Pertanyaan

Jika fungsi g ( x ) = p x 2 − 4 naik pada x ≤ − 2 dan turun pada x ≥ 2 , maka himpunan semua nilai yang memenuhi adalah ....

Jika fungsi $g (x) = p x^{2} - 4$ naik pada $x \leq - 2$ dan turun pada $x \geq 2$ , maka himpunan semua nilai $p$ yang memenuhi adalah ....

$\emptyset$
$p \geq 2$
$p > 0$
$p < 0$
$p \leq - 2$

N. Puspita

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah D.

Pembahasan

Ingat, fungsi f ( x ) akan naik jika f ′ ( x ) > 0 dan turun jika f ′ ( x ) < 0 . Pada soal di atas, diketahui fungsi g ( x ) = p x 2 − 4 , maka g ( x ) = p x 2 − 4 g ( x ) = p ( x 2 − 4 ) 2 1 g ′ ( x ) = 2 1 p ( x 2 − 4 ) 2 1 − 1 ⋅ ( 2 x ) g ′ ( x ) = p x ( x 2 − 4 ) − 2 1 g ′ ( x ) = ( x 2 − 4 ) 2 1 p x g ′ ( x ) = x 2 − 4 p x Fungsi g ( x ) naik pada x ≤ − 2 artinya g ′ ( x ) > 0 ⇔ x 2 − 4 p x > 0 Agar x 2 − 4 p x > 0 dengan x ≤ − 2 , maka haruslah p bernilai negatif sehingga pada kasus fungsi g ( x ) naik, diperoleh nilai p < 0 . Fungsi g ( x ) turun pada x ≥ 2 artinya g ′ ( x ) < 0 ⇔ x 2 − 4 p x < 0 Agar x 2 − 4 p x < 0 dengan x ≥ 2 , maka haruslah p bernilai negatif sehingga pada kasus fungsi g ( x ) turun, diperoleh nilai p < 0 . Jadi, jika fungsi g ( x ) = p x 2 − 4 naik pada x ≤ − 2 dan turun pada x ≥ 2 , maka himpunan semua nilai p yang memenuhi adalah p < 0 . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.

Ingat, fungsi $f (x)$ akan naik jika $f^{'} (x) > 0$ dan turun jika $f^{'} (x) < 0$ .

Pada soal di atas, diketahui fungsi $g (x) = p x^{2} - 4$ , maka

$g (x) = p x^{2} - 4 g (x) = p (x^{2} - 4)^{\frac{1}{2}} g^{'} (x) = \frac{1}{2} p (x^{2} - 4)^{\frac{1}{2} - 1} \cdot (2 x) g^{'} (x) = p x (x^{2} - 4)^{- \frac{1}{2}} g^{'} (x) = \frac{p x}{( x ^{2} - 4 ) ^{\frac{1}{2}}} g^{'} (x) = \frac{p x}{x ^{2} - 4}$

Fungsi $g (x)$ naik pada $x \leq - 2$ artinya

$g^{'} (x) > 0 \Leftrightarrow \frac{p x}{x ^{2} - 4} > 0$

Agar $\frac{p x}{x ^{2} - 4} > 0$ dengan $x \leq - 2$ , maka haruslah $p$ bernilai negatif sehingga pada kasus fungsi $g (x)$ naik, diperoleh nilai $p < 0$ .

Fungsi $g (x)$ turun pada $x \geq 2$ artinya

$g^{'} (x) < 0 \Leftrightarrow \frac{p x}{x ^{2} - 4} < 0$

Agar $\frac{p x}{x ^{2} - 4} < 0$ dengan $x \geq 2$ , maka haruslah $p$ bernilai negatif sehingga pada kasus fungsi $g (x)$ turun, diperoleh nilai $p < 0$ .

Jadi, jika fungsi $g (x) = p x^{2} - 4$ naik pada $x \leq - 2$ dan turun pada $x \geq 2$ , maka himpunan semua nilai $p$ yang memenuhi adalah $p < 0$ .