Pertanyaan

Jika α dan β adalah akar-akar dari persamaan x 2 + a x + b = 0 serta α 2 β + α β 2 = 6 dan α 1 + β 1 = 2 3 , maka nilai a 2 − b 2 adalah .... (SNMPTN 2007)

Jika $α$ dan $β$ adalah akar-akar dari persamaan $x^{2} + a x + b = 0$ serta $α^{2} β + α β^{2} = 6$ dan $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = \frac{3}{2}$ , maka nilai $a^{2} - b^{2}$ adalah .... (SNMPTN 2007)

$- 7$
$- 5$
$0$
$5$
$7$

T. Prita

Master Teacher

Mahasiswa/Alumni Universitas Negeri Jember

Jawaban terverifikasi

Jawaban

jawaban yang benar adalah D.

Pembahasan

Misalkan suatu persamaan kuadrat: a x 2 + b x + c = 0 mempunyai akar-akar x 1 dan x 2 , maka: Jumlah akar-akar: x 1 + x 2 = − a b Hasil kali akar-akar: x 1 ⋅ x 2 = a c Diketahui: α dan β adalah akar-akar dari persamaan x 2 + a x + b = 0 serta α 2 β + α β 2 = 6 dan α 1 + β 1 = 2 3 . Jumlah akar-akar: x 1 + x 2 α + β = = − 1 a − a Hasil kali akar-akar: x 1 ⋅ x 2 α ⋅ β = = 1 b b Untuk α 2 β + α β 2 = 6 α 2 β + α β 2 α β ( α + β ) b ( − a ) − ab a = = = = = 6 6 6 6 − b 6 ... ( 1 ) Untuk α 1 + β 1 = 2 3 α 1 + β 1 α β β + α b − a a = = = = 2 3 2 3 2 3 − 2 3 b ... ( 2 ) Substitusikan persamaan ( 1 ) ke persamaan ( 2 ) . a − 2 3 b − 2 3 b 2 2 3 b 2 b 2 b 2 b 2 − 4 ( b − 2 ) ( b + 2 ) b − 2 b = = = = = = = = = = − b 6 − b 6 − 6 6 6 × 3 2 4 0 0 0 atau b + 2 = 0 2 atau b = − 2 Cari nilai dengan mensubstitusikan nilai b ke persamaan ( 1 ) . Untuk b = 2 a = = = − b 6 − 2 6 − 3 Untuk b = − 2 a = = = − b 6 − − 2 6 3 Sehingga diperoleh dua penyelesaian yaitu: 1. Untuk a = − 3 , b = 2 , maka: a 2 − b 2 = = = ( − 3 ) 2 − 2 2 9 − 4 5 2.Untuk a = 3 , b = − 2 , maka: a 2 − b 2 = = = 3 2 − ( − 2 ) 2 9 − 4 5 Nilai a 2 − b 2 sama-sama menghasilkan 5 . Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.

Misalkan suatu persamaan kuadrat: $a x^{2} + b x + c = 0$ mempunyai akar-akar $x_{1} dan x_{2}$ , maka:
Jumlah akar-akar: $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$

Hasil kali akar-akar: $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

Diketahui:

$α$ dan $β$ adalah akar-akar dari persamaan $x^{2} + a x + b = 0$ serta $α^{2} β + α β^{2} = 6$ dan $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = \frac{3}{2}$ .

Jumlah akar-akar:

$x_{1} + x_{2} α + β = = - \frac{a}{1} - a$

Hasil kali akar-akar:

$x_{1} \cdot x_{2} α \cdot β = = \frac{b}{1} b$

Untuk $α^{2} β + α β^{2} = 6$

$α^{2} β + α β^{2} α β (α + β) b (- a) - ab a = = = = = 6666 - \frac{6}{b} ... (1)$

Untuk $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = \frac{3}{2}$

$\frac{1}{α} + \frac{1}{β} \frac{β + α}{α β} \frac{- a}{b} a = = = = \frac{3}{2} \frac{3}{2} \frac{3}{2} - \frac{3}{2} b ... (2)$

Substitusikan persamaan $(1)$ ke persamaan $(2)$ .

$a - \frac{3}{2} b - \frac{3}{2} b^{2} \frac{3}{2} b^{2} b^{2} b^{2} b^{2} - 4 (b - 2) (b + 2) b - 2 b = = = = = = = = = = - \frac{6}{b} - \frac{6}{b} - 6 6 6 \times \frac{2}{3} 400 0 atau b + 2 = 0 2 atau b = - 2$

Cari nilai $a$ dengan mensubstitusikan nilai $b$ ke persamaan $(1)$ .

Untuk $b = 2$

$a = = = - \frac{6}{b} - \frac{6}{2} - 3$

Untuk $b = - 2$

$a = = = - \frac{6}{b} - \frac{6}{- 2} 3$

Sehingga diperoleh dua penyelesaian yaitu:

1. Untuk $a = - 3, b = 2$ , maka:

$a^{2} - b^{2} = = = (- 3)^{2} - 2^{2} 9 - 4 5$

2. Untuk $a = 3, b = - 2$ , maka:

$a^{2} - b^{2} = = = 3^{2} - (- 2)^{2} 9 - 4 5$

Nilai $a^{2} - b^{2}$ sama-sama menghasilkan $5$ .

Oleh karena itu, jawaban yang benar adalah D.

Perdalam pemahamanmu bersama Master Teacher
di sesi Live Teaching, GRATIS!

4.5 (2 rating)

Pertanyaan serupa

Jumlah nilai-nilai m yang mengakibatkan persamaan kuadrat m x 2 − ( 3 m + 1 ) x + ( 2 m + 2 ) = 0 mempunyai akar-akar dengan perbandingan 3 : 4 adalah ...

4.0

Jawaban terverifikasi

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat x 2 + x − c = 0 adalah α dan β , misalkan pula akar-akar persamaan kuadrat 2 x 2 − 2 x + α 3 + β 3 = 0 adalah r dan . Jika r + s = 2 rs , maka c = .... (SNMPTN 200...

5.0

Jawaban terverifikasi

Persamaan kuadrat yang mempunyai akar dan b sehingga a 1 + b 1 = 10 7 adalah .... (SNMPTN 2010)

5.0

Jawaban terverifikasi

Jika p + 1 dan p − 1 adalah akar-akar persamaan x 2 − 4 x + a = 0 maka nilai adalah …

5.0

Jawaban terverifikasi

Misalkan x 1 dan x 2 merupakan akar-akar persamaan p x 2 + q x − 1 = 0 , p  = 0 . Jika x 1 1 + x 2 1 = − 1 dan x 1 = − 2 3 x 2 , maka p + q = ...

5.0

Jawaban terverifikasi