Perhatikan gambar berikut!     Diberikan lingkaran L1​ dengan jari-jari 10 cm. Di dalam L1​, dibuat persegi P1​ dengan keempat titik sudutnya terletak pada keliling L1​. Di dalam P1​, dibuat lingkaran L2​ yang kelilingnya menyinggung keempat sisi persegi tersebut. Di dalam L2​, dibuat lingkaran P2​dengan keempat titik sudutnya terletak pada keliling L2​. Demikian seterusnya, hingga diperoleh lingkaran L1​, L2​, L3​, ... dan persegi L1​, L2​, L3​, .... Tentukan jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi.

Pertanyaan

Perhatikan gambar berikut!
 


 

Diberikan lingkaran L subscript 1 dengan jari-jari 10 space cm. Di dalam L subscript 1, dibuat persegi P subscript 1 dengan keempat titik sudutnya terletak pada keliling L subscript 1. Di dalam P subscript 1, dibuat lingkaran L subscript 2 yang kelilingnya menyinggung keempat sisi persegi tersebut. Di dalam L subscript 2, dibuat lingkaran P subscript 2dengan keempat titik sudutnya terletak pada keliling L subscript 2. Demikian seterusnya, hingga diperoleh lingkaran L subscript 1L subscript 2L subscript 3, ... dan persegi L subscript 1L subscript 2L subscript 3, .... Tentukan jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi.

P. Tessalonika

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Medan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

 jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi adalah 856 cm2.

Pembahasan

Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah 856 cm2.

Untuk menentukan panjang sisi P subscript 1 , perhatikan gambar berikut :



Diperoleh dari gambar di atas yaitu :

Panjang space sisi space straight L subscript 1 equals 10 Panjang space sisi space straight P subscript 1 equals 10 square root of 2 Panjang space sisi space straight L subscript 2 equals fraction numerator 10 square root of 2 over denominator 2 end fraction equals 5 square root of 2 Panjang space sisi space straight P subscript 2 equals 5 Panjang space sisi space straight L subscript 3 equals 5 over 2 Panjang space sisi space straight P subscript 3 equals 5 over 2 square root of 2 vertical ellipsis 

Luas setiap lingkaran diperoleh :

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell text Luas end text space text L end text subscript 1 end cell equals cell straight pi r subscript 1 squared end cell row blank equals cell straight pi open parentheses 10 close parentheses squared end cell row blank equals cell 100 straight pi end cell row cell Luas space straight L subscript 2 end cell equals cell straight pi r subscript 2 squared end cell row blank equals cell straight pi open parentheses 5 square root of 2 close parentheses squared end cell row blank equals cell 50 straight pi end cell row cell Luas space straight L subscript 3 end cell equals cell straight pi r subscript 3 squared end cell row blank equals cell straight pi open parentheses 5 over 2 close parentheses squared end cell row blank equals cell 25 over 4 straight pi end cell row blank blank vertical ellipsis end table 

Luas setiap persegi diperoleh :

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell text Luas end text space text P end text subscript 1 end cell equals cell s subscript 1 squared end cell row blank equals cell open parentheses 10 square root of 2 close parentheses squared end cell row blank equals 200 row cell Luas space straight P subscript 2 end cell equals cell s subscript 2 squared end cell row blank equals cell open parentheses 5 close parentheses squared end cell row blank equals 25 row cell Luas space straight P subscript 3 end cell equals cell s subscript 3 squared end cell row blank equals cell open parentheses 5 over 2 square root of 2 close parentheses squared end cell row blank equals cell 25 over 2 end cell row blank blank vertical ellipsis end table 

Dengan demikian, jumlah luas setiap lingkaran dan persegi dapat dituliskan yaitu :

Luas space straight L subscript infinity equals 100 straight pi plus 50 straight pi plus 25 over 4 straight pi plus horizontal ellipsis Luas space straight P subscript infinity equals 200 plus 25 plus 25 over 2 plus horizontal ellipsis 

Bentuk di atas merupakan deret geometri tak hingga dimana :

  • Untuk lingkaran a subscript text L end text end subscript equals 100 straight pi dan rasionya r subscript straight L equals fraction numerator 50 straight pi over denominator 100 straight pi end fraction equals 1 half 
  • Untuk persegi a subscript straight P equals 200 dan rasionya r subscript straight P equals 25 over 200 equals 1 over 8 

Sehingga dengan rumus jumlah deret geometri tak hingga diperoleh :

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell Jumlah space luas space seluruhnya end cell equals cell straight S subscript straight L infinity end subscript plus straight S subscript straight P infinity end subscript end cell row blank equals cell fraction numerator a subscript straight L over denominator 1 minus r subscript straight L end fraction plus fraction numerator a subscript straight P over denominator 1 minus r subscript straight P end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 100 straight pi over denominator 1 minus begin display style 1 half end style end fraction plus fraction numerator 200 over denominator 1 minus begin display style 1 over 8 end style end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 100 straight pi over denominator begin display style fraction numerator 2 minus 1 over denominator 2 end fraction end style end fraction plus fraction numerator 200 over denominator begin display style fraction numerator 8 minus 1 over denominator 8 end fraction end style end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 100 straight pi over denominator begin display style 1 half end style end fraction plus fraction numerator 200 over denominator begin display style 7 over 8 end style end fraction end cell row blank equals cell open parentheses 100 straight pi cross times 2 close parentheses plus open parentheses 200 cross times 8 over 7 close parentheses end cell row blank equals cell 200 open parentheses 3 comma 14 close parentheses plus 200 open parentheses 1 comma 14 close parentheses end cell row blank equals cell 628 plus 288 end cell row blank equals 856 end table 

Dengan demikian, jumlah luas seluruh lingkaran dan seluruh persegi adalah 856 cm2.

211

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Diketahui segitiga sama sisi dengan panjang sisi 12 cm. Titik-titik tengah sisi-sisinya merupakan titik-titik sudut segitiga ke-2. Titik-titik tengah segitiga ke-2 merupakan titik-titik sudut segitiga...

328

5.0

Jawaban terverifikasi

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Roboguru

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Download di Google PlayDownload di AppstoreDownload di App Gallery

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ruangguru WhatsApp

081578200000

Email info@ruangguru.com

info@ruangguru.com

Contact 02140008000

02140008000

Ikuti Kami

©2022 Ruangguru. All Rights Reserved PT. Ruang Raya Indonesia