Diberikan sin A=2524 dan cos B=1312, hitunglah : a. cos (A−B) untuk A dan B lancip b. cos (A+B) untuk A dan B lancip

Pertanyaan

Diberikan $\sin\;\mathrm A=\frac{24}{25}$ dan $\cos\;\mathrm B=\frac{12}{13}$ , hitunglah :

a. $\cos\;\left(\mathrm A-\mathrm B\right)\;\text{untuk A dan B lancip}$

b. $\cos\;\left(\mathrm A+\mathrm B\right)\;\text{untuk A dan B lancip}$

A. Salim

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Pelita Harapan

Jawaban terverifikasi

Jawaban

$\cos\;\left(\mathrm A-\mathrm B\right)=-\frac{36}{325}$ .

Pembahasan

Ingat :

1. Rumus pythagoras pada segitiga siku-siku

$z^2=x^2+y^2$

2. Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku

$\begin{array}{rcl}\sin\;\theta&=&\frac yz\\\cos\;\theta&=&\frac xz\end{array}$

3. Rumus kosinus selisih dua sudut

$\cos\;\left(\alpha-\beta\right)=\cos\;\alpha\;\cos\;\beta+\sin\;\alpha\;\sin\;\beta$

4. Rumus kosinus jumlah dua sudut

$\cos\;\left(\alpha+\beta\right)=\cos\;\alpha\;\cos\;\beta-\sin\;\alpha\;\sin\;\beta$

Dari soal diketahui $\sin\;\mathrm A=\frac{24}{25}$ dan $\cos\;\mathrm B=\frac{12}{13}$ .

Berdasarkan rumus pythagoras maka :

$\begin{array}{rcl}z^2&=&x^2+y^2\\x^2&=&z^2-y^2\\x^2&=&25^2-24^2\\x^2&=&625-576=49\\x&=&\sqrt{49}=7\end{array}$

Berdasarkan konsep di atas yaitu perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku maka :

$\begin{array}{rcl}\cos\;\theta&=&\frac xz\\\cos\;A&=&\frac xz=\frac7{25}\end{array}$

Berdasarkan rumus pythagoras maka :

$\begin{array}{rcl}z^2&=&x^2+y^2\\y^2&=&z^2-x^2\\y^2&=&13^2-12^2\\y^2&=&169-144=25\\y&=&\sqrt{25}=5\end{array}$

Berdasarkan konsep di atas yaitu perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku maka :

$\begin{array}{rcl}\sin\;\theta&=&\frac yz\\\sin\;B&=&\frac yz=\frac5{13}\end{array}$

a. $\cos\;\left(\mathrm A-\mathrm B\right)\;\text{untuk A dan B lancip}$

Berdasarkan rumus kosinus selisih dua sudut

$\begin{array}{rcl}\cos\;\left(\alpha-\beta\right)&=&\cos\;\alpha\;\cos\;\beta+\sin\;\alpha\;\sin\;\beta\\\cos\;\left(\mathrm A-\mathrm B\right)&=&\cos\;A\;\cos\;B+\sin\;A\;\sin\;B\\&=&\left(\frac7{25}\times\frac{12}{13}\right)+\left(\frac{24}{25}\times\frac5{13}\right)\\&=&\frac{84}{325}+\frac{120}{325}=\frac{204}{325}\end{array}$

Dengan demikian, $\cos\;\left(\mathrm A-\mathrm B\right)=\frac{204}{325}$ .

b. $\cos\;\left(\mathrm A+\mathrm B\right)\;\text{untuk A dan B lancip}$

Berdasarkan rumus jumlah dua sudut

$\begin{array}{rcl}\cos\;\left(\alpha+\beta\right)&=&\cos\;\alpha\;\cos\;\beta-\sin\;\alpha\;\sin\;\beta\\\cos\;\left(\mathrm A+\mathrm B\right)&=&\cos\;A\;\cos\;B-\sin\;A\;\sin\;B\\&=&\left(\frac7{25}\times\frac{12}{13}\right)-\left(\frac{24}{25}\times\frac5{13}\right)\\&=&\frac{84}{325}-\frac{120}{325}=-\frac{36}{325}\end{array}$

Dengan demikian, $\cos\;\left(\mathrm A-\mathrm B\right)=-\frac{36}{325}$ .