5. Jika cos ( α + β ) = 5 4 ​ dan sin ( α − β ) = 13 5 ​ , dengan α dan β terletak di antara 0 dan 4 π ​ , hitunglah tan 2 α .

Pembahasan

Ingat! sin ( α + β ) ​ = ​ sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β ​ sin ( α − β ) ​ = ​ sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β ​ cos ( α + β ) ​ = ​ cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β ​ cos ( α − β ) ​ = ​ cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β ​ tan α = cos α sin α ​ Jika diketahui Triple Pythagoras: , b , , dengan adalah sisi terpanjang, maka ketiga sisi dapat digambarkan pada segitiga siku-siku seperti berikut: sehingga diperoleh sin α = c a ​ dan cos α = c b ​ . Beberapa Triple Pythagoras: 3, 4, 5 5, 12, 13 Dengan demikian: Oleh karena cos ( α + β ) = 5 4 ​ , berdasarkan triple Pythagoras, maka diperoleh sin ( α + β ) = 5 3 ​ . Oleh karena sin ( α − β ) = 13 5 ​ , berdasarkan triple Pythagoras, maka diperoleh cos ( α − β ) = 13 12 ​ . sehingga dapat diperoleh sin ( α + β ) + sin ( α − β ) sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β + sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β sin α ⋅ cos β + sin α ⋅ cos β 2 ⋅ sin α ⋅ cos β ​ = = = = ​ 5 3 ​ − 13 5 ​ 5 × 13 3 × 13 ​ − 13 × 5 5 × 5 ​ 65 39 ​ − 65 25 ​ 65 14 ​ ( 1 ) ​ dan cos ( α + β ) + cos ( α − β ) cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β + cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β cos α ⋅ cos β + cos α ⋅ cos β 2 ⋅ cos α ⋅ cos β ​ = = = = ​ 5 4 ​ + 13 12 ​ 5 × 13 4 × 13 ​ + 13 × 5 12 × 5 ​ 65 52 ​ + 65 60 ​ 65 112 ​ ( 2 ) ​ Kemudian, dengan membagi (1) dengan (2), diperoleh 2 ⋅ c o s α ⋅ c o s β 2 ⋅ s i n α ⋅ c o s β ​ tan α tan α ​ = = = ​ 65 112 ​ 65 14 ​ ​ 112 14 ​ 8 1 ​ ​ Dengan menyubtitusi nilai yang didapatkan di atas ke rumus tangen untuk sudut ganda, diperoleh tan 2 α ​ = = = = = = = = = = ​ 1 − t a n 2 α 2 ⋅ t a n α ​ 1 − ( 8 1 ​ ) 2 2 ⋅ 8 1 ​ ​ 1 − 64 1 ​ 4 1 ​ ​ 64 64 ​ − 64 1 ​ 4 1 ​ ​ 64 64 − 1 ​ 4 1 ​ ​ 63 64 ​ 4 1 ​ ​ 4 1 ​ × 63 64 ​ 4 ​ 1 1 ​ × 63 64 16 ​ 1 × 63 1 × 16 ​ 63 16 ​ ​ Dengan demikian, nilai tan 2 α adalah 63 16 ​ .