Jika kurva f ( x ) = a x 3 − b x 2 + 1 mempunyai titik ekstrim ( 1 , − 5 ) maka kurva tersebut naik pada...

Pembahasan

Ingat! Titik ekstrim suatu kurva tercapai saat f ′ ( x p ​ ) = 0 sedangkan kurva naik saat f ′ ( x ) ≥ 0 . Untuk f ( x ) = a x 3 − b x 2 + 1 maka: f ′ ( x ) = 3 a x 2 − 2 b x Titik ekstrim kurva adalah ( 1 , − 5 ) , sehingga: f ′ ( x ) f ′ ( x p ​ ) 0 0 2 b b ​ = = = = = = ​ 3 a x 2 − 2 b x 3 a x p 2 ​ − 2 b x p ​ 3 a ( 1 ) 2 − 2 b ( 1 ) 3 a − 2 b 3 a 2 3 a ​ ​ Selain itu: f ( x p ​ ) − 5 − 5 − 5 − 5 2 1 ​ a 2 1 ​ a a ​ = = = = = = = = = ​ a ( x p ​ ) 3 − b ( x p ​ ) 2 + 1 a ( 1 ) 2 − ( 2 3 ​ a ) ( 1 ) 2 + 1 a − 2 3 ​ a + 1 2 2 ​ a − 2 3 ​ a + 1 − 2 1 ​ a + 1 1 + 5 6 6 × 2 12 ​ Karena a = 12 , maka: b ​ = = = = ​ 2 3 ​ a 2 3 ​ ( 12 ) 3 × 6 18 ​ Sehingga diperoleh f ′ ( x ) ​ = = = ​ 3 a x 2 − 2 b x 3 ( 12 ) x 2 − 2 ( 18 ) x 36 x 2 − 36 x ​ Kurva naik saat f ′ ( x ) ≥ 0 . f ′ ( x ) 36 x 2 − 36 x 36 x ( x − 1 ) 36 x x 1 ​ x − 1 x 2 ​ ​ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ ​ 0 0 0 0 0 0 1 ​ Menentukan daerah penyelesaian Untuk 0 ≤ x ≤ 1 , misal x = 0 , 5 maka: 36 x 2 − 36 x ​ = = = = ​ 36 ( 0 , 5 ) 2 − 36 ( 0 , 5 ) 36 ( 0 , 25 ) − 18 9 − 18 − 18 ​ Untuk x ≤ 0 , misal x = − 1 maka: 36 x 2 − 36 x ​ = = = = ​ 36 ( − 1 ) 2 − 36 ( − 1 ) 36 ( 1 ) + 36 36 + 36 72 ​ Untuk x ≥ 1 , misal x = 2 maka: 36 x 2 − 36 x ​ = = = = ​ 36 ( 2 ) 2 − 36 ( 2 ) 36 ( 4 ) − 72 144 − 72 72 ​ Karena tanda pertidaksamaannya adalah lebih dari sama dengan " ≥ ", maka daerah penyelesaiannya adalah yang bernilai positif. Dengan demikian, kurva naik saat { x ∣ x ≤ 0 atau x ≥ 1 } . Oleh karena itu, jawaban yang tepat adalah B.