Pertanyaan

Jika α , β dan γ merupakan sudut-sudut △ ABC dan 1 + cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ , tunjukkan bahwa △ ABC merupakan segitiga siku-siku!

Jika $α, β$ dan $γ$ merupakan sudut-sudut $△ ABC$ dan $1 + cos^{2} α + cos^{2} β + cos^{2} γ = sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ$ , tunjukkan bahwa $△ ABC$ merupakan segitiga siku-siku!

I. Roy

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Surabaya

Jawaban terverifikasi

Jawaban

terbukti bahwa jika 1 + cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ , maka △ ABC merupakan segitiga siku-siku!

terbukti bahwa jika

1 + cos^{2} α + cos^{2} β + cos^{2} γ = sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ

, maka

△ ABC

merupakan segitiga siku-siku!

Pembahasan

Ingat bahwa : Rumus identitas Trigonometri sin 2 α + cos 2 β = 1 Sudut berelasi cos ( π − α ) = − cos α Rumus jumlah dan selisih dua sudut yaitu cos ( α + β ) cos ( α − β ) cos ( α + β ) ⋅ cos ( α − β ) = = = = = = = cos α cos β − sin α sin β cos α cos β + sin α sin β ( cos α cos β − sin α sin β ) ( cos α cos β + sin α sin β ) cos 2 α cos 2 β − sin 2 α sin 2 β cos 2 α ( 1 − sin 2 β ) − ( 1 − cos 2 α ) sin 2 β cos 2 α − cos 2 α sin 2 β − sin 2 β + cos 2 α sin 2 β cos 2 α − sin 2 β Pada segitiga ABC, maka berlaku α + β + γ α cos α cos ( β + γ ) = = = = = π π − ( β + γ ) cos ( π − ( β + γ ) ) − cos ( β + γ ) cos ( π − α ) Sehingga 1 + cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ 1 + ( 1 − sin 2 α ) + ( 1 − sin 2 β ) + ( 1 − sin 2 γ ) 4 − ( sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ ) 4 4 sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ = = = = = = = sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ + sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ 2 ( sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ ) 2 4 2 Selanjutnya sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ ( 1 − cos 2 α ) + ( 1 − cos 2 β ) + ( 1 − cos 2 γ ) 3 − ( cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ ) cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = = = = = 2 2 2 3 − 2 1 cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ cos 2 α + cos 2 β cos 2 α + cos 2 β cos 2 α + cos 2 β − sin 2 y cos 2 α + cos ( β + γ ) cos ( β − γ ) cos 2 α + cos ( π − α ) cos ( β − γ ) cos 2 α + cos ( π − α ) cos ( β − γ ) cos 2 α − cos α cos ( β − γ ) cos α ( cos α − cos ( β − γ ) ) cos α [ cos ( π − ( β + γ ) ) − cos ( β − γ ) ] cos α [ − cos ( β + γ ) − cos ( β − γ ) ] − cos α [ cos ( β + γ ) + cos ( β − γ ) ] − cos α [ cos β + cos γ − sin β sin γ + cos β cos γ + sin β sin γ ] − cos α [ 2 cos β cos γ ] − 2 cos α cos β cos γ cos α α cos β β cos γ γ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1 1 − cos 2 γ sin 2 y 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 ∘ atau 0 9 0 ∘ atau 0 9 0 ∘ Dengan demikian terbukti bahwa jika 1 + cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ , maka △ ABC merupakan segitiga siku-siku!

Ingat bahwa :

Rumus identitas Trigonometri

$sin^{2} α + cos^{2} β = 1$

Sudut berelasi

$cos (π - α) = - cos α$

Rumus jumlah dan selisih dua sudut yaitu

$cos (α + β) cos (α - β) cos (α + β) \cdot cos (α - β) = = = = = = = cos α cos β - sin α sin β cos α cos β + sin α sin β (cos α cos β - sin α sin β) (cos α cos β + sin α sin β) cos^{2} α cos^{2} β - sin^{2} α sin^{2} β cos^{2} α (1 - sin^{2} β) - (1 - cos^{2} α) sin^{2} β cos^{2} α - cos^{2} α sin^{2} β - sin^{2} β + cos^{2} α sin^{2} β cos^{2} α - sin^{2} β$

Pada segitiga ABC, maka berlaku

$α + β + γ α cos α cos (β + γ) = = = = = π π - (β + γ) cos (π - (β + γ)) - cos (β + γ) cos (π - α)$

Sehingga

$1 + cos^{2} α + cos^{2} β + cos^{2} γ 1 + (1 - sin^{2} α) + (1 - sin^{2} β) + (1 - sin^{2} γ) 4 - (sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ) 44 sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ = = = = = = = sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ + sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ 2 (sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ) \frac{4}{2} 2$

Selanjutnya

$sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ (1 - cos^{2} α) + (1 - cos^{2} β) + (1 - cos^{2} γ) 3 - (cos^{2} α + cos^{2} β + cos^{2} γ) cos^{2} α + cos^{2} β + cos^{2} γ cos^{2} α + cos^{2} β + cos^{2} γ = = = = = 222 3 - 2 1$

$cos^{2} α + cos^{2} β + cos^{2} γ cos^{2} α + cos^{2} β cos^{2} α + cos^{2} β cos^{2} α + cos^{2} β - sin^{2} y cos^{2} α + cos (β + γ) cos (β - γ) cos^{2} α + cos (π - α) cos (β - γ) cos^{2} α + cos (π - α) cos (β - γ) cos^{2} α - cos α cos (β - γ) cos α (cos α - cos (β - γ)) cos α [cos (π - (β + γ)) - cos (β - γ)] cos α [- cos (β + γ) - cos (β - γ)] - cos α [cos (β + γ) + cos (β - γ)] - cos α [cos β + cos γ - sin β sin γ + cos β cos γ + sin β sin γ] - cos α [2 cos β cos γ] - 2 cos α cos β cos γ cos α α cos β β cos γ γ = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 1 1 - cos^{2} γ sin^{2} y 0000000000000 9 0^{\circ} atau 0 9 0^{\circ} atau 0 9 0^{\circ}$

Dengan demikian terbukti bahwa jika $1 + cos^{2} α + cos^{2} β + cos^{2} γ = sin^{2} α + sin^{2} β + sin^{2} γ$ , maka $△ ABC$ merupakan segitiga siku-siku!