Roboguru

5. Jika cos(α+β)=54​ dan sin(α−β)=135​, dengan α dan β terletak di antara 0 dan 4π​, hitunglah tan2α.

Pertanyaan

5. Jika cos space open parentheses alpha plus beta close parentheses equals 4 over 5 dan sin space open parentheses alpha minus beta close parentheses equals 5 over 13, dengan alpha dan beta terletak di antara 0 dan straight pi over 4, hitunglah tan space 2 alpha.space 

Pembahasan:

Ingat!

  • table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space open parentheses alpha plus beta close parentheses end cell equals cell sin space alpha times cos space beta plus cos space alpha times sin space beta end cell end table  
  • table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space open parentheses alpha minus beta close parentheses end cell equals cell sin space alpha times cos space beta minus cos space alpha times sin space beta end cell end table 
  • table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos space open parentheses alpha plus beta close parentheses end cell equals cell cos space alpha times cos space beta minus sin space alpha times sin space beta end cell end table
  • table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos space open parentheses alpha minus beta close parentheses end cell equals cell cos space alpha times cos space beta plus sin space alpha times sin space beta end cell end table 
  • tan space alpha equals fraction numerator sin space alpha over denominator cos space alpha end fraction 
  • Jika diketahui Triple Pythagoras: ab, c, dengan cadalah sisi terpanjang, maka ketiga sisi dapat digambarkan pada segitiga siku-siku seperti berikut:

sehingga diperoleh sin space alpha equals a over c dan cos space alpha equals b over c

  • Beberapa Triple Pythagoras:
    • 3, 4, 5
    • 5, 12, 13

Dengan demikian:

  • Oleh karena cos space open parentheses alpha plus beta close parentheses equals 4 over 5, berdasarkan triple Pythagoras, maka diperoleh sin space open parentheses alpha plus beta close parentheses equals 3 over 5.
  • Oleh karena sin space open parentheses alpha minus beta close parentheses equals 5 over 13, berdasarkan triple Pythagoras, maka diperoleh cos space open parentheses alpha minus beta close parentheses equals 12 over 13.

sehingga dapat diperoleh

begin mathsize 12px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell sin space open parentheses alpha plus beta close parentheses plus sin space open parentheses alpha minus beta close parentheses end cell equals cell 3 over 5 minus 5 over 13 end cell row cell sin space alpha times cos space beta plus cos space alpha times sin space beta plus sin space alpha times cos space beta minus cos space alpha times sin space beta end cell equals cell fraction numerator 3 cross times 13 over denominator 5 cross times 13 end fraction end cell row blank blank cell negative fraction numerator 5 cross times 5 over denominator 13 cross times 5 end fraction end cell row cell sin space alpha times cos space beta plus sin space alpha times cos space beta end cell equals cell 39 over 65 minus 25 over 65 end cell row cell 2 times sin space alpha times cos space beta end cell equals cell 14 over 65 space space space space space space space space space space left parenthesis 1 right parenthesis end cell end table end style  

dan

begin mathsize 12px style table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell cos space open parentheses alpha plus beta close parentheses plus cos space open parentheses alpha minus beta close parentheses end cell equals cell 4 over 5 plus 12 over 13 end cell row cell cos space alpha times cos space beta minus sin space alpha times sin space beta plus cos space alpha times cos space beta plus sin space alpha times sin space beta end cell equals cell fraction numerator 4 cross times 13 over denominator 5 cross times 13 end fraction end cell row blank blank cell plus fraction numerator 12 cross times 5 over denominator 13 cross times 5 end fraction end cell row cell cos space alpha times cos space beta plus cos space alpha times cos space beta end cell equals cell 52 over 65 plus 60 over 65 end cell row cell 2 times cos space alpha times cos space beta end cell equals cell 112 over 65 space space space space space space left parenthesis 2 right parenthesis end cell end table end style

Kemudian, dengan membagi (1) dengan (2), diperoleh 

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell fraction numerator 2 times sin space alpha times cos space beta over denominator 2 times cos space alpha times cos space beta end fraction end cell equals cell fraction numerator begin display style fraction numerator begin display style 14 end style over denominator begin display style 65 end style end fraction end style over denominator begin display style fraction numerator begin display style 112 end style over denominator begin display style 65 end style end fraction end style end fraction end cell row cell tan space alpha end cell equals cell 14 over 112 end cell row cell tan space alpha end cell equals cell 1 over 8 end cell end table  

Dengan menyubtitusi nilai yang didapatkan di atas ke rumus tangen untuk sudut ganda, diperoleh

table attributes columnalign right center left columnspacing 0px end attributes row cell tan space 2 alpha end cell equals cell fraction numerator 2 times space tan space alpha over denominator 1 minus tan squared space alpha end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 2 times 1 over 8 over denominator 1 minus open parentheses 1 over 8 close parentheses squared end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 1 fourth over denominator 1 minus 1 over 64 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 1 fourth over denominator 64 over 64 minus 1 over 64 end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 1 fourth over denominator fraction numerator 64 minus 1 over denominator 64 end fraction end fraction end cell row blank equals cell fraction numerator 1 fourth over denominator 64 over 63 end fraction end cell row blank equals cell 1 fourth cross times 64 over 63 end cell row blank equals cell 1 over up diagonal strike 4 to the power of 1 cross times up diagonal strike 64 to the power of 16 over 63 end cell row blank equals cell fraction numerator 1 cross times 16 over denominator 1 cross times 63 end fraction end cell row blank equals cell 16 over 63 end cell end table   

Dengan demikian, nilai tan space 2 alpha adalah 16 over 63.space 

Jawaban terverifikasi

Dijawab oleh:

I. Ridha

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Surabaya

Terakhir diupdate 26 September 2021

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

Pertanyaan serupa

Perhatikan rumus – rumus jumlah dan selisih sudut berikut ini!  sin(A+B)sin(A−B)cos(A+B)cos(A−B)​====​sinA⋅cosB+cosA⋅sinBcosA⋅cosB−sinA⋅sinBsinA⋅cosB−cosA⋅sinBcosA⋅cosB+sinA⋅sinB​  Rumus yang tepat ...

0

Roboguru

Cermati pernyataan berikut. I.sin(x+y)=sinxcosy–cosxsinyII.sin(x–y)=sinxcosy–cosxsinyIII.cos(x+y)=cosxcosy+sinxsinyIV.cos(x−y)=cosxcosy+sinxsinyV.tan(x+y)=1–tanxtanytanx+tany​VI.tan(x−y)=1–tanxtanyta...

0

Roboguru

Tunjukkan bahwa: a. sin(α+β)+sin(α−β)cos(α+β)+cos(α−β)​=cotanα

0

Roboguru

Jika diketahui tan(A+B)=−43​ dan tan(A−B)=125​ dimana 0∘<A+B<180∘ dan 0∘<A−B<90∘, hitunglah: (i) sin(A+B)  (ii) cos(A+B)  (iii) sin(A−B)  (iv) cos(A−B)  (v) tanB

0

Roboguru

Buktikan setiap identitas trigonometri berikut. b. sin(A+B)+sin(A−B)cos(A−B)−cos(A+B)​=tanB

0

Roboguru

Roboguru sudah bisa jawab 91.4% pertanyaan dengan benar

Tapi Roboguru masih mau belajar. Menurut kamu pembahasan kali ini sudah membantu, belum?

Membantu

Kurang Membantu

Apakah pembahasan ini membantu?

Belum menemukan yang kamu cari?

Post pertanyaanmu ke Tanya Jawab, yuk

Mau Bertanya

RUANGGURU HQ

Jl. Dr. Saharjo No.161, Manggarai Selatan, Tebet, Kota Jakarta Selatan, Daerah Khusus Ibukota Jakarta 12860

Coba GRATIS Aplikasi Ruangguru

Produk Ruangguru

Produk Lainnya

Hubungi Kami

Ikuti Kami

©2021 Ruangguru. All Rights Reserved