Pertanyaan

Jika lingkaran x 2 + y 2 + a x + b y + C = 0 berpusat di A ( 1 , − 1 ) menyinggung garis y = x , nilai ( a + b + c ) sama dengan ...

Jika lingkaran $x^{2} + y^{2} + a x + b y + C = 0$ berpusat di $A (1, - 1)$ menyinggung garis $y = x$ , nilai $(a + b + c)$ sama dengan ...

E. Lestari

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Sebelas Maret

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah A.

Pembahasan

Persamaan umum sebuah lingkaran yang berpusat di P ( a , b ) dan berjari-jari r adalah: ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = r 2 Karena dalam soal, lingkaran berpusat di A ( 1 , − 1 ) dan berjari-jari r , maka persamaan lingkaran yang diperoleh adalah ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 ( x − 1 ) 2 + ( y − ( − 1 )) 2 ( x − 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 ( x − 1 ) ( x − 1 ) + ( y + 1 ) ( y + 1 ) x 2 − x − x + 1 + y 2 + y + y + 1 x 2 + y 2 − 2 x + 2 y + 2 x 2 + y 2 − 2 x + a y + 2 − r 2 = = = = = = = r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 r 2 0 ... ( 1 ) Dari soal diketahui bahwapersamaan lingkaran adalah x 2 + y 2 + a x + b y + C = 0 Substitusikan persamaan 1 ke dalam persamaan lingkaran tersebut x 2 + y 2 − 2 x + 2 y + 2 − r 2 = x 2 + y 2 + a x + b y + C Diperoleh nilai , b , dan . nilai − 2 x a = = a x − 2 nilai b 2 y b = = b y 2 nilai c = 2 − r 2 Karena jari-jari lingkaran belum diketahui, maka dihitung terlebih dahulu besar jari-jari atau r . Jari-jari lingkaran tersebut dirumuskan sebagai berikut: r = ∣ ∣ a 2 + b 2 a x 1 + b y 1 + c ∣ ∣ Dari soal diketahui pusat lingkaran adalah A ( 1 , − 1 ) dan menyinggung garis y = x , maka jari-jari lingkaran tersebut diperoleh: P ( x 1 , y 1 ) = A ( 1 , − 1 ) x 1 = 1 , y = − 1 y y − x − x + y = = = x 0 0 a = − 1 , b = 1 , c = 0 r r r r r r r = = = = = = = ∣ ∣ a 2 + b 2 a x 1 + b y 1 + c ∣ ∣ ∣ ∣ ( − 1 ) 2 + 1 2 − 1 ( 1 ) + 1 ( − 1 ) + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ 1 + 1 − 1 − 1 + 0 ∣ ∣ ∣ ∣ 2 − 2 ∣ ∣ 2 2 × 2 2 2 2 2 2 Diperoleh jari-jari lingkaran tersebut adalah 2 . Substitusikan dalam c c c = = = 2 − r 2 2 − ( 2 ) 2 c = 2 − 2 0 Didapat nilai a = − 2 , b = 2 , dan c = 0 Jadi nilai a + b + c adalah a + b + c a + b + c = = 2 + 2 + 0 0 Jadi nilai a + b + c pada persamaan lingkaran x 2 + y 2 + a x + b y + C = 0 adalah 0 . Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah A.

Persamaan umum sebuah lingkaran yang berpusat di $P (a, b)$ dan berjari-jari $r$ adalah:

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$

Karena dalam soal, lingkaran berpusat di $A (1, - 1)$ dan berjari-jari $r$ , maka persamaan lingkaran yang diperoleh adalah

$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} (x - 1)^{2} + (y - (- 1))^{2} (x - 1)^{2} + (y + 1)^{2} (x - 1) (x - 1) + (y + 1) (y + 1) x^{2} - x - x + 1 + y^{2} + y + y + 1 x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y + 2 x^{2} + y^{2} - 2 x + a y + 2 - r^{2} = = = = = = = r^{2} r^{2} r^{2} r^{2} r^{2} r^{2} 0 ... (1)$

Dari soal diketahui bahwa persamaan lingkaran adalah $x^{2} + y^{2} + a x + b y + C = 0$

Substitusikan persamaan 1 ke dalam persamaan lingkaran tersebut

$x^{2} + y^{2} - 2 x + 2 y + 2 - r^{2} = x^{2} + y^{2} + a x + b y + C$

Diperoleh nilai $a$ , $b$ , dan $c$ .

nilai $a$

$- 2 x a = = a x - 2$

nilai $b$

$2 y b = = b y 2$

nilai $c$

$c = 2 - r^{2}$

Karena jari-jari lingkaran belum diketahui, maka dihitung terlebih dahulu besar jari-jari atau $r$ .

Jari-jari lingkaran tersebut dirumuskan sebagai berikut:

$r = ∣ ∣ \frac{a x _{1} + b y _{1} + c}{a ^{2} + b ^{2}} ∣ ∣$

Dari soal diketahui pusat lingkaran adalah $A (1, - 1)$ dan menyinggung garis $y = x$ , maka jari-jari lingkaran tersebut diperoleh:

$P (x_{1}, y_{1}) = A (1, - 1)$

$x_{1} = 1, y = - 1$

$y y - x - x + y = = = x 00$

$a = - 1, b = 1, c = 0$

$r r r r r r r = = = = = = = ∣ ∣ \frac{a x _{1} + b y _{1} + c}{a ^{2} + b ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- 1 ( 1 ) + 1 ( - 1 ) + 0}{( - 1 ) ^{2} + 1 ^{2}} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- 1 - 1 + 0}{1 + 1} ∣ ∣ ∣ ∣ \frac{- 2}{2} ∣ ∣ \frac{2}{2} \times \frac{2}{2} \frac{2}{2} 2 2$

Diperoleh jari-jari lingkaran tersebut adalah $2$ . Substitusikan dalam $c$

$c c c = = = 2 - r^{2} 2 - (2)^{2} c = 2 - 2 0$

Didapat nilai

$a = - 2, b = 2, dan c = 0$

Jadi nilai $a + b + c$ adalah

$a + b + c a + b + c = = 2 + 2 + 0 0$

Jadi nilai $a + b + c$ pada persamaan lingkaran $x^{2} + y^{2} + a x + b y + C = 0$ adalah $0$ .

Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah A.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

5.0 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Persamaan lingkaran yang berpusat di ( 1 , 3 ) dan menyinggung garis y = x adalah...

4.7

Jawaban terverifikasi

Suatu gempa mengakibatkan daerah yang terdampak membentuk lingkaran dengan persamaan x 2 + y 2 + a x + b y + c = 0 . Jika titik pusat (episentrum) gempa berada dikoordinat P ( 1 , − 1 ) , maka daerah ...

0.0

Jawaban terverifikasi

Persamaan lingkaran yang berpusat di A ( 1 , 2 ) dan menyinggung garis y = x adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Persamaan lingkaran yang berpusat di ( 1 , − 2 ) dan menyinggung garis 5 x − 12 y + 10 = 0 adalah...

4.6

Jawaban terverifikasi

Diketahui garis l melalui titik ( 6 , 0 ) dan titik ( 0 , 8 ) . Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat ( 1 , 2 ) yang menyinggung garis l .

0.0

Jawaban terverifikasi