Pertanyaan

Jika diketahui cos α = 5 4 dan cos β = 13 12 , hitunglah bentuk berikut : a . cos ( 2 π − α ) , untuk 0 < α < 2 π b. cos ( 2 π + α ) , untuk 0 < α < 2 π

Jika diketahui $cos α = \frac{4}{5}$ dan $cos β = \frac{12}{13}$ , hitunglah bentuk berikut :

a. $cos (\frac{π}{2} - α), untuk 0 < α < \frac{π}{2}$

b. $cos (\frac{π}{2} + α), untuk 0 < α < \frac{π}{2}$

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

cos ( 2 π + α ) = − 5 3 .

cos (\frac{π}{2} + α) = - \frac{3}{5}

Pembahasan

Ingat : 1. Rumus pythagoras pada segitiga siku-siku z 2 = x 2 + y 2 2. Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku sin θ = z y cos θ = z x 3.Rumus kosinus selisih dua sudut cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β 4. Rumus kosinus jumlah dua sudut cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β 5. cos 2 π = 0 6. sin 2 π = 1 Dari soal diketahui cos α = 5 4 dan cos β = 13 12 . Berdasarkan rumus pythagoras maka : z 2 y 2 y 2 y 2 y = = = = = x 2 + y 2 z 2 − x 2 5 2 − 4 2 25 − 16 = 9 9 = 3 Berdasarkan konsep di atas yaitu perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku maka: sin α = z y sin α = 5 3 Berdasarkan rumus pythagoras maka : z 2 y 2 y 2 y 2 y = = = = = x 2 + y 2 z 2 − x 2 1 3 2 − 1 2 2 169 − 144 = 25 25 = 5 Berdasarkan konsep di atas yaitu perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku maka: sin β = z y sin β = 13 5 a . cos ( 2 π − α ) , untuk 0 < α < 2 π Berdasarkan konsep kosinus selisih dua sudut : cos ( α − β ) cos ( 2 π − α ) = = = cos α cos β + sin α sin β cos 2 π cos α + sin 2 π sin α ( 0 × 5 4 ) + ( 1 × 5 3 ) = 5 3 Dengan demikian, cos ( 2 π − α ) = 5 3 . b. cos ( 2 π + α ) , untuk 0 < α < 2 π Berdasarkan konsep kosinus selisih dua sudut : cos ( α + β ) cos ( 2 π + α ) = = = cos α cos β − sin α sin β cos 2 π cos α − sin 2 π sin α ( 0 × 5 4 ) − ( 1 × 5 3 ) = − 5 3 Dengan demikian, cos ( 2 π + α ) = − 5 3 .

Ingat :

1. Rumus pythagoras pada segitiga siku-siku

$z^{2} = x^{2} + y^{2}$

2. Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

$sin θ = \frac{y}{z} cos θ = \frac{x}{z}$

3. Rumus kosinus selisih dua sudut

$cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β$

4. Rumus kosinus jumlah dua sudut

$cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β$

5. $cos \frac{π}{2} = 0$

6. $sin \frac{π}{2} = 1$

Dari soal diketahui $cos α = \frac{4}{5}$ dan $cos β = \frac{12}{13}$ .

Berdasarkan rumus pythagoras maka :

$z^{2} y^{2} y^{2} y^{2} y = = = = = x^{2} + y^{2} z^{2} - x^{2} 5^{2} - 4^{2} 25 - 16 = 9 9 = 3$

Berdasarkan konsep di atas yaitu perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku maka :

$sin α = \frac{y}{z} sin α = \frac{3}{5}$

Berdasarkan rumus pythagoras maka :

$z^{2} y^{2} y^{2} y^{2} y = = = = = x^{2} + y^{2} z^{2} - x^{2} 1 3^{2} - 1 2^{2} 169 - 144 = 25 25 = 5$

Berdasarkan konsep di atas yaitu perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku maka :

$sin β = \frac{y}{z} sin β = \frac{5}{13}$

a. $cos (\frac{π}{2} - α), untuk 0 < α < \frac{π}{2}$

Berdasarkan konsep kosinus selisih dua sudut :

$cos (α - β) cos (\frac{π}{2} - α) = = = cos α cos β + sin α sin β cos \frac{π}{2} cos α + sin \frac{π}{2} sin α (0 \times \frac{4}{5}) + (1 \times \frac{3}{5}) = \frac{3}{5}$

Dengan demikian, $cos (\frac{π}{2} - α) = \frac{3}{5}$ .

b. $cos (\frac{π}{2} + α), untuk 0 < α < \frac{π}{2}$

Berdasarkan konsep kosinus selisih dua sudut :

$cos (α + β) cos (\frac{π}{2} + α) = = = cos α cos β - sin α sin β cos \frac{π}{2} cos α - sin \frac{π}{2} sin α (0 \times \frac{4}{5}) - (1 \times \frac{3}{5}) = - \frac{3}{5}$