\mathrm{Luas}\;{\mathrm L}_3&=&\mathrm\pi r_3^2\\&=&\mathrm\pi\left(\frac52\right)^2\\&=&\frac{25}4\mathrm\pi\\&&\vdots\end{array}$

Luas setiap persegi diperoleh :

$\begin{array}{rcl}\text{Luas}\;{\text{P}}_1&=&s_1^2\\&=&\left(10\sqrt2\right)^2\\&=&200\\\mathrm{Luas}\;{\mathrm P}_2&=&s_2^2\\&=&\left(5\right)^2\\&=&25\\\mathrm{Luas}\;{\mathrm P}_3&=&s_3^2\\&=&\left(\frac52\sqrt2\right)^2\\&=&\frac{25}2\\&&\vdots\end{array}$

Dengan demikian, jumlah luas setiap lingkaran dan persegi dapat dituliskan yaitu :

$\mathrm{Luas}\;{\mathrm L}_\infty=100\mathrm\pi+50\mathrm\pi+\frac{25}4\mathrm\pi+\dots\\\mathrm{Luas}\;{\mathrm P}_\infty=200+25+\frac{25}2+\dots$

Bentuk di atas merupakan deret geometri tak hingga dimana :

Untuk lingkaran $a_\text{L}=100\mathrm\pi$ dan rasionya $r subscript straight L equals fraction numerator 50 straight pi over denominator 100 straight pi end fraction equals 1 half$
Untuk persegi $a_{\mathrm P}=200$ dan rasionya $r_{\mathrm P}=\frac{25}{200}=\frac18$

Sehingga dengan rumus jumlah deret geometri tak hingga diperoleh :

$table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Jumlah space luas space seluruhnya end cell equals cell straight S subscript straight L infinity end subscript plus straight S subscript straight P infinity end subscript end cell row blank equals cell fraction numerator a subscript straight L over denominator 1 minus r subscript straight L end fraction plus fraction numerator a subscript straight P over denominator 1 minus r subscript straight P end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 100 straight pi over denominator 1 minus begin display style 1 half end style end fraction plus fraction numerator 200 over denominator 1 minus begin display style 1 over 8 end style end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 100 straight pi over denominator begin display style fraction numerator 2 minus 1 over denominator 2 end fraction end style end fraction plus fraction numerator 200 over denominator begin display style fraction numerator 8 minus 1 over denominator 8 end fraction end style end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 100 straight pi over denominator begin display style 1 half end style end fraction plus fraction numerator 200 over denominator begin display style 7 over 8 end style end fraction end cell row blank equals cell open parentheses 100 straight pi cross times 2 close parentheses plus open parentheses 200 cross times 8 over 7 close parentheses end cell row blank equals cell 200 open parentheses 3 comma 14 close parentheses plus 200 open parentheses 1 comma 14 close parentheses end cell row blank equals cell 628 plus 288 end cell row blank equals 856 end table$

Dengan demikian, jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi adalah 856 cm².

211

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui segitiga sama sisi dengan panjang sisi 12 cm. Titik-titik tengah sisi-sisinya merupakan titik-titik sudut segitiga ke-2. Titik-titik tengah segitiga ke-2 merupakan titik-titik sudut segitiga...

328

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika (k+6), (k−2), dan (k−6) berturut-turut adalah suku pertama, kedua, dan ketiga suatu deret geometri tak hingga, maka jumlah deret tak hingga tersebut adalah ...

552

3.5

Jawaban terverifikasi

Tentukan nilai dari n=1∑∞5⋅2n32.

5.0

Jawaban terverifikasi

Tentukan nilai dari n=1∑∞2⋅32−n.

3.5

Jawaban terverifikasi

Jika pada segitiga siku-siku ABC panjang AC=x, sudut ACB=90∘ dan sudut BAC=60∘. CC1⊥AB, C2C1⊥BC, C2C3⊥AB, C3C4⊥BC dan seterusnya. Panjang AC+CC1+C1C2+C2C3+C3C4+⋯=…

398

5.0

Jawaban terverifikasi