Pertanyaan

Jika U 1 , U 2 , U 3 merupakan suku-suku pada deret aritmetika yangbukan nol, tunjukkan bahwa: U 1 2 − U 2 2 + U 3 2 − U 4 2 + ... − U 2 k 2 = 2 k − 1 k ( U 1 2 − U 2 k 2 )

Jika $U_{1}, U_{2}, U_{3}$ merupakan suku-suku pada deret aritmetika yang bukan nol, tunjukkan bahwa:

$U_{1}^{2} - U_{2}^{2} + U_{3}^{2} - U_{4}^{2} + ... - U_{2 k}^{2} = \frac{k}{2 k - 1} (U_{1}^{2} - U_{2 k}^{2})$

S. Dwi

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

benar bahwa U 1 2 − U 2 2 + U 3 2 − U 4 2 + ... − U 2 k 2 = 2 k − 1 k ( U 1 2 − U 2 k 2 ) .

benar bahwa

U_{1}^{2} - U_{2}^{2} + U_{3}^{2} - U_{4}^{2} + ... - U_{2 k}^{2} = \frac{k}{2 k - 1} (U_{1}^{2} - U_{2 k}^{2})

Pembahasan

Ingat rumus menentukan jumlah suku ke − n barisan aritmetika sebagai berikut. S n = 2 n ( U 1 + U n ) Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa: U 1 2 − U 2 2 + U 3 2 − U 4 2 + ... − U 2 k 2 = 2 k − 1 k ( U 1 2 − U 2 k 2 ) Perhatikan perhitungan berikut. U 1 2 − U 2 2 + U 3 2 − U 4 2 + ... − U 2 k 2 = U 1 2 − U 2 2 + U 3 2 − U 4 2 + ... + U 2 k − 1 2 − U 2 k 2 = ( U 1 − U 2 ) ( U 1 + U 2 ) + ( U 3 − U 4 ) ( U 3 + U 4 ) + ... + ( U 2 k − 1 − U 2 k ) ( U 2 k − 1 + U 2 k ) = − b ( U 1 + U 2 ) − b ( U 3 + U 4 ) − ... − b ( U 2 k − 1 + U 2 k ) = − b ( U 1 + U 2 + U 3 + U 4 + ... + U 2 k − 1 + U 2 k ) Dengan menggunakan rumus di atas dan n = 2 k , diperoleh = − b ( U 1 + U 2 + U 3 + U 4 + ... + U 2 k − 1 + U 2 k ) = − b ⋅ 2 2 k ⋅ ( U 1 + U 2 k ) = − b ⋅ k ⋅ ( U 1 + U 2 k ) = − b ⋅ ( 2 k − 1 ) ⋅ 2 k − 1 k ⋅ ( U 1 + U 2 k ) Ingat rumus menentukan suku ke − n barisan aritmetika sebagai berikut. U n = U 1 + ( n − 1 ) b Lalu, dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh: U 1 − U 2 k = = U 1 − ( U 1 + ( 2 k − 1 ) b ) − b ( 2 k − 1 ) Selanjutnya, substitusikan U 1 − U 2 k = − b ( 2 k − 1 ) sehingga diperoleh: U 1 2 − U 2 2 + U 3 2 − U 4 2 + ... − U 2 k 2 = − b ⋅ ( 2 k − 1 ) ⋅ 2 k − 1 k ( U 1 + U 2 k ) = ( U 1 − U 2 k ) ⋅ 2 k − 1 k ⋅ ( U 1 + U 2 k ) = 2 k − 1 k ( U 1 2 − U 2 k 2 ) Dengan demikian, benar bahwa U 1 2 − U 2 2 + U 3 2 − U 4 2 + ... − U 2 k 2 = 2 k − 1 k ( U 1 2 − U 2 k 2 ) .

Ingat rumus menentukan jumlah suku ke $- n$ barisan aritmetika sebagai berikut.

$S_{n} = \frac{n}{2} (U_{1} + U_{n})$

Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa:

$U_{1}^{2} - U_{2}^{2} + U_{3}^{2} - U_{4}^{2} + ... - U_{2 k}^{2} = \frac{k}{2 k - 1} (U_{1}^{2} - U_{2 k}^{2})$

Perhatikan perhitungan berikut.

$U_{1}^{2} - U_{2}^{2} + U_{3}^{2} - U_{4}^{2} + ... - U_{2 k}^{2} = U_{1}^{2} - U_{2}^{2} + U_{3}^{2} - U_{4}^{2} + ... + U_{2 k - 1}^{2} - U_{2 k}^{2} = (U_{1} - U_{2}) (U_{1} + U_{2}) + (U_{3} - U_{4}) (U_{3} + U_{4}) + ... + (U_{2 k - 1} - U_{2 k}) (U_{2 k - 1} + U_{2 k}) = - b (U_{1} + U_{2}) - b (U_{3} + U_{4}) - ... - b (U_{2 k - 1} + U_{2 k}) = - b (U_{1} + U_{2} + U_{3} + U_{4} + ... + U_{2 k - 1} + U_{2 k})$

Dengan menggunakan rumus di atas dan $n = 2 k$ , diperoleh

$= - b (U_{1} + U_{2} + U_{3} + U_{4} + ... + U_{2 k - 1} + U_{2 k}) = - b \cdot \frac{2 k}{2} \cdot (U_{1} + U_{2 k}) = - b \cdot k \cdot (U_{1} + U_{2 k}) = - b \cdot (2 k - 1) \cdot \frac{k}{2 k - 1} \cdot (U_{1} + U_{2 k})$

Ingat rumus menentukan suku ke $- n$ barisan aritmetika sebagai berikut.

$U_{n} = U_{1} + (n - 1) b$

Lalu, dengan menggunakan rumus di atas, diperoleh:

$U_{1} - U_{2 k} = = U_{1} - (U_{1} + (2 k - 1) b) - b (2 k - 1)$

Selanjutnya, substitusikan $U_{1} - U_{2 k} = - b (2 k - 1)$ sehingga diperoleh:

$U_{1}^{2} - U_{2}^{2} + U_{3}^{2} - U_{4}^{2} + ... - U_{2 k}^{2} = - b \cdot (2 k - 1) \cdot \frac{k}{2 k - 1} (U_{1} + U_{2 k}) = (U_{1} - U_{2 k}) \cdot \frac{k}{2 k - 1} \cdot (U_{1} + U_{2 k}) = \frac{k}{2 k - 1} (U_{1}^{2} - U_{2 k}^{2})$

Dengan demikian, benar bahwa $U_{1}^{2} - U_{2}^{2} + U_{3}^{2} - U_{4}^{2} + ... - U_{2 k}^{2} = \frac{k}{2 k - 1} (U_{1}^{2} - U_{2 k}^{2})$ .

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (1 rating)

Pertanyaan serupa

Suku ke − n sebuah deret aritmetika dinyatakan oleh U n = 4 n − 1 . Nilai jumlah 10 suku pertama deret aritmetika tersebut adalah ...

4.7

Jawaban terverifikasi

Dari suatu deret aritmetika diketahui jumlah 4 suku pertama sama dengan 17 dan jumlah 8 suku pertama adalah 58, maka suku pertama dari deret tersebut adalah ....

4.5

Jawaban terverifikasi

Suku ke-2 dan suku ke-5 suatu barisan aritmetika berturut-turut adalah 9 dan 24. Jumlah 10 suku pertama barisan tersebut adalah....

5.0

Jawaban terverifikasi

Diketahui tiga buah bilangan membentuk barisan aritmetika. Jumlah ketiga bilangan itu 75 , sedangkan selisih kuadrat bilangan ketiga dan kuadrat bilangan pertama adalah 700 . Nilai ketiga bilangan ter...

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika tiga suku pertama suatu deret aritmetika adalah x , x 2 + 1 , dan 3 x , dengan x bilangan asli, maka jumlah sembilan suku pertama deret tersebut adalah ....

3.7

Jawaban terverifikasi