Pertanyaan

Jika p = 3 sin x + 5 cos y dan q = 3 cos x − 5 sin y , maka nilai dari p 2 + q 2 berada pada interval [ a , b ] . Nilai dari a + b adalah ....

Jika $p = 3 sin x + 5 cos y$ dan $q = 3 cos x - 5 sin y$ , maka nilai dari $p^{2} + q^{2}$ berada pada interval $[a, b]$ . Nilai dari $a + b$ adalah ....

$34$
$38$
$64$
$68$
$98$

R. Rohmat

Master Teacher

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang tepat adalah D.

Pembahasan

Perhatikan perhitungan sebagai berikut! p 2 + q 2 = ( 3 sin x + 5 cos y ) 2 + ( 3 cos x − 5 sin y ) 2 = ( 9 sin 2 x + 30 sin x cos y + 25 cos 2 y ) + ( 9 cos 2 x − 30 cos x sin y + 25 sin 2 y ) = 9 sin 2 x + 9 cos 2 x + 30 sin x cos y − 30 cos x sin y + 25 cos 2 y + 25 sin 2 y = 9 ( sin 2 x + cos 2 x ) + 30 ( sin x cos y − cos x sin y ) + 25 ( sin 2 y + cos 2 y ) Karena sin 2 α + cos 2 α = 1 dan sin α cos β − cos α sin β = sin ( α − β ) , maka didapat perhitungan sebagai berikut. p 2 + q 2 = 9 ( sin 2 x + cos 2 x ) + 30 ( sin x cos y − cos x sin y ) + 25 ( sin 2 y + cos 2 y ) = 9 ⋅ 1 + 30 ⋅ sin ( x − y ) + 25 ⋅ 1 = 9 + 30 sin ( x − y ) + 25 = 34 + 30 sin ( x − y ) Dapat diperhatikan bahwa − 1 ≤ sin ( x − y ) ≤ 1 sehingga didapat perhitungan sebagai berikut. Dengan demikian,nilai dari p 2 + q 2 berada pada interval [ 4 , 64 ] sehingga didapat a = 4 dan b = 64 . Oleh karena itu,nilai dari a + b dapat dihitung sebagai berikut. a + b = 4 + 64 = 68 Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

Perhatikan perhitungan sebagai berikut!

$p^{2} + q^{2} = (3 sin x + 5 cos y)^{2} + (3 cos x - 5 sin y)^{2} = (9 sin^{2} x + 30 sin x cos y + 25 cos^{2} y) + (9 cos^{2} x - 30 cos x sin y + 25 sin^{2} y) = 9 sin^{2} x + 9 cos^{2} x + 30 sin x cos y - 30 cos x sin y + 25 cos^{2} y + 25 sin^{2} y = 9 (sin^{2} x + cos^{2} x) + 30 (sin x cos y - cos x sin y) + 25 (sin^{2} y + cos^{2} y)$

Karena $sin^{2} α + cos^{2} α = 1$ dan $sin α cos β - cos α sin β = sin (α - β)$ , maka didapat perhitungan sebagai berikut.

$p^{2} + q^{2} = 9 (sin^{2} x + cos^{2} x) + 30 (sin x cos y - cos x sin y) + 25 (sin^{2} y + cos^{2} y) = 9 \cdot 1 + 30 \cdot sin (x - y) + 25 \cdot 1 = 9 + 30 sin (x - y) + 25 = 34 + 30 sin (x - y)$

Dapat diperhatikan bahwa $- 1 \leq sin (x - y) \leq 1$ sehingga didapat perhitungan sebagai berikut.

$\begin{array}{ccc}-1\leq&\sin\left(x-y\right)&\leq1\\-{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}30}\leq&{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}30}\sin\left(x-y\right)&\leq{\color[rgb]{1.0, 0.0, 0.0}30}\\{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}34}-30\leq&{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}34}+30\sin\left(x-y\right)&\leq{\color[rgb]{0.0, 0.0, 1.0}34}+30\\4\leq&p^2+q^2&\leq64\end{array}$

Dengan demikian, nilai dari $p^{2} + q^{2}$ berada pada interval $[4, 64]$ sehingga didapat $a = 4$ dan $b = 64$ .

Oleh karena itu, nilai dari $a + b$ dapat dihitung sebagai berikut.

$a + b = 4 + 64 = 68$

Jadi, jawaban yang tepat adalah D.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

0.0 (0 rating)

Pertanyaan serupa

Suku banyak p ( x ) = ( x + a ) 2.020 + ( b − x ) 2.021 + ( x − 1 ) habis dibagi oleh x 2 + ( a − b ) x − ab . Jika a  = − b dan b  = 0 , maka dapat dinyatakan sebagai ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Bentuk sederhana dari h → 0 lim 2 h sin ( x + 3 h ) − sin ( x − h ) adalah ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Misalkan ( a n ) adalah barisan geometri yang memenuhi sistem a 3 + a 6 – a 5 = 20 , a 4 + a 7 − a 6 = 40 . Nilai dari a 2 adalah ....

0.0

Jawaban terverifikasi

Jumlah 10 suku pertama suatu deret geometri adalah k dan jumlah 20 suku pertama deret tersebut adalah 4 k . Jumlah 30 suku pertama deret tersebut adalah ....

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika sin ( x + 4 5 ∘ ) = a dan sin ( 2 x + 6 0 ∘ ) = b , maka cos ( 3 x + 10 5 ∘ ) cos ( x + 1 5 ∘ ) = ...

4.5

Jawaban terverifikasi